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1.「2026江苏徐州邳州月考」一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小育想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，则他应该带去的一块碎玻璃是（
A.①
B.②
C.③
D.④
C
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.C 题图中碎玻璃③包括了两角和它们的夹边,根据三角形全等的判定方法ASA可知,带③去能买到一块形状、大小与原来完全一样的玻璃.故选C.
2. 学科 特色
教材变式
「2026江苏无锡经开区期中」如图，已知∠ABC=∠DCB，若以“ASA”判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是
教材变式
「2026江苏无锡经开区期中」如图，已知∠ABC=∠DCB，若以“ASA”判定△ABC≌△DCB，则需添加的条件是
∠ACB=∠DBC
。答案
2.答案 ∠ACB=∠DBC
解析 在△ABC和△DCB中，$\begin{cases} ∠ABC=∠DCB, \\ BC=CB, \\ ∠ACB=∠DBC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DCB(ASA).故答案为∠ACB=∠DBC.
解析 在△ABC和△DCB中，$\begin{cases} ∠ABC=∠DCB, \\ BC=CB, \\ ∠ACB=∠DBC, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DCB(ASA).故答案为∠ACB=∠DBC.
3.如图，$AB// DE$，且$AB=DE$，$∠ B=∠ E$，若$AF=1$，$FD=4$，则$FC$的长是
3
。答案
3.答案 3
解析
∵ AB//DE,
∴ ∠A = ∠D.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DE, \\ ∠B=∠E, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(ASA),
∴ AC = DF = 4.
∵ AF = 1,
∴ FC = AC - AF = 4 - 1 = 3.故答案为3.
解析
∵ AB//DE,
∴ ∠A = ∠D.
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠A=∠D, \\ AB=DE, \\ ∠B=∠E, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(ASA),
∴ AC = DF = 4.
∵ AF = 1,
∴ FC = AC - AF = 4 - 1 = 3.故答案为3.
4.「2026江苏宿迁泗阳期中」如图，在$△ ABC$中，D是BC上一点，E是$△ ABC$外一点，$AC=AE$，$∠ C=∠ E$，$∠ BAD=∠ CAE$。
(1)求证：$△ ABC≌△ ADE$。
(2)若$AB=2$，$AE=3$，求AC的长。
(1)求证：$△ ABC≌△ ADE$。
(2)若$AB=2$，$AE=3$，求AC的长。
答案
4.解析 (1)证明:
∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴ ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD,即∠BAC = ∠DAE,
在△ABC和△ADE中，$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ AC=AE, \\ ∠BAC=∠DAE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADE(ASA).
(2)由(1)得△ABC≌△ADE,
∴ AC = AE = 3.
∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴ ∠BAD + ∠CAD = ∠CAE + ∠CAD,即∠BAC = ∠DAE,
在△ABC和△ADE中，$\begin{cases} ∠C=∠E, \\ AC=AE, \\ ∠BAC=∠DAE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADE(ASA).
(2)由(1)得△ABC≌△ADE,
∴ AC = AE = 3.
5.「2026江苏盐城东台月考，★☆」如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，$CD ⊥ AB$，在$AC$上取一点$E$，使$EC=BC$，过点$E$作$EF ⊥ AC$交$CD$的延长线于点$F$，若$EF=5\ \mathrm{cm}$，则$AE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
5.答案 3
解析
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ECF + ∠BCD = 90°,
∵ CD⊥AB,
∴ ∠BCD + ∠B = 90°,
∴ ∠ECF = ∠B,
∵ EF⊥AC,
∴ ∠FEC = 90° = ∠ACB,
在△ABC和△FCE中，$\begin{cases} ∠ACB=∠FEC, \\ BC=CE, \\ ∠B=∠ECF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△FCE(ASA),
∴ AC = FE = 5 cm,
又
∵ EC = BC = 2 cm,
∴ AE = AC - EC = 5 - 2 = 3(cm).
解析
∵ ∠ACB = 90°,
∴ ∠ECF + ∠BCD = 90°,
∵ CD⊥AB,
∴ ∠BCD + ∠B = 90°,
∴ ∠ECF = ∠B,
∵ EF⊥AC,
∴ ∠FEC = 90° = ∠ACB,
在△ABC和△FCE中，$\begin{cases} ∠ACB=∠FEC, \\ BC=CE, \\ ∠B=∠ECF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△FCE(ASA),
∴ AC = FE = 5 cm,
又
∵ EC = BC = 2 cm,
∴ AE = AC - EC = 5 - 2 = 3(cm).
6.「2026江苏盐城响水期中，★☆」如图，AE垂直∠ABC的平分线于点D，交BC于点E，BC=3CE，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为
2
。答案
6.答案 2
解析
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠EBD,
∵ BD⊥AE,
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°,
在△ABD和△EBD中，$\begin{cases} ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠EDB, \end{cases}$
∴ △ABD≌△EBD(ASA),
∴ AD = ED,
∴ $S_{△ABD}=S_{△EBD},S_{△ACD}=S_{△ECD}$,
∵ $S_{△ABC}=12$,
∴ $S_{△BDC}=S_{△EBD}+S_{△ECD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=6$,
∵ BC = 3CE,
∴ $CE=\frac{1}{3}BC$,
∴ $S_{△CDE}=\frac{1}{3}S_{△BDC}=\frac{1}{3}×6=2$.
解析
∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠EBD,
∵ BD⊥AE,
∴ ∠ADB = ∠EDB = 90°,
在△ABD和△EBD中，$\begin{cases} ∠ABD=∠EBD, \\ BD=BD, \\ ∠ADB=∠EDB, \end{cases}$
∴ △ABD≌△EBD(ASA),
∴ AD = ED,
∴ $S_{△ABD}=S_{△EBD},S_{△ACD}=S_{△ECD}$,
∵ $S_{△ABC}=12$,
∴ $S_{△BDC}=S_{△EBD}+S_{△ECD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=6$,
∵ BC = 3CE,
∴ $CE=\frac{1}{3}BC$,
∴ $S_{△CDE}=\frac{1}{3}S_{△BDC}=\frac{1}{3}×6=2$.
7.「2026湖北武汉黄陂月考改编，★☆」如图,在锐角$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,点$E$在$AD$上,$DE=DC$,$∠ DEB=∠ DCA$,点$F$为$BC$的中点,连接$EF$并延长至点$M$,使$FM=EF$.
(1)求证:$BE=AC$.
(2)判断线段$AC$与线段$CM$的关系,并证明.
(1)求证:$BE=AC$.
(2)判断线段$AC$与线段$CM$的关系,并证明.
答案
7.解析 (1)证明:
∵ AD⊥BC,
∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°,
在△BDE和△ADC中，$\begin{cases} ∠DEB=∠DCA, \\ DE=DC, \\ ∠BDE=∠ADC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADC(ASA),
∴ BE = AC.
(2)AC = CM 且 AC ⊥ CM.
证明:
∵ 点F为BC的中点,
∴ BF = CF,
在△BEF和△CMF中，$\begin{cases} BF=CF, \\ ∠BFE=∠CFM, \\ EF=MF, \end{cases}$
∴ △BEF≌△CMF(SAS),
∴ BE = CM,∠FBE = ∠FCM,
由(1)得△BDE≌△ADC,
∴ BE = AC,∠DBE = ∠DAC,
∴ AC = CM,∠MCF = ∠DAC,
∵ ∠ADC = 90°,
∴ ∠DAC + ∠ACD = 90°,
∴ ∠MCF + ∠ACD = 90°,
∴ AC ⊥ CM.
∵ AD⊥BC,
∴ ∠BDE = ∠ADC = 90°,
在△BDE和△ADC中，$\begin{cases} ∠DEB=∠DCA, \\ DE=DC, \\ ∠BDE=∠ADC, \end{cases}$
∴ △BDE≌△ADC(ASA),
∴ BE = AC.
(2)AC = CM 且 AC ⊥ CM.
证明:
∵ 点F为BC的中点,
∴ BF = CF,
在△BEF和△CMF中，$\begin{cases} BF=CF, \\ ∠BFE=∠CFM, \\ EF=MF, \end{cases}$
∴ △BEF≌△CMF(SAS),
∴ BE = CM,∠FBE = ∠FCM,
由(1)得△BDE≌△ADC,
∴ BE = AC,∠DBE = ∠DAC,
∴ AC = CM,∠MCF = ∠DAC,
∵ ∠ADC = 90°,
∴ ∠DAC + ∠ACD = 90°,
∴ ∠MCF + ∠ACD = 90°,
∴ AC ⊥ CM.
