6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$绕点A顺时针旋转得到$△ AB'C'$,点B,C的对应点分别为点$B'$,$C'$,$B'C'$的延长线与边BC相交于点D,连接$CC'$.若$AC=4$,$CD=3$,则线段$CC'$的长为()

A.$\dfrac{12}{5}$
B.$\dfrac{16}{5}$
C.$4$
D.$\dfrac{24}{5}$

6.D

【分析】
解题时先结合旋转的性质得到对应边、对应角相等，即$AC=AC'$，$∠AC'D=∠ACD=90°$；第一步利用勾股定理求出$Rt△ACD$的斜边$AD$的长度；第二步通过HL证明$Rt△ACD$和$Rt△AC'D$全等，得到$CD=C'D$，从而推出$AD$垂直平分$CC'$；最后利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，结合四边形$ACDC'$的面积列等式求解$CC'$的长度即可。
【解析】
解：
∵$△ABC$绕点A顺时针旋转得到$△AB'C'$，
∴$AC=AC'$，$∠AC'B'=∠ACB=90°$，即$∠AC'D=90°$。
在$Rt△ACD$中，$AC=4$，$CD=3$，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
在$Rt△ACD$和$Rt△AC'D$中：
$\begin{cases} AC=AC' \\ AD=AD \end{cases}$
∴$Rt△ACD≌Rt△AC'D$（HL），
∴$CD=C'D=3$，
∴点A、D均在$CC'$的垂直平分线上，即$AD⊥CC'$且$AD$平分$CC'$。
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×4×3=6$，
∴$S_{四边形ACDC'}=S_{△ ACD}+S_{△ AC'D}=6+6=12$。
又
∵对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，
∴$S_{四边形ACDC'}=\frac{1}{2}× AD× CC'$，
代入数值得：$\frac{1}{2}×5× CC'=12$，
解得$CC'=\frac{24}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合题，将旋转性质、全等三角形判定、勾股定理及面积法相结合，解题的突破口是证明$AD$垂直平分$CC'$，再借助面积法快速求出线段长度，对学生的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

二、填空题
1. 现有下列多项式:①$1-a^2$;②$a^2-2ab+b^2$;③$4a^2-9b^2$;④$3a^3-12a$. 在因式分解的过程中用到“平方差公式”的多项式为.(填序号)

1.①③④

【分析】
首先明确平方差公式因式分解的形式为$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，适用特征为：整式（或提公因式后的整式）是两项，两项都可以写成平方的形式，且两项符号相反。接下来我们逐个分析4个多项式的因式分解过程，判断是否用到平方差公式即可，注意部分多项式需要先提取公因式再判断是否能用平方差公式。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$\boldsymbol{m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)}$，我们逐个分析各多项式的因式分解过程：
① $1-a^2 = 1^2 - a^2 = (1+a)(1-a)$，直接使用平方差公式分解，符合要求；
② $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$，使用完全平方公式分解，未用到平方差公式，不符合要求；
③ $4a^2-9b^2 = (2a)^2 - (3b)^2 = (2a+3b)(2a-3b)$，直接使用平方差公式分解，符合要求；
④ $3a^3-12a = 3a(a^2-4) = 3a(a^2-2^2) = 3a(a+2)(a-2)$，提取公因式后使用平方差公式分解，也用到了平方差公式，符合要求。
综上，用到平方差公式的多项式为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
1. 平方差公式 2. 因式分解 3. 提公因式法
【点评】
本题重点考查平方差公式在因式分解中的应用，易错点是容易忽略先提取公因式再使用平方差公式的情况，做题时要先观察多项式是否有公因式，再判断是否符合公式的使用特征。
【难度系数】
0.7

2. 如图,已知△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5,AB=4,则△ABO的面积为.

2.7

【分析】
要求△ABO的面积，已知底AB的长度为4，只需先求出AB边上的高，即点O到AB的距离。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，题目中O是△ABC两个外角平分线的交点，已知O到BC的距离为3.5，可推出O到AB的距离等于O到BC的距离，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点O作$OF⊥ BC$于点F，$OG⊥ AB$于点G。
∵ 点O是△ABC的两个外角平分线AD、CE的交点，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点O到AB的距离$OG = $点O到BC的距离$OF$。
由题可知$OF=3.5$，因此$OG=3.5$。
根据三角形面积公式，可得：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}× AB × OG=\frac{1}{2}×4×3.5=7$
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的突破口是理解三角形外角平分线的交点到三角形各边所在直线的距离相等，进而求出△ABO的高，整体解题思路较为直接，掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】
0.7

3. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x - 3 ≤ 0, \\ x - a ＞ 0\end{cases}$恰有3个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。

3.$-2≤a＜-1$

【分析】
解题思路分为三步：第一步先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集；第二步根据解集的上限确定可能的整数解，结合“恰有3个整数解”的条件锁定具体的3个整数解；第三步根据整数解的范围确定参数a的边界，注意需要单独验证边界值是否符合要求，避免漏解或多解。
【解析】
1. 分别求解不等式：
解不等式$2x-3≤0$，移项得$2x≤3$，系数化为1得$x≤\frac{3}{2}=1.5$；
解不等式$x-a＞0$，移项得$x＞a$；
2. 确定不等式组的解集：结合两个不等式的解，可得公共解集为$\boldsymbol{a＜x≤1.5}$；
3. 确定整数解：小于等于1.5的整数从大到小依次为1、0、-1、-2……，要求恰有3个整数解，因此这3个整数解为1、0、-1；
4. 推导a的取值范围：
若要解集中仅包含1、0、-1三个整数，需满足：
$a＜-1$：如果$a≥-1$，则解集中不包含-1，仅剩下1、0两个整数解，不符合要求；
$a≥-2$：如果$a＜-2$，则解集中会包含-2，整数解变为1、0、-1、-2共4个，不符合要求；
综上可得a的取值范围是$-2≤a＜-1$。
【答案】
$-2≤a＜-1$
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解问题
【点评】
本题是不等式组含参问题的典型题型，核心是先求出固定的解集边界，再结合整数解的个数反向推导参数的范围，解题时需格外注意端点值是否可取，建议单独代入验证可以有效避免出错。
【难度系数】
0.6

4. 已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$的点落在段处.（请从①②③④中选择正确答案填在横线上）

4.②

【分析】
解题思路如下：第一步先对所求分式进行因式分解，约分化简为最简分式；第二步利用已知的a与b的比值关系，将b用a表示，代入最简分式求出结果；第三步判断计算结果落在数轴的哪个区间，对应到相应的段即可。需要注意因式分解要正确，由$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$可知a、b同号，$a+b≠0$，因此可以正常约分。
【解析】
首先化简分式$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$：
分子因式分解：$a^2+ab=a(a+b)$
分母用平方差公式因式分解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
因此原式可约分为：$\frac{a(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a}{a-b}$
已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$，可得$b=3a$，代入上式：
$\frac{a}{a-3a}=\frac{a}{-2a}=-\frac{1}{2}$
观察数轴：段①对应区间$(-2,-1)$，段②对应区间$(-1,0)$，段③对应区间$(0,1)$，段④对应区间$(1,2)$，$-\frac{1}{2}$属于$(-1,0)$区间，因此落在段②处。
【答案】
②
【知识点】
分式化简；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题解题核心是先化简分式再代值计算，能大幅简化运算过程，同时需要掌握因式分解的方法，以及数轴上区间和数值的对应关系。
【难度系数】
0.7

三、解答题
先化简,再求值:$(a+1+\frac{1}{a-1}) ÷ \frac{a^3 -2a^2}{a^2 -4a +4}$,其中$a$满足$a^2 -4=0.$

解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+1+\frac{1}{a-1}) ÷ \frac{a^3 -2a^2}{a^2 -4a +4}\\=&\frac{(a+1)(a-1)+1}{a-1} ÷ \frac{a^2(a-2)}{(a-2)^2}\\=&\frac{a^2 -1 +1}{a-1} · \frac{(a-2)^2}{a^2(a-2)}\\=&\frac{a^2}{a-1} · \frac{a-2}{a^2}\\=&\frac{a-2}{a-1}\end{aligned}$
由$a^2-4=0$，解得$a=2$或$a=-2$。
要使原式有意义，则$a-1≠0$，$a-2≠0$，$a≠0$，即$a≠1,2,0$，因此$a=-2$。
将$a=-2$代入$\frac{a-2}{a-1}$：
$\frac{-2-2}{-2-1}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$
综上，原式化简结果为$\frac{a-2}{a-1}$，值为$\frac{4}{3}$。

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先化简分式，先对括号内的整式与分式通分计算加法，再将除法转化为乘法，把分子、分母中能因式分解的部分分解后约分，得到最简分式；第二步求解关于a的方程，同时根据分式有意义的条件（所有分母、除数不能为0）筛选出符合要求的a的取值；第三步将符合要求的a代入最简分式计算结果即可。
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}&(a+1+\frac{1}{a-1}) ÷ \frac{a^3 -2a^2}{a^2 -4a +4}\\=&\frac{(a+1)(a-1)+1}{a-1} ÷ \frac{a^2(a-2)}{(a-2)^2}\\=&\frac{a^2 -1 +1}{a-1} · \frac{(a-2)^2}{a^2(a-2)}\\=&\frac{a^2}{a-1} · \frac{a-2}{a^2}\\=&\frac{a-2}{a-1}\end{aligned}$
由$a^2-4=0$，解得$a=2$或$a=-2$。
要使原式有意义，需满足各分母、除数不为0，即$a-1≠0$，$a-2≠0$，$a≠0$，即$a≠1,2,0$，因此$a=-2$。
将$a=-2$代入$\frac{a-2}{a-1}$得：
$\frac{-2-2}{-2-1}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{a-2}{a-1}$，值为$\frac{4}{3}$
【知识点】
分式混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查了分式通分、约分、因式分解等基础运算能力，也设置了分式有意义的条件这一易错点，解题时切记不要直接把方程的解全部代入，需先判断解是否满足分式有意义的要求，避免出现错误。
【难度系数】
0.7