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1.「2026重庆合川期中」如图，$∠ B = ∠ D$，$DE = BC$，若$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，则$DC$的长是（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
C
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
1.C 在△ABC和△ADE中，$\begin{cases} ∠A=∠A, \\ ∠B=∠D, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADE(AAS),
∴ AD=AB=8 cm,
∵ AC=3 cm,
∴ DC=AD-AC=5 cm.故选C.
∴ △ABC≌△ADE(AAS),
∴ AD=AB=8 cm,
∵ AC=3 cm,
∴ DC=AD-AC=5 cm.故选C.
2.如图，D，E是边BC上的两点，$BD=CE$，$∠ ADB=∠ AEC$，现要直接用“AAS”来证明$△ ABD≌△ ACE$，请你再添加一个条件：
∠BAD=∠CAE
.答案
2.答案 $∠BAD=∠CAE$
解析 在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} ∠BAD=∠CAE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS).故答案为$∠BAD=∠CAE$.
解析 在△ABD和△ACE中，$\begin{cases} ∠BAD=∠CAE, \\ ∠ADB=∠AEC, \\ BD=CE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(AAS).故答案为$∠BAD=∠CAE$.
3.「2026江苏常州天宁期中」如图所示的是小明和小红玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的高度为40 cm，当小明(点A)到水平线CD的距离AM为30 cm时，小红(点B)到地面的距离为
70 cm
。答案
3.答案 70 cm
解析 由题意得$∠AMO=∠BNO=90°$,
∵ 点O是AB的中点,
∴ OA=OB,
在△AOM和△BON中，$\begin{cases} ∠AMO=∠BNO, \\ ∠AOM=∠BON, \\ OA=OB, \end{cases}$
∴ △AOM≌△BON(AAS),
∴ BN=AM=30 cm,
∵ OE=40 cm,且OE与地面垂直,
∴ 小红(点B)到地面的距离为30+40=70(cm).
解析 由题意得$∠AMO=∠BNO=90°$,
∵ 点O是AB的中点,
∴ OA=OB,
在△AOM和△BON中，$\begin{cases} ∠AMO=∠BNO, \\ ∠AOM=∠BON, \\ OA=OB, \end{cases}$
∴ △AOM≌△BON(AAS),
∴ BN=AM=30 cm,
∵ OE=40 cm,且OE与地面垂直,
∴ 小红(点B)到地面的距离为30+40=70(cm).
4.「2025四川内江中考」如图,点$B,F,C,E$在同一条直线上,$AC=DF$,$∠ A=∠ D$,$AB// DE$.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ DEF$.
(2)若$BF=4$,$FC=3$,求$BE$的长.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ DEF$.
(2)若$BF=4$,$FC=3$,求$BE$的长.
答案
4.解析 (1)证明:
∵ AB//DE,
∴ ∠B=∠E,
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠B=∠E, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(AAS).
(2)由(1)得△ABC≌△DEF,
∴ BC=EF,
∴ BC-CF=EF-CF,即BF=EC=4,
∵ FC=3,
∴ BE=BF+FC+EC=4+3+4=11.
∵ AB//DE,
∴ ∠B=∠E,
在△ABC和△DEF中，$\begin{cases} ∠B=∠E, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(AAS).
(2)由(1)得△ABC≌△DEF,
∴ BC=EF,
∴ BC-CF=EF-CF,即BF=EC=4,
∵ FC=3,
∴ BE=BF+FC+EC=4+3+4=11.
5.「2026江苏泰州泰兴月考，★☆」如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC,D$为平面上一点,$AD⊥ DC$,若$CD=6$,则$△ BCD$的面积为
18
.答案
5.答案 18
解析 如图,过点B作BE⊥CD于点E,
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACD+∠BCE=90°,
∵ AD⊥CD,BE⊥CD,
∴ ∠ADC=∠CEB=90°,
∴ ∠ACD+∠CAD=90°,
∴ ∠CAD=∠BCE,
在△ACD和△CBE中，$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=CB, \end{cases}$
∴ △ACD≌△CBE(AAS),
∴ BE=CD=6,
∴ △BCD的面积为$\frac{1}{2}CD·BE=\frac{1}{2}×6×6=18$.
6. 学科 特色 一线三等角模型 「2026 福建泉州石狮期中节选，★★」
（1）如图1，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°, AC = BC$，直线$l$经过点$C$，分别过点$A,B$向直线$l$作垂线，垂足分别为$D,E$.求证:$△ ACD ≌ △ CBE$.
（2）如图2，在$△ ABC$中，$AC = BC$，直线$l$经过点$C$，点$D,E$在直线$l$上.如果$∠ ADC = ∠ ACB = ∠ BEC$，猜想$DE,AD,BE$之间的数量关系，并证明.
（1）如图1，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°, AC = BC$，直线$l$经过点$C$，分别过点$A,B$向直线$l$作垂线，垂足分别为$D,E$.求证:$△ ACD ≌ △ CBE$.
（2）如图2，在$△ ABC$中，$AC = BC$，直线$l$经过点$C$，点$D,E$在直线$l$上.如果$∠ ADC = ∠ ACB = ∠ BEC$，猜想$DE,AD,BE$之间的数量关系，并证明.
答案
6.解析 (1)证明:
∵ AD⊥DE,BE⊥DE,
∴ ∠ADC = ∠CEB=90°,
∴ ∠ACD+∠CAD=90°,
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACD+∠BCE=90°,
∴ ∠CAD=∠BCE,
在△ACD和△CBE中，$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=CB, \end{cases}$
∴ △ACD≌△CBE(AAS).
(2)DE=AD+BE.
证明:
∵ ∠ADC=∠ACB,
∴ ∠DAC+∠ACD = ∠ACD+∠ECB,
∴ ∠DAC=∠ECB,
∵ AC=CB,∠ADC=∠CEB,
∴ △ACD≌△CBE(AAS),
∴ CD=BE,AD=CE,
∵ DE=CD+CE,
∴ DE=AD+BE.
∵ AD⊥DE,BE⊥DE,
∴ ∠ADC = ∠CEB=90°,
∴ ∠ACD+∠CAD=90°,
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACD+∠BCE=90°,
∴ ∠CAD=∠BCE,
在△ACD和△CBE中，$\begin{cases} ∠ADC=∠CEB, \\ ∠CAD=∠BCE, \\ AC=CB, \end{cases}$
∴ △ACD≌△CBE(AAS).
(2)DE=AD+BE.
证明:
∵ ∠ADC=∠ACB,
∴ ∠DAC+∠ACD = ∠ACD+∠ECB,
∴ ∠DAC=∠ECB,
∵ AC=CB,∠ADC=∠CEB,
∴ △ACD≌△CBE(AAS),
∴ CD=BE,AD=CE,
∵ DE=CD+CE,
∴ DE=AD+BE.
