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1.「2026山东济南期中改编」如图所示的是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，则它们的位置关系为（
A.相离
B.相切
C.相交
D.平行
C
）A.相离
B.相切
C.相交
D.平行
答案
1.C 根据直线与圆的位置关系可得,它们的位置关系为相交.故选 C.
解析
【分析】
解题时先回忆直线与圆位置关系的判定方法：可根据公共点的个数区分三种位置关系，没有公共点为相离，仅1个公共点为相切，有2个公共点为相交。再结合题图，把海天交界处抽象为直线、太阳抽象为圆，观察二者的公共点个数，对应判定规则即可得到答案。
【解析】
直线与圆的位置关系可通过公共点个数判定：
1. 相离：直线与圆没有公共点；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点；
3. 相交：直线与圆有2个公共点。
观察题图可知，代表海天交界处的直线和代表太阳的圆共有2个公共点，因此二者的位置关系为相交，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识点，解题的关键是能把实际场景中的图形抽象为对应的几何图形，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆直线与圆位置关系的判定方法：可根据公共点的个数区分三种位置关系，没有公共点为相离，仅1个公共点为相切，有2个公共点为相交。再结合题图，把海天交界处抽象为直线、太阳抽象为圆，观察二者的公共点个数，对应判定规则即可得到答案。
【解析】
直线与圆的位置关系可通过公共点个数判定：
1. 相离：直线与圆没有公共点；
2. 相切：直线与圆有且只有1个公共点；
3. 相交：直线与圆有2个公共点。
观察题图可知，代表海天交界处的直线和代表太阳的圆共有2个公共点，因此二者的位置关系为相交，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识点，解题的关键是能把实际场景中的图形抽象为对应的几何图形，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
2.「2025广东广州二模」如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$CD$是$AB$边上的高，$AB=4$，如果圆$D$是以点$D$为圆心，$1.4$为半径的圆，那么圆$D$与直线$AC$的位置关系是 (
A.相切
B.相离
C.相交
D.不能确定
B
)A.相切
B.相离
C.相交
D.不能确定
答案
2.B $\because ∠ ACB=90°, ∠ A=30°,AB=4,\therefore BC=2,∠ B=90°-30°=60°,\therefore AC=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},\because CD$ 是 $AB$ 上的高,$\therefore ∠ BCD=90°-∠ B=30°,\therefore BD=\frac{1}{2}BC=1,\therefore CD=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3},\therefore AD=AB-BD=3$,如图,过点 $D$ 作 $DH⊥ AC$ 于点 $H,\therefore DH=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}＞1.4,\therefore$ 圆 $D$ 与直线 $AC$ 的位置关系是相离.故选 B.
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系的核心是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小：若$d＞r$则两图形相离，$d=r$则相切，$d＜r$则相交。本题解题思路如下：首先利用$\mathrm{Rt}△ABC$中30°角的性质和勾股定理求出三角形各边长度，再结合$CD$是$AB$边上的高求出$AD$的长度，过点$D$作$AC$的垂线$DH$，利用30°直角三角形的性质求出$DH$（即圆心$D$到直线$AC$的距离），最后将$DH$与半径1.4比较即可得到结论。
【解析】
已知$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$：
1. 根据含30°角的直角三角形性质，得$BC=\frac{1}{2}AB=2$，$∠ B=90°-∠ A=60°$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$；
2. 因为$CD$是$AB$边上的高，所以$∠ CDB=90°$，可得$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，因此$BD=\frac{1}{2}BC=1$，由勾股定理得$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，进而得$AD=AB-BD=4-1=3$；
3. 过点$D$作$DH⊥ AC$于点$H$，在$\mathrm{Rt}△ADH$中，$∠ A=30°$，所以$DH=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}=1.5$；
4. 圆$D$的半径$r=1.4$，因为$1.5＞1.4$，即圆心到直线的距离大于半径，因此圆$D$与直线$AC$相离。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直线与圆的位置关系判定和直角三角形的相关性质，解题的关键是准确求出圆心到直线的距离，再与半径进行大小比较，属于基础类的综合考题。
【难度系数】
0.7
判断直线与圆的位置关系的核心是比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小：若$d＞r$则两图形相离，$d=r$则相切，$d＜r$则相交。本题解题思路如下：首先利用$\mathrm{Rt}△ABC$中30°角的性质和勾股定理求出三角形各边长度，再结合$CD$是$AB$边上的高求出$AD$的长度，过点$D$作$AC$的垂线$DH$，利用30°直角三角形的性质求出$DH$（即圆心$D$到直线$AC$的距离），最后将$DH$与半径1.4比较即可得到结论。
【解析】
已知$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$：
1. 根据含30°角的直角三角形性质，得$BC=\frac{1}{2}AB=2$，$∠ B=90°-∠ A=60°$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$；
2. 因为$CD$是$AB$边上的高，所以$∠ CDB=90°$，可得$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，因此$BD=\frac{1}{2}BC=1$，由勾股定理得$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，进而得$AD=AB-BD=4-1=3$；
3. 过点$D$作$DH⊥ AC$于点$H$，在$\mathrm{Rt}△ADH$中，$∠ A=30°$，所以$DH=\frac{1}{2}AD=\frac{3}{2}=1.5$；
4. 圆$D$的半径$r=1.4$，因为$1.5＞1.4$，即圆心到直线的距离大于半径，因此圆$D$与直线$AC$相离。
【答案】
B
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直线与圆的位置关系判定和直角三角形的相关性质，解题的关键是准确求出圆心到直线的距离，再与半径进行大小比较，属于基础类的综合考题。
【难度系数】
0.7
3.「2026北京顺义牛栏山一中期中」若点M在$\odot O$内，则过点M的直线，与$\odot O$的公共点个数为
2
。答案
3.答案 2
解析 $\because$ 点 $M$ 在 $\odot O$ 内,$\therefore$ 过点 $M$ 的直线与 $\odot O$ 相交,$\therefore$ 过点 $M$ 的直线,与 $\odot O$ 的公共点个数为 2.
解析 $\because$ 点 $M$ 在 $\odot O$ 内,$\therefore$ 过点 $M$ 的直线与 $\odot O$ 相交,$\therefore$ 过点 $M$ 的直线,与 $\odot O$ 的公共点个数为 2.
解析
【分析】
解题时先回忆相关性质：首先明确点与圆的位置关系对应的数量特征，再结合直线与圆的位置关系的判定方法推导。第一步，由点M在圆内可得圆心到M的距离小于半径；第二步，根据垂线段最短，可知过M的直线到圆心的距离一定小于半径，因此直线与圆相交；第三步，相交对应的公共点个数即为答案。
【解析】
∵点M在$\odot O$内，
∴圆心O到点M的距离小于$\odot O$的半径，
根据垂线段最短的性质，过点M的任意直线，圆心O到该直线的距离≤圆心O到M的距离，因此圆心到直线的距离小于圆的半径，
∴过点M的直线与$\odot O$相交，相交时直线与圆的公共点个数为2。
【答案】
2
【知识点】
直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是掌握过圆内一点的直线必然与圆相交的性质，避免混淆圆内、圆上点对应的直线与圆的位置关系导致错误。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相关性质：首先明确点与圆的位置关系对应的数量特征，再结合直线与圆的位置关系的判定方法推导。第一步，由点M在圆内可得圆心到M的距离小于半径；第二步，根据垂线段最短，可知过M的直线到圆心的距离一定小于半径，因此直线与圆相交；第三步，相交对应的公共点个数即为答案。
【解析】
∵点M在$\odot O$内，
∴圆心O到点M的距离小于$\odot O$的半径，
根据垂线段最短的性质，过点M的任意直线，圆心O到该直线的距离≤圆心O到M的距离，因此圆心到直线的距离小于圆的半径，
∴过点M的直线与$\odot O$相交，相交时直线与圆的公共点个数为2。
【答案】
2
【知识点】
直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是掌握过圆内一点的直线必然与圆相交的性质，避免混淆圆内、圆上点对应的直线与圆的位置关系导致错误。
【难度系数】
0.9
4.「2025江苏宿迁宿城期中」如图,在平面直角坐标系中,A(2,5),B(4,5),C(6,3).$\odot M$经过A,B,C三点.
(1)点M的坐标是
(2)判断$\odot M$与y轴的位置关系,并说明理由.
(1)点M的坐标是
(3,2)
.(2)判断$\odot M$与y轴的位置关系,并说明理由.
答案
4.解析 (1)(3,2).详解:如图,连接 $AB,BC$,分别作 $AB,BC$ 的垂直平分线交于点 $M$,则以点 $M$ 为圆心,$AM$ 长为半径的圆即为所求,根据网格的特点可知点 $M$ 的坐标为 $(3,2)$,故答案为 $(3,2)$.
(2)$\odot M$ 与 $y$ 轴相交.理由如下:
由勾股定理得 $MA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,
即 $\odot M$ 的半径 $r=\sqrt{10}$,
$\because \odot M$ 的圆心 $M$ 的坐标为 $(3,2)$,
$\therefore$ 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离 $d=3$,
$\because 3＜\sqrt{10},\therefore \odot M$ 与 $y$ 轴相交.
解析
【分析】
(1) 过三点的圆的圆心到三个点的距离相等，是这三个点构成三角形的三边垂直平分线的交点。首先观察A、B两点纵坐标相同，可知AB是平行于x轴的线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，可快速得出该垂直平分线为x=3；再求出BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心M的坐标。
(2) 判断圆和y轴的位置关系，只需比较圆心到y轴的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。因此先计算圆的半径，再求出圆心到y轴的距离，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 连接$AB,BC$，分别作$AB,BC$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心M。
已知$A(2,5),B(4,5)$，AB的中点为$(3,5)$，且AB平行于x轴，因此AB的垂直平分线为直线$x=3$。
再求BC的垂直平分线：$B(4,5),C(6,3)$，BC的中点为$(5,4)$，直线BC的斜率为$-1$，因此BC垂直平分线的斜率为1，方程为$y-4=x-5$，即$y=x-1$。
将$x=3$代入$y=x-1$，得$y=2$，因此点M的坐标为$(3,2)$。
(2) $\odot M$与y轴相交，理由如下：
由勾股定理得半径$MA=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，即$\odot M$的半径$r=\sqrt{10}$。
圆心$M(3,2)$到y轴的距离$d$为横坐标的绝对值，即$d=3$。
$\because 3=\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，即$d＜r$，$\therefore \odot M$与y轴相交。
【答案】
(1) $\boxed{(3,2)}$
(2) $\odot M$与y轴相交，理由见解析。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 直线与圆的位置关系判定
3. 勾股定理
【点评】
本题考查三角形外接圆圆心的确定及直线与圆位置关系的判断，解题核心是掌握外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，以及利用距离和半径的大小关系判断直线与圆的位置，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
(1) 过三点的圆的圆心到三个点的距离相等，是这三个点构成三角形的三边垂直平分线的交点。首先观察A、B两点纵坐标相同，可知AB是平行于x轴的线段，它的垂直平分线是过AB中点的竖直线，可快速得出该垂直平分线为x=3；再求出BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心M的坐标。
(2) 判断圆和y轴的位置关系，只需比较圆心到y轴的距离d和圆半径r的大小：d＜r时相交，d=r时相切，d＞r时相离。因此先计算圆的半径，再求出圆心到y轴的距离，比较二者大小即可得出结论。
【解析】
(1) 连接$AB,BC$，分别作$AB,BC$的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心M。
已知$A(2,5),B(4,5)$，AB的中点为$(3,5)$，且AB平行于x轴，因此AB的垂直平分线为直线$x=3$。
再求BC的垂直平分线：$B(4,5),C(6,3)$，BC的中点为$(5,4)$，直线BC的斜率为$-1$，因此BC垂直平分线的斜率为1，方程为$y-4=x-5$，即$y=x-1$。
将$x=3$代入$y=x-1$，得$y=2$，因此点M的坐标为$(3,2)$。
(2) $\odot M$与y轴相交，理由如下：
由勾股定理得半径$MA=\sqrt{(3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，即$\odot M$的半径$r=\sqrt{10}$。
圆心$M(3,2)$到y轴的距离$d$为横坐标的绝对值，即$d=3$。
$\because 3=\sqrt{9}＜\sqrt{10}$，即$d＜r$，$\therefore \odot M$与y轴相交。
【答案】
(1) $\boxed{(3,2)}$
(2) $\odot M$与y轴相交，理由见解析。
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 直线与圆的位置关系判定
3. 勾股定理
【点评】
本题考查三角形外接圆圆心的确定及直线与圆位置关系的判断，解题核心是掌握外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，以及利用距离和半径的大小关系判断直线与圆的位置，解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.7
5. 学科特色
易错题
「2026江苏无锡滨湖期中，★☆」若$\odot O$的半径为5，点$P$到圆心$O$的距离也为5，则经过点$P$的直线与$\odot O$的位置关系是（
A.相切
B.相交
C.相切或相交
D.相切或相离
易错题
「2026江苏无锡滨湖期中，★☆」若$\odot O$的半径为5，点$P$到圆心$O$的距离也为5，则经过点$P$的直线与$\odot O$的位置关系是（
C
）A.相切
B.相交
C.相切或相交
D.相切或相离
答案
5.C 设圆的半径是 $r$,圆心 $O$ 到过点 $P$ 的直线的距离为 $d$,有两种情况:如图 1,当 $d=r$ 时,直线与圆相切;如图 2,当 $d＜r$ 时,直线与圆相交.综上,经过点 $P$ 的直线与 $\odot O$ 的位置关系是相切或相交.故选 C.
易错警示 本题易因将圆心到点的距离当成圆心到直线的距离而出错.
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系的核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先根据OP=r=5可确定点P在⊙O上，过圆上一点P作直线时，圆心到直线的距离d的最大值为OP的长度（即r），不可能大于r，因此只需分d=r和d＜r两种情况讨论，对应相切和相交两种位置关系，即可得出结论。
【解析】
解：已知⊙O的半径$r=5$，点P到圆心O的距离为5，即$OP=r=5$，因此点P在$\odot O$上。
设圆心O到经过点P的直线的距离为$d$：
① 当直线与OP垂直时，如图1，此时$d=OP=r=5$，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线与$\odot O$相切；
② 当直线与OP不垂直时，如图2，根据“垂线段最短”，可得$d＜OP=5=r$，此时直线与$\odot O$相交。
综上，经过点P的直线与$\odot O$的位置关系是相切或相交，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系、垂线段最短、点与圆的位置关系
【点评】
本题是易错题，常因忽略过点P的直线有不同倾斜情况，误将点到圆心的距离直接当成圆心到直线的距离错选A，解题时注意分类讨论，结合直线与圆位置关系的判定方法分析即可。
【难度系数】
0.7
判断直线与圆的位置关系的核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先根据OP=r=5可确定点P在⊙O上，过圆上一点P作直线时，圆心到直线的距离d的最大值为OP的长度（即r），不可能大于r，因此只需分d=r和d＜r两种情况讨论，对应相切和相交两种位置关系，即可得出结论。
【解析】
解：已知⊙O的半径$r=5$，点P到圆心O的距离为5，即$OP=r=5$，因此点P在$\odot O$上。
设圆心O到经过点P的直线的距离为$d$：
① 当直线与OP垂直时，如图1，此时$d=OP=r=5$，根据直线与圆的位置关系判定规则，此时直线与$\odot O$相切；
② 当直线与OP不垂直时，如图2，根据“垂线段最短”，可得$d＜OP=5=r$，此时直线与$\odot O$相交。
综上，经过点P的直线与$\odot O$的位置关系是相切或相交，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系、垂线段最短、点与圆的位置关系
【点评】
本题是易错题，常因忽略过点P的直线有不同倾斜情况，误将点到圆心的距离直接当成圆心到直线的距离错选A，解题时注意分类讨论，结合直线与圆位置关系的判定方法分析即可。
【难度系数】
0.7
6.「2025广东广州越秀一模，★☆」在平面直角坐标系$xOy$中，$\odot O$的半径为2.5，直线$l$的解析式为$y=\frac{3}{4}x+3$，那么直线$l$与$\odot O$的位置关系是（
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
C
）A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
答案
6.C 如图,直线 $y=\frac{3}{4}x+3$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $B$,$A$,过点 $O$ 作 $OH⊥ AB$ 于点 $H$.
当 $x=0$ 时,$y=3,\therefore OA=3$,当 $y=0$ 时,$\frac{3}{4}x+3=0$,
$\therefore x=-4,\therefore OB=4,\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5,\because △ AOB$ 的面积 $=\frac{1}{2}AB· OH=\frac{1}{2}OB· OA,\therefore 5× OH=3× 4$,
$\therefore OH=2.4,\therefore$ 点 $O$ 到直线 $l$ 的距离 $d=2.4,\because \odot O$ 的半径 $r=2.5,\therefore d＜r,\therefore$ 直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系是相交.故选 C.
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系的核心方法是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：若d＞r，直线与圆相离；若d=r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交。本题解题思路如下：首先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，得到直角三角形AOB的两条直角边长度；再用勾股定理计算斜边AB的长度；接着利用三角形面积的两种计算方式，通过等面积法求出斜边AB上的高OH，OH就是圆心O到直线l的距离d；最后比较d和半径r=2.5的大小，即可得出位置关系。
【解析】
解：设直线$y=\frac{3}{4}x+3$分别与x轴、y轴交于点B、A，过点O作$OH ⊥ AB$于点H，OH即为圆心O到直线l的距离。
1. 求交点坐标：
当$x=0$时，$y=3$，可得$OA=3$；
当$y=0$时，$\frac{3}{4}x+3=0$，解得$x=-4$，可得$OB=4$。
2. 求斜边AB长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 等面积法求OH：
$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· OH$，也可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，因此：
$\frac{1}{2}×5× OH=\frac{1}{2}×3×4$，
解得$OH=2.4$，即圆心到直线的距离$d=2.4$。
4. 比较d与r的大小：
已知$\odot O$的半径$r=2.5$，$\because 2.4＜2.5$，即$d＜r$，$\therefore$直线l与$\odot O$相交。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系、一次函数交点坐标、等面积法求距离
【点评】
本题是基础题型，重点考查直线与圆位置关系的判定逻辑，同时结合了一次函数性质、勾股定理和三角形面积的相关知识，解题思路固定，掌握核心判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
判断直线与圆的位置关系的核心方法是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小：若d＞r，直线与圆相离；若d=r，直线与圆相切；若d＜r，直线与圆相交。本题解题思路如下：首先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，得到直角三角形AOB的两条直角边长度；再用勾股定理计算斜边AB的长度；接着利用三角形面积的两种计算方式，通过等面积法求出斜边AB上的高OH，OH就是圆心O到直线l的距离d；最后比较d和半径r=2.5的大小，即可得出位置关系。
【解析】
解：设直线$y=\frac{3}{4}x+3$分别与x轴、y轴交于点B、A，过点O作$OH ⊥ AB$于点H，OH即为圆心O到直线l的距离。
1. 求交点坐标：
当$x=0$时，$y=3$，可得$OA=3$；
当$y=0$时，$\frac{3}{4}x+3=0$，解得$x=-4$，可得$OB=4$。
2. 求斜边AB长度：
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 等面积法求OH：
$△ AOB$的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· OH$，也可表示为$\frac{1}{2}OA· OB$，因此：
$\frac{1}{2}×5× OH=\frac{1}{2}×3×4$，
解得$OH=2.4$，即圆心到直线的距离$d=2.4$。
4. 比较d与r的大小：
已知$\odot O$的半径$r=2.5$，$\because 2.4＜2.5$，即$d＜r$，$\therefore$直线l与$\odot O$相交。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系、一次函数交点坐标、等面积法求距离
【点评】
本题是基础题型，重点考查直线与圆位置关系的判定逻辑，同时结合了一次函数性质、勾股定理和三角形面积的相关知识，解题思路固定，掌握核心判定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7.「2026广东广州西关外国语学校期中，★☆」如图，已知$∠ APB=30°$，$OP=3\ \mathrm{cm}$，$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，若圆心$O$沿着$BP$的方向在直线$BP$上移动.
(1)当圆心$O$移动的距离为$1\ \mathrm{cm}$时，说明$\odot O$与直线$PA$的位置关系.
(2)若圆心$O$移动的距离是$d$，当$\odot O$与直线$PA$相交时，求$d$的取值范围.
(1)当圆心$O$移动的距离为$1\ \mathrm{cm}$时，说明$\odot O$与直线$PA$的位置关系.
(2)若圆心$O$移动的距离是$d$，当$\odot O$与直线$PA$相交时，求$d$的取值范围.
答案
7.解析 (1)如图,当圆心 $O$ 向左移动 1 cm 时,$PO'=PO-O'O=3-1=2(\mathrm{cm})$,
如图,过点 $O'$ 作 $O'C⊥ PA$ 于点 $C,\because ∠ P=30°$,
$\therefore O'C=\frac{1}{2}PO'=1\ \mathrm{cm},\because \odot O$ 的半径为 $1\ \mathrm{cm},\therefore \odot O$ 与直线 $PA$ 的位置关系是相切.
(2)如图,当圆心 $O$ 由 $O'$ 向左继续移动时,$PA$ 与圆相交,
设当移动到点 $O''$ 时,$\odot O''$ 与直线 $PA$ 相切,此时 $O''P=PO'=2\ \mathrm{cm},\because OP=3\ \mathrm{cm},\therefore OO''=OP+O''P=3+2=5(\mathrm{cm})$,又 $\because OO'=1\ \mathrm{cm},\therefore$ 当 $\odot O$ 与直线 $PA$ 相交时,$d$ 的取值范围为 $1\ \mathrm{cm}＜d＜5\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离与圆半径的大小：距离等于半径时相切，距离小于半径时相交，距离大于半径时相离。(1)先计算圆心左移1cm后点P到新圆心的距离，再利用30°角直角三角形的性质求出新圆心到PA的距离，和半径对比即可判断位置关系；(2)先找到⊙O和PA相切的两个临界位置，分别计算对应圆心移动的距离，相交的情况就对应两个临界值之间的移动距离范围，注意不要遗漏圆心移动到P点左侧的相切情况。
【解析】
(1)当圆心$O$向左移动1 cm时，$PO'=PO-O'O=3-1=2(\mathrm{cm})$，
过点$O'$作$O'C⊥ PA$于点$C$，$\because ∠ APB=30°$，在$\mathrm{Rt}△ PO'C$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore O'C=\frac{1}{2}PO'=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
$\because \odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，即圆心到直线PA的距离等于半径，
$\therefore \odot O$与直线$PA$的位置关系是相切。
(2)当圆心$O$由$O'$向左继续移动时，$PA$与圆相交，
设当移动到点$O''$时，$\odot O''$与直线$PA$相切，同理可得此时$O''P=2\ \mathrm{cm}$，
$\because OP=3\ \mathrm{cm}$，此时圆心移动的距离$OO''=OP+O''P=3+2=5(\mathrm{cm})$，
又$\because$圆心移动到$O'$时移动距离为1cm，此时圆与PA相切，
$\therefore$当$\odot O$与直线$PA$相交时，$d$的取值范围为$1\ \mathrm{cm}＜d＜5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\odot O$与直线$PA$相切；
(2) $1\ \mathrm{cm}＜d＜5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题围绕直线与圆的位置关系设计，解题的关键是抓住“相切”这一临界状态，结合特殊直角三角形的性质计算对应线段长度，解题时要注意考虑圆心移动的两种相切情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离与圆半径的大小：距离等于半径时相切，距离小于半径时相交，距离大于半径时相离。(1)先计算圆心左移1cm后点P到新圆心的距离，再利用30°角直角三角形的性质求出新圆心到PA的距离，和半径对比即可判断位置关系；(2)先找到⊙O和PA相切的两个临界位置，分别计算对应圆心移动的距离，相交的情况就对应两个临界值之间的移动距离范围，注意不要遗漏圆心移动到P点左侧的相切情况。
【解析】
(1)当圆心$O$向左移动1 cm时，$PO'=PO-O'O=3-1=2(\mathrm{cm})$，
过点$O'$作$O'C⊥ PA$于点$C$，$\because ∠ APB=30°$，在$\mathrm{Rt}△ PO'C$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore O'C=\frac{1}{2}PO'=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}$，
$\because \odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，即圆心到直线PA的距离等于半径，
$\therefore \odot O$与直线$PA$的位置关系是相切。
(2)当圆心$O$由$O'$向左继续移动时，$PA$与圆相交，
设当移动到点$O''$时，$\odot O''$与直线$PA$相切，同理可得此时$O''P=2\ \mathrm{cm}$，
$\because OP=3\ \mathrm{cm}$，此时圆心移动的距离$OO''=OP+O''P=3+2=5(\mathrm{cm})$，
又$\because$圆心移动到$O'$时移动距离为1cm，此时圆与PA相切，
$\therefore$当$\odot O$与直线$PA$相交时，$d$的取值范围为$1\ \mathrm{cm}＜d＜5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\odot O$与直线$PA$相切；
(2) $1\ \mathrm{cm}＜d＜5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.直线与圆的位置关系判定
2.含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题围绕直线与圆的位置关系设计，解题的关键是抓住“相切”这一临界状态，结合特殊直角三角形的性质计算对应线段长度，解题时要注意考虑圆心移动的两种相切情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
