1. 下列分式是最简分式的是()

A.$\frac{4}{2x}$
B.$\frac{1}{x+1}$
C.$\frac{x+1}{x^2 -1}$
D.$\frac{2-x}{x-2}$

1. B

【分析】
判断最简分式的核心依据是：分式的分子和分母不含除1之外的公因式。解题时我们先明确最简分式的定义，再对每个选项的分子、分母分别分析，必要时对分母因式分解，判断是否存在公因式，逐一排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确最简分式定义：分子与分母没有非零次公因式的分式叫做最简分式。
选项A：$\frac{4}{2x}$的分子、分母有公因数2，约分可得$\frac{2}{x}$，不是最简分式，排除A；
选项B：$\frac{1}{x+1}$的分子是1，和分母$x+1$没有公因式，属于最简分式；
选项C：分母$x^2-1$用平方差公式因式分解为$(x+1)(x-1)$，和分子$x+1$有公因式$x+1$，约分可得$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式，排除C；
选项D：分子$2-x=-(x-2)$，和分母$x-2$有公因式$x-2$，约分可得$-1$，不是最简分式，排除D。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的定义；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式部分的基础题型，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，准确识别分子分母的公因式，注意互为相反数的整式也可作为公因式约分。
【难度系数】
0.8

2. 若点$P(1-2a,a)$在第二象限,则$a$的取值范围是()

A.$a＞\dfrac{1}{2}$
B.$a＜\dfrac{1}{2}$
C.$0＜a＜\dfrac{1}{2}$
D.$0≤ a＜\dfrac{1}{2}$

2. A

【分析】
解题首先要明确第二象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0。我们可以根据这个特征，结合点P的横、纵坐标列出关于a的一元一次不等式组，再分别解两个不等式，取两个解集的公共部分，就能得到a的取值范围，进而选出正确选项。
【解析】
∵点$P(1-2a,a)$在第二象限，第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}1-2a ＜ 0 ① \\a ＞ 0 ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$-2a ＜ -1$，
不等式两边同时除以-2，不等号方向改变，得$a ＞ \dfrac{1}{2}$，
结合不等式②$a＞0$，两个解集的公共部分为$a ＞ \dfrac{1}{2}$。
因此a的取值范围是$a ＞ \dfrac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题属于基础题，核心考查对各象限内点的坐标符号规律的掌握，以及解一元一次不等式组的能力，牢记各象限坐标的符号特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3. 如图,小亮从A点出发前进10 m,向右转15°,再前进10 m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了()


A.240 m
B.480 m
C.640 m
D.960 m

3. A

【分析】
首先观察小亮的行走规律：每次前进的距离都是10m，每次右转的角度都是15°，要回到出发点，说明他行走的路径是一个正多边形，每次右转的15°就是这个正多边形的外角度数。我们知道任意多边形的外角和都是360°，因此可以先通过外角和求出正多边形的边数，再用边数乘每条边的长度就能得到总路程。
【解析】
∵ 小亮每次前进距离相同，右转角度相同，回到出发点时行走路径为正多边形，且该正多边形的每个外角为15°
又
∵ 任意多边形的外角和为360°
∴ 该正多边形的边数为 $ 360° ÷ 15° = 24 $
∵ 每条边长度为10m
∴ 总路程为 $ 24 × 10 = 240\ \mathrm{m} $
故选A。
【答案】
A
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题将实际行走问题转化为正多边形的数学模型，解题的核心是理解每次右转的角度对应正多边形的外角，结合多边形外角和为固定值360°即可快速求解，侧重考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

4. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如图所示，其中射线OP为∠AOB的平分线的有()


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

4. D

【分析】
要判断射线OP是否为∠AOB的平分线，可结合角平分线的尺规作图规则、全等三角形性质、角平分线判定定理、等腰三角形三线合一等知识，逐个分析五幅图的作图逻辑：基础角平分线尺规作图可直接判定符合要求；其余作图可通过证明三角形全等、利用等腰三角形性质和平行线性质推导角相等，进而判断OP是否为角平分线。
【解析】
我们逐个验证5个图：
1. 第1个图：是角平分线的标准尺规作图，步骤完全符合要求，OP平分∠AOB；
2. 第2个图：由作图痕迹得OC=OD，CP=DP，又OP为公共边，
∴△OCP≌△ODP（SSS），
∴∠COP=∠DOP，OP平分∠AOB；
3. 第3个图：由作图痕迹可得对应边相等，同样可证△OCP≌△ODP（SSS），
∴∠AOP=∠BOP，OP平分∠AOB；
4. 第4个图：由作图得OC=CP，
∴∠COP=∠CPO，且CP//OB，
∴∠CPO=∠POB，等量代换得∠COP=∠POB，OP平分∠AOB；
5. 第5个图：由作图得OA=OB（均为圆弧半径），所作直线是线段AB的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一，∠AOB的平分线与AB的垂直平分线重合，故OP平分∠AOB。
综上，5个图的射线OP都是∠AOB的平分线，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查角平分线的多种作图原理，需要结合多个基础几何性质判断作图的正确性，熟练掌握相关几何定理、熟悉常见尺规作图的步骤是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.6

5. 如果$a+b=3$，$ab=1$，那么$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值为()

A.0
B.1
C.4
D.9

5. D

【分析】
题目给出了a+b和ab的取值，若单独求解a、b的值再代入计算会比较繁琐，因此优先考虑对所求代数式进行因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式，再整体代入已知条件计算即可，既简化运算也符合整式运算的解题逻辑。
【解析】
先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式化简）}\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入化简后的式子：
原式$=1×3^2=1×9=9$
【答案】
D
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值类的常见题型，解题核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的组合形式，用整体代入思想规避复杂的解方程步骤，考查学生对因式分解方法的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图，已知$ l_1 // l_2 $，直线$ l_1 $与直线$ l_2 $之间的距离为4，点A是直线$ l_1, l_2 $外一点，点A到直线$ l_1 $的距离为2，点B,D分别是直线$ l_1 $与直线$ l_2 $上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径画弧，再以点D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为()

A.6
B.8
C.10
D.12

6. B

【分析】
首先根据尺规作图的条件，得出四边形ABCD的两组对边分别相等，可判定该四边形为平行四边形；接下来结合平行线间的距离，分别求出点A到直线l₂的距离、点C到直线l₂的距离；最后根据两点之间线段最短，可知当A、C在垂直于l₁、l₂的同一直线上时，A、C的距离最小，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 判定四边形形状：由作图规则可得，AB=DC，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形。
2. 计算相关距离：已知直线l₁与l₂之间的距离为4，点A到l₁的距离为2，因此点A到直线l₂的距离为$2+4=6$；
结合平行四边形的特征，点C到直线l₂的距离与点A到l₁的距离相等，为2，且点C与点A分别位于l₁、l₂所夹区域的两侧。
3. 求AC最小值：根据两点之间线段最短，当A、C两点在垂直于l₁、l₂的同一条直线上时，A、C的距离最小，此时AC的长度为点A到l₂的距离与点C到l₂的距离之和，即$AC=6+2=8$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定，平行线间的距离，最短路径计算
【点评】
本题综合了尺规作图、平行四边形的性质与最短路径的相关知识，解题的核心是先通过作图特征判断四边形的形状，确定点C的位置规律，再找到距离最小的情况求解，能够很好地考查学生对几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6