登录
11. 如图是一个圆柱，底面圆的周长是12 cm，高是5 cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要
13
cm.答案
11.13
解析
【分析】
要求圆柱表面从A到B的最短彩带长度，需将曲面问题转化为平面问题求解：首先把圆柱侧面沿过A的母线剪开，展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，连接A、B的线段长度就是最短路径，再用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱的侧面展开，得到一个长等于底面周长12cm、宽等于圆柱高5cm的长方形。
根据两点之间线段最短，彩带的最短长度为该长方形对角线的长度。
由勾股定理可得，对角线长度为：
$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13(\mathrm{cm})$
【答案】
13
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型问题，解题关键是将曲面展开为平面，把未知的立体问题转化为熟悉的平面线段长度计算问题，解题时要注意找准展开后对应点的位置，避免出错。
【难度系数】
0.7
要求圆柱表面从A到B的最短彩带长度，需将曲面问题转化为平面问题求解：首先把圆柱侧面沿过A的母线剪开，展开为长方形，根据“两点之间线段最短”，连接A、B的线段长度就是最短路径，再用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
解：将圆柱的侧面展开，得到一个长等于底面周长12cm、宽等于圆柱高5cm的长方形。
根据两点之间线段最短，彩带的最短长度为该长方形对角线的长度。
由勾股定理可得，对角线长度为：
$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13(\mathrm{cm})$
【答案】
13
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理，最短路径求解
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型问题，解题关键是将曲面展开为平面，把未知的立体问题转化为熟悉的平面线段长度计算问题，解题时要注意找准展开后对应点的位置，避免出错。
【难度系数】
0.7
12. 若关于x的不等式组$\begin{cases}2x+1＜3,\\6(x-m)≥3+4x\end{cases}$只有3个整数解，则m的取值范围是 ______ 。
答案
12.$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$
解析
【分析】
解决这类含参数的不等式组整数解问题，思路如下：第一步先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集；第二步根据“只有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；第三步结合解集的左边界，列出关于参数m的不等式组，特别注意边界处等号是否可取，避免漏解或多解。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x+1＜3$：
移项得$2x＜3-1$，即$2x＜2$，
系数化为1得$x＜1$。
2. 解不等式$6(x-m)≥3+4x$：
去括号得$6x-6m≥3+4x$，
移项得$6x-4x≥3+6m$，即$2x≥3+6m$，
系数化为1得$x≥\frac{3+6m}{2}$。
因此不等式组的解集为$\frac{3+6m}{2}≤ x＜1$。
已知不等式组只有3个整数解，小于1的整数从大到小依次为0、-1、-2，因此这3个整数解就是0、-1、-2。
由此可得左边界满足：$-3＜\frac{3+6m}{2}≤-2$，
解这个不等式：
不等式两边同乘2得：$-6＜3+6m≤-4$，
不等式两边同减3得：$-9＜6m≤-7$，
不等式两边同除以6得：$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 不等式组的整数解应用
【点评】
本题是不等式组的常考题型，既考查解一元一次不等式组的基础运算能力，也考查结合整数解条件分析参数范围的逻辑思维，易错点为边界处等号的取舍，解题时可通过代入验证判断等号是否成立。
【难度系数】
0.6
解决这类含参数的不等式组整数解问题，思路如下：第一步先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集；第二步根据“只有3个整数解”的条件，确定这3个整数解的具体值；第三步结合解集的左边界，列出关于参数m的不等式组，特别注意边界处等号是否可取，避免漏解或多解。
【解析】
先分别求解不等式组中的两个不等式：
1. 解不等式$2x+1＜3$：
移项得$2x＜3-1$，即$2x＜2$，
系数化为1得$x＜1$。
2. 解不等式$6(x-m)≥3+4x$：
去括号得$6x-6m≥3+4x$，
移项得$6x-4x≥3+6m$，即$2x≥3+6m$，
系数化为1得$x≥\frac{3+6m}{2}$。
因此不等式组的解集为$\frac{3+6m}{2}≤ x＜1$。
已知不等式组只有3个整数解，小于1的整数从大到小依次为0、-1、-2，因此这3个整数解就是0、-1、-2。
由此可得左边界满足：$-3＜\frac{3+6m}{2}≤-2$，
解这个不等式：
不等式两边同乘2得：$-6＜3+6m≤-4$，
不等式两边同减3得：$-9＜6m≤-7$，
不等式两边同除以6得：$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$。
【答案】
$-\frac{3}{2}＜m≤-\frac{7}{6}$
【知识点】
1. 一元一次不等式组的解法
2. 不等式组的整数解应用
【点评】
本题是不等式组的常考题型，既考查解一元一次不等式组的基础运算能力，也考查结合整数解条件分析参数范围的逻辑思维，易错点为边界处等号的取舍，解题时可通过代入验证判断等号是否成立。
【难度系数】
0.6
13. 先化简，再求值：$\frac{x^2}{x^2 -4x +4} ÷ (1 + \frac{2}{x -2})$，其中$x=3$。
答案
13.解:原式=$\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}$
$=\frac{x}{x-2}.$
当$x=3$时,原式=$\frac{3}{3-2}=3.$
$=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}$
$=\frac{x}{x-2}.$
当$x=3$时,原式=$\frac{3}{3-2}=3.$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类基础题，解题思路清晰：第一步先化简原式，①利用完全平方公式将第一个分式的分母$x^2-4x+4$因式分解为$(x-2)^2$；②计算括号内的分式加法，将1通分为$\frac{x-2}{x-2}$，与$\frac{2}{x-2}$相加得到$\frac{x}{x-2}$；③根据分式除法法则，将除法转化为乘以除式的倒数；④约去分子、分母的公因式，得到最简分式。第二步验证x=3可使原分式所有分母不为0，代入最简分式计算即可得到结果。
【解析】
解：先对原式因式分解、计算括号内的加法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ ( \frac{x-2}{x-2} + \frac{2}{x-2} )\\&=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x-2+2}{x-2}\\&=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x}{x-2}\\\intertext{将除法转化为乘法，约分：}&=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}\\&=\frac{x}{x-2}\end{aligned}$
将$x=3$代入最简分式计算：
当$x=3$时，$\mathrm{原式}=\frac{3}{3-2}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式的混合运算；完全平方公式因式分解；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考察分式的运算顺序、通分约分规则以及因式分解的基础应用，计算时需注意先算括号内的运算，分式除法要先转化为乘法再约分，代入数值前可先确认取值使原分式有意义，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本题是分式化简求值类基础题，解题思路清晰：第一步先化简原式，①利用完全平方公式将第一个分式的分母$x^2-4x+4$因式分解为$(x-2)^2$；②计算括号内的分式加法，将1通分为$\frac{x-2}{x-2}$，与$\frac{2}{x-2}$相加得到$\frac{x}{x-2}$；③根据分式除法法则，将除法转化为乘以除式的倒数；④约去分子、分母的公因式，得到最简分式。第二步验证x=3可使原分式所有分母不为0，代入最简分式计算即可得到结果。
【解析】
解：先对原式因式分解、计算括号内的加法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ ( \frac{x-2}{x-2} + \frac{2}{x-2} )\\&=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x-2+2}{x-2}\\&=\frac{x^2}{(x-2)^2} ÷ \frac{x}{x-2}\\\intertext{将除法转化为乘法，约分：}&=\frac{x^2}{(x-2)^2} · \frac{x-2}{x}\\&=\frac{x}{x-2}\end{aligned}$
将$x=3$代入最简分式计算：
当$x=3$时，$\mathrm{原式}=\frac{3}{3-2}=3$
【答案】
3
【知识点】
分式的混合运算；完全平方公式因式分解；分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考察分式的运算顺序、通分约分规则以及因式分解的基础应用，计算时需注意先算括号内的运算，分式除法要先转化为乘法再约分，代入数值前可先确认取值使原分式有意义，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
14.全球人工智能产业发展迅速，智能芯片市场需求大增.某企业计划升级A，B两种智能芯片生产线，共40条.
(1)当地政府有补贴政策，升级一条A生产线补贴4万元，升级一条B生产线补贴3万元.完成升级后该企业共获145万元补贴，那么该企业升级A，B两种生产线各多少条？
(2)升级一条A生产线比B生产线多花8万元，用320万元升级A生产线的数量与用300万元升级B生产线的数量相同，那么拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需多少资金？
(1)当地政府有补贴政策，升级一条A生产线补贴4万元，升级一条B生产线补贴3万元.完成升级后该企业共获145万元补贴，那么该企业升级A，B两种生产线各多少条？
(2)升级一条A生产线比B生产线多花8万元，用320万元升级A生产线的数量与用300万元升级B生产线的数量相同，那么拿到145万元补贴后，完成40条生产线升级还需多少资金？
答案
14.解:(1)该企业升级A生产线25条、B生产线15条。
(2)还需4 855万元。
(2)还需4 855万元。
解析
【分析】
（1）本题包含两个未知量：升级A、B生产线的条数，存在两个明确等量关系：①A、B生产线总条数为40；②A生产线总补贴额+B生产线总补贴额=145万元，可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）首先需先求出升级1条A、B生产线的成本：已知升级1条A比B多花8万元，且320万元升级A的数量与300万元升级B的数量相等，结合“数量=总价÷单价”的关系列分式方程求出两种生产线的升级单价，再计算40条生产线升级总费用，减去补贴金额即可得到还需投入的资金。
【解析】
(1) 设该企业升级A生产线$x$条，升级B生产线$y$条，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=40\\4x+3y=145\end{cases}$
由第一个方程变形得$y=40-x$，代入第二个方程：
$4x+3(40-x)=145$
解得$x=25$，则$y=40-25=15$。
(2) 设升级一条B生产线需要$m$万元，则升级一条A生产线需要$(m+8)$万元，根据题意得：
$\dfrac{320}{m+8}=\dfrac{300}{m}$
交叉相乘得$320m=300(m+8)$，
整理得$20m=2400$，解得$m=120$。
经检验，$m=120$是原方程的解，且符合实际意义。
则升级一条A生产线的费用为$120+8=128$（万元）。
升级40条生产线的总费用为：$25×128 + 15×120=3200+1800=5000$（万元）。
扣除补贴后还需资金：$5000-145=4855$（万元）。
【答案】
(1)该企业升级A生产线25条、B生产线15条；(2)完成40条生产线升级还需4855万元。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.分式方程的应用
【点评】
本题结合产业热点考查方程的实际应用，解题核心是精准提取题干中等量关系列方程求解，求解分式方程后要注意检验解是否符合实际意义，整体侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题包含两个未知量：升级A、B生产线的条数，存在两个明确等量关系：①A、B生产线总条数为40；②A生产线总补贴额+B生产线总补贴额=145万元，可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）首先需先求出升级1条A、B生产线的成本：已知升级1条A比B多花8万元，且320万元升级A的数量与300万元升级B的数量相等，结合“数量=总价÷单价”的关系列分式方程求出两种生产线的升级单价，再计算40条生产线升级总费用，减去补贴金额即可得到还需投入的资金。
【解析】
(1) 设该企业升级A生产线$x$条，升级B生产线$y$条，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x+y=40\\4x+3y=145\end{cases}$
由第一个方程变形得$y=40-x$，代入第二个方程：
$4x+3(40-x)=145$
解得$x=25$，则$y=40-25=15$。
(2) 设升级一条B生产线需要$m$万元，则升级一条A生产线需要$(m+8)$万元，根据题意得：
$\dfrac{320}{m+8}=\dfrac{300}{m}$
交叉相乘得$320m=300(m+8)$，
整理得$20m=2400$，解得$m=120$。
经检验，$m=120$是原方程的解，且符合实际意义。
则升级一条A生产线的费用为$120+8=128$（万元）。
升级40条生产线的总费用为：$25×128 + 15×120=3200+1800=5000$（万元）。
扣除补贴后还需资金：$5000-145=4855$（万元）。
【答案】
(1)该企业升级A生产线25条、B生产线15条；(2)完成40条生产线升级还需4855万元。
【知识点】
1.二元一次方程组的应用
2.分式方程的应用
【点评】
本题结合产业热点考查方程的实际应用，解题核心是精准提取题干中等量关系列方程求解，求解分式方程后要注意检验解是否符合实际意义，整体侧重考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
