1. 一题多解 已知$y$与$x$成正比例函数关系，当$x=2$时，$y=-3$，则该正比例函数的表达式为（）

A.$y=-\frac{2}{3}x$
B.$y=\frac{2}{3}x$
C.$y=\frac{3}{2}x$
D.$y=-\frac{3}{2}x$

设该正比例函数的表达式为$y = kx (k ≠ 0)$，则$-3 = 2k$,解得$k = -\frac{3}{2}$,故其表达式为$y = -\frac{3}{2}x$。
另解：将$(2, -3)$依次代入四个选项，可知只有选项D成立。

【分析】
要解决这道题，首先明确正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），求函数表达式的核心是求出未知系数$k$的值。有两种常见思路：一是待定系数法，将已知的$x=2$、$y=-3$代入一般式，得到关于$k$的一元一次方程，解出$k$即可写出表达式；二是代入验证法，把$x=2$代入四个选项的表达式中，计算对应的$y$值，结果等于$-3$的即为正确答案。
【解析】
方法一（待定系数法）：
设该正比例函数的表达式为$y = kx\ (k ≠ 0)$，
将$x=2$，$y=-3$代入表达式，得：$-3 = 2k$，
解得$k = -\frac{3}{2}$，
因此该正比例函数的表达式为$y = -\frac{3}{2}x$。
方法二（代入验证法）：
将$x=2$依次代入四个选项计算：
A选项：$y=-\frac{2}{3}×2=-\frac{4}{3}≠-3$，不符合要求；
B选项：$y=\frac{2}{3}×2=\frac{4}{3}≠-3$，不符合要求；
C选项：$y=\frac{3}{2}×2=3≠-3$，不符合要求；
D选项：$y=-\frac{3}{2}×2=-3$，符合已知条件。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的概念；待定系数法；点与函数解析式的关系
【点评】
本题是求正比例函数表达式的基础题型，待定系数法是求解各类函数解析式的通用方法，需要重点掌握；代入验证法适合选择题型快速锁定答案，可提升解题效率。
【难度系数】
0.9

2. 已知y是x的正比例函数，当$x=2$时，$y=-6$，则当$x=1$时，$y$的值为.

设正比例函数的表达式为$y = kx (k ≠ 0). \because$ 当$x = 2$时,$y = -6$,$\therefore 2k = -6$,解得$k = -3$,$\therefore y = -3x$,$\therefore$ 当$x = 1$时,$y = -3 × 1 = -3$。

【分析】
这道题考查正比例函数的相关计算，解题思路如下：首先回忆正比例函数的一般形式为$y=kx(k≠0)$，其中$k$是待定系数；其次题目给出了$x=2$时$y=-6$的对应关系，将这组值代入一般式可以得到关于$k$的一元一次方程，解出$k$即可确定正比例函数的具体表达式；最后把$x=1$代入求出的函数表达式，计算就能得到对应的$y$值。
【解析】
设正比例函数的表达式为$y = kx (k ≠ 0)$。
∵ 当$x = 2$时，$y = -6$，
∴ 代入得$2k = -6$，解得$k = -3$，
∴ 该正比例函数的表达式为$y = -3x$，
∴ 当$x = 1$时，$y = -3 × 1 = -3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
正比例函数的定义；待定系数法求函数表达式；求函数值
【点评】
本题是正比例函数的基础题，核心考查待定系数法的应用，只要掌握正比例函数的基本形式，按照代入已知值求系数、再代入待求自变量求函数值的步骤计算即可，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.9

3. [2026苏州太仓浏家港中学月考]某商店要进一批油,出售时要在进价的基础上加一定的利润,其数量a与售价c的关系如表所示,则售价c关于数量a的函数关系式为.

$\because 20 + 0.4 = (10 + 0.2) × 2,30 + 0.6 = (10 + 0.2) × 3,40 + 0.8 = (10 + 0.2) × 4,\dots,\therefore c = (10 + 0.2)a = 10.2a$。

【分析】
要推导售价c关于数量a的函数关系式，我们可以先观察表格中每组a与c的对应规律，结合“总价=单价×数量”的基本数量关系分析：首先计算1kg油的售价，再看不同数量对应的总售价和数量的倍数关系，就能归纳出通用的函数表达式。
【解析】
观察表格中的对应数据：
当$a=1$时，$c=10+0.2=(10+0.2)×1$；
当$a=2$时，$c=20+0.4=(10+0.2)×2$；
当$a=3$时，$c=30+0.6=(10+0.2)×3$；
当$a=4$时，$c=40+0.8=(10+0.2)×4$；
……
由此归纳可得，当数量为$a\ \mathrm{kg}$时，售价$c=(10+0.2)a=10.2a$。
【答案】
$c=10.2a$
【知识点】
列函数关系式、规律探究、一次函数
【点评】
本题考查通过表格数据探究变量间的函数关系，解题关键是观察售价随数量变化的规律，结合常见的总价计算公式推导表达式，属于基础题型。
【难度系数】
0.85

4. 当$x=5$时，一次函数$y=2x +k$和$y=3kx -4$的值相同，则$k$的值为（）

A.1
B.-1
C.5
D.3

$\because$ 当$x = 5$时,一次函数$y = 2x + k$和$y = 3kx - 4$的值相同,$\therefore 2 × 5 + k = 3 × 5k - 4$,即$10 + k = 15k - 4$,解得$k = 1$。

【分析】
解题首先要明确“x=5时两个一次函数的值相同”的含义，即当x=5时，两个函数对应的y值相等。我们可以先将x=5分别代入两个一次函数的表达式，得到两个含k的代数式，令这两个代数式相等，即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k的值。
【解析】
∵当x=5时，一次函数$y=2x +k$和$y=3kx -4$的函数值相等，
∴将x=5代入两个函数表达式，可列等式：
$2×5 + k = 3k×5 - 4$
化简得：$10 + k = 15k - 4$
移项得：$15k - k = 10 + 4$
合并同类项得：$14k = 14$
系数化为1得：$k = 1$
对应选项A。
【答案】A
【知识点】
一次函数的函数值，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一次函数函数值的理解，解题的突破口是根据函数值相等的条件建立方程，只要熟练掌握代入求值和一元一次方程的解法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

5. 跨学科·物理 [2025苏州中考] 声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度$v(\mathrm{m/s})$与温度$t(°\mathrm{C})$部分对应数值如下表：

研究发现$v,t$满足公式$v=at+b$($a,b$为常数，且$a≠0$).当温度$t$为$15\ °\mathrm{C}$时，声音传播的速度$v$为 ()

A.$333\ \mathrm{m/s}$
B.$339\ \mathrm{m/s}$
C.$341\ \mathrm{m/s}$
D.$342\ \mathrm{m/s}$

将$t = 0,v = 330$和$t = 10,v = 336$分别代入$v = at + b$,得$\begin{cases}330 = b,\\336 = 10a + b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 0.6,\\b = 330,\end{cases}$$\therefore v$与$t$之间的函数关系式为$v = 0.6t + 330$. 当$t = 15$时,$v = 0.6 × 15 + 330 = 339$,$\therefore$ 当温度$t$为$15\ °\mathrm{C}$时,声音传播的速度$v$为$339\ \mathrm{m/s}$。

【分析】
已知声速$v$和温度$t$满足一次函数关系$v=at+b$，要计算$t=15℃$时的$v$值，需先确定常数$a$、$b$的值。我们可以采用待定系数法，从表格中选取两组便于计算的$t$、$v$对应值代入函数式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$即可得到完整的函数解析式，最后将$t=15$代入解析式就能求出对应的$v$值。
【解析】
选取表格中$t=0,v=330$和$t=10,v=336$两组数值，分别代入$v=at+b$，得：
$\begin{cases}330 = b\\336 = 10a + b\end{cases}$
把$b=330$代入第二个方程，得$336=10a+330$，解得$a=0.6$。
因此$v$与$t$的函数关系式为$v=0.6t+330$。
当$t=15$时，代入解析式得：$v=0.6×15+330=9+330=339$，即此时声音传播的速度为$339\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一次函数求值、二元一次方程组求解
【点评】
本题结合物理中声速与温度的关系设置跨学科情境，考查一次函数的实际应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，整体解题逻辑清晰，注重考查学生对基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

6. (1)在一次函数$y=kx+8$中,当$x=3$时,$y=-4$,则$k$的值为;

$\because$ 在一次函数$y = kx + 8$中,当$x = 3$时,$y = -4$,$\therefore 3k + 8 = -4$,解得$k = -4$。

【分析】
解题思路：一次函数图象上任意一点的坐标$(x,y)$都满足该一次函数的解析式，本题已给出一次函数的形式，以及对应一组$x$、$y$的取值，只需将$x=3$、$y=-4$代入函数解析式，即可得到只含未知数$k$的一元一次方程，解该方程就能求出$k$的值。
【解析】
将$x=3$，$y=-4$代入一次函数$y=kx+8$中，可得：
$3k + 8 = -4$
移项得：$3k = -4 - 8$
合并同类项得：$3k = -12$
系数化为1得：$k = -4$
【答案】
$-4$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用一次函数图象上点的坐标特征求解未知参数的方法，熟练掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质即可快速解题，是求解一次函数表达式的基础内容。
【难度系数】
0.9

(2)已知一次函数$y=0.4x + b$，当$x=0.5$时，$y=3$，则$b$的值为。

$\because$ 在一次函数$y = 0.4x + b$中,当$x = 0.5$时,$y = 3$,$\therefore 0.4 × 0.5 + b = 3$,解得$b = 2.8$。

【分析】
已知一次函数的表达式和一组对应的x、y值，一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式，因此我们可以将给定的x=0.5、y=3代入函数表达式，得到仅含未知数b的一元一次方程，解该方程即可求出b的值。
【解析】
$\because$ 在一次函数$y = 0.4x + b$中，当$x = 0.5$时，$y = 3$，
$\therefore$ 将$x=0.5$，$y=3$代入解析式得：$0.4 × 0.5 + b = 3$，
计算得：$0.2 + b = 3$，
解得：$b = 3 - 0.2 = 2.8$。
【答案】
$2.8$
【知识点】
一次函数的特征、待定系数法、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数图象上的点与函数解析式的对应关系，只要掌握代入求解未知参数的思路，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

7. 跨学科·物理 教材P148例2变式 [2024东营中考] 在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长12.5 cm,当所挂物体的质量为2 kg时,弹簧长13.5 cm,当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为 cm.

设$y$关于$x$的函数表达式为$y = kx + 12.5 (k ≠ 0)$。$\because$ 当$x = 2$时,$y = 13.5$,$\therefore 13.5 = 2k + 12.5$,解得$k = \frac{1}{2}$,$\therefore y = \frac{1}{2}x + 12.5$. 当$x = 5$时,$y = \frac{1}{2} × 5 + 12.5 = 15$,即当所挂物体的质量为5 kg时,弹簧的长度为15 cm。

【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：第一步，根据“弹簧长度y是所挂物体质量x的一次函数”，设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$；第二步，利用“不挂物体时弹簧长12.5cm”，也就是x=0时y=12.5，可直接确定b的值为12.5，简化解析式；第三步，将x=2、y=13.5代入简化后的解析式，求出k的值，得到完整的函数表达式；第四步，将x=5代入最终的函数表达式，计算得到对应的y值，即为所求弹簧长度。
【解析】
设y关于x的函数表达式为$y = kx + b\ (k ≠ 0)$。
由题意，不挂物体即$x=0$时，$y=12.5$，代入解析式得$b=12.5$，因此函数表达式可写为$y = kx + 12.5\ (k ≠ 0)$。
∵当$x = 2$时，$y = 13.5$，
∴将$x=2$，$y=13.5$代入解析式得：$13.5 = 2k + 12.5$，
解得$k = \frac{1}{2}$，
∴y关于x的函数表达式为$y = \frac{1}{2}x + 12.5$。
当$x = 5$时，代入得：$y = \frac{1}{2} × 5 + 12.5 = 15$。
【答案】
15
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是结合物理弹簧形变规律的跨学科基础题，解题核心是先利用已知条件通过待定系数法确定一次函数的解析式，再代入自变量的值求解对应的函数值，注重对基础知识和基本方法的考查。
【难度系数】
0.8

8. [2026 合肥三十八中期中]已知$y+2$与$x$成正比，且当$x=3$时，$y=4$。
(1)求$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)当$y=2$时，求$x$的值。

(1)$\because y + 2$与$x$成正比，$\therefore$ 设$y + 2 = kx (k ≠ 0)$。将$x = 3,y = 4$代入,得$4 + 2 = 3k$,解得$k = 2$，$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y + 2 = 2x$,即$y = 2x - 2$。
(2)将$y = 2$代入$y = 2x - 2$,得$2 = 2x - 2$,解得$x = 2$。

【分析】
(1) 解题首先依据正比例关系的定义：若两个量成正比例，则可表示为$A=kB$（$k≠0$，$k$为常数）的形式。题目中$y+2$与$x$成正比，因此将$y+2$看作整体设为$y+2=kx$（$k≠0$），再把已知的$x=3$、$y=4$代入关系式求出常数$k$，最后整理即可得到$y$与$x$的函数表达式。
(2) 第一问已经求出函数表达式，求$y=2$时$x$的值，只需将$y=2$代入已得的函数式，解关于$x$的一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) $\because y + 2$与$x$成正比，$\therefore$设函数关系式为$y + 2 = kx$（$k ≠ 0$，$k$为常数）。
将$x = 3$，$y = 4$代入上述关系式，得：
$4 + 2 = 3k$
解得$k = 2$
将$k=2$代入$y + 2 = kx$，整理得$y = 2x - 2$
即$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 2x - 2$。
(2) 将$y = 2$代入$y = 2x - 2$，得：
$2 = 2x - 2$
移项计算得$2x = 4$
解得$x = 2$
【答案】
(1) $y = 2x - 2$
(2) $x = 2$
【知识点】
1. 正比例关系定义
2. 待定系数法求解析式
3. 函数值代入计算
【点评】
本题是函数求解的基础题型，主要考查对正比例关系的理解和待定系数法的运用，解题核心是正确根据正比例关系设出含参表达式，再代入已知条件求解参数，整体运算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.85

9. 实验表明,在某地,温度在15 ℃至25 ℃的范围内,一种蟋蟀1 min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x(℃)的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为16 ℃时,1 min平均鸣叫92次;在温度为23 ℃时,1 min平均鸣叫155次.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当这种蟋蟀1 min平均鸣叫128次时,该地当时的温度约是多少?

(1)设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b (k ≠ 0)$。$\because$ 当$x = 16$时,$y = 92$,当$x = 23$时,$y = 155$，$\therefore \begin{cases}16k + b = 92,\\23k + b = 155,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 9,\\b = -52,\end{cases}$$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y = 9x - 52$。
(2)在$y = 9x - 52$中,当$y = 128$时,$9x - 52 = 128$,解得$x = 20$。答:该地当时的温度约是$20\ °\mathrm{C}$。

【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目明确说明y是x的一次函数，因此采用待定系数法求解：先设一次函数的通用表达式为$y=kx+b(k≠0)$，需要求出k、b两个未知参数；题目给出了两组x、y的对应值，将两组值分别代入表达式，即可得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，就能确定函数表达式。
(2) 第二问已知y的值求对应x的值，直接将y=128代入第一问求出的函数表达式，得到关于x的一元一次方程，解方程即可得到温度值，最后可验证结果是否在15℃~25℃的范围内，确保符合实际意义。
【解析】
(1) 设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b (k ≠ 0)$。
根据题意，当$x = 16$时，$y = 92$；当$x = 23$时，$y = 155$，代入表达式得：
$\begin{cases}16k + b = 92\\23k + b = 155\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$7k=63$，解得$k=9$。
将$k=9$代入$16k + b = 92$，得$16×9 + b =92$，解得$b=-52$。
因此$y$与$x$之间的函数表达式为$y = 9x - 52$。
(2) 把$y=128$代入$y = 9x - 52$，得：
$9x - 52 = 128$
移项得$9x=180$，解得$x=20$，$20℃$在题目给出的温度范围内，符合实际。
答：该地当时的温度约是$20\ °\mathrm{C}$。
【答案】
(1) $y = 9x - 52$
(2) $20\ °\mathrm{C}$
【知识点】
待定系数法求一次函数表达式，二元一次方程组求解，一次函数代入求值
【点评】
本题是一次函数结合实际场景的基础应用题，核心考察待定系数法求函数解析式的步骤，以及利用函数关系式实现自变量和函数值的互相转化，解题时要注意验证结果是否符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.8