② 如图甲所示，物体A是底面积为$100\ \mathrm{cm}^2$不吸水的圆柱形物体，轻质细杆（体积忽略不计）的一端固定在底面积为$200\ \mathrm{cm}^2$圆柱形容器的底部，另一端与A固定。现缓慢地向容器内注水，物体A受到细杆的弹力$F$的大小随容器中水深$h$变化的关系图像如图乙所示。

（1）物体A的质量为，物体A的密度为。
（2）当物体A受到细杆的弹力$F=3\ \mathrm{N}$时，容器中水的体积是多少？

2.(1)1.2 kg 0.6×10³ kg/m³ (2)1 300 cm³ 或 1 900 cm³

【分析】
首先结合图乙分析物体A的受力：当水深h≤2cm时，物体A未浸入水中，细杆拉力等于物体A的重力；水深增加时，物体A浸入水中，浮力增大，拉力减小，弹力为0时浮力等于重力；继续注水，物体A被下压，细杆产生压力，完全浸没时压力稳定为8N。解题时需分阶段分析受力，利用重力、浮力、密度的关系，结合体积关系计算。
【解析】
（1）由图乙可知，当水深h≤2cm时，物体A未浸入水中，细杆的拉力F=12N等于物体A的重力，故G=12N。
物体A的质量：$m=\frac{G}{g}=\frac{12\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1.2\ \mathrm{kg}$；
当物体A完全浸没时，细杆的压力为8N，此时浮力$F_{\mathrm{浮}}'=G+F_{\mathrm{压}}=12\ \mathrm{N}+8\ \mathrm{N}=20\ \mathrm{N}$，根据阿基米德原理$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}$，得物体A的体积：
$V=V_{\mathrm{排}}'=\frac{F_{\mathrm{浮}}'}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{20\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=0.002\ \mathrm{m^3}=2000\ \mathrm{cm^3}$；
物体A的密度：$\rho=\frac{m}{V}=\frac{1.2\ \mathrm{kg}}{0.002\ \mathrm{m^3}}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
（2）当细杆弹力$F=3\ \mathrm{N}$时，分两种情况：
①弹力为拉力时，$F_{\mathrm{浮}}=G-F=12\ \mathrm{N}-3\ \mathrm{N}=9\ \mathrm{N}$，由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}$得：
$V_{\mathrm{排}}=\frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{9\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=9×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=900\ \mathrm{cm^3}$，
物体A浸入水中的深度$h_{\mathrm{浸}}=\frac{V_{\mathrm{排}}}{S_A}=\frac{900\ \mathrm{cm^3}}{100\ \mathrm{cm^2}}=9\ \mathrm{cm}$，此时水深$h=2\ \mathrm{cm}+9\ \mathrm{cm}=11\ \mathrm{cm}$，
水的体积：$V_{\mathrm{水}}=S_{\mathrm{容器}}h-V_{\mathrm{排}}=200\ \mathrm{cm^2}×11\ \mathrm{cm}-900\ \mathrm{cm^3}=1300\ \mathrm{cm^3}$；
②弹力为压力时，$F_{\mathrm{浮}}=G+F=12\ \mathrm{N}+3\ \mathrm{N}=15\ \mathrm{N}$，同理：
$V_{\mathrm{排}}=\frac{15\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.5×10^{-3}\ \mathrm{m^3}=1500\ \mathrm{cm^3}$，
$h_{\mathrm{浸}}=\frac{1500\ \mathrm{cm^3}}{100\ \mathrm{cm^2}}=15\ \mathrm{cm}$，水深$h=2\ \mathrm{cm}+15\ \mathrm{cm}=17\ \mathrm{cm}$，
水的体积：$V_{\mathrm{水}}=200\ \mathrm{cm^2}×17\ \mathrm{cm}-1500\ \mathrm{cm^3}=1900\ \mathrm{cm^3}$。
【答案】
(1)1.2 kg；0.6×10³ kg/m³ (2)1300 cm³ 或 1900 cm³
【知识点】
浮力、密度、阿基米德原理
【点评】
本题结合图像考查浮力综合计算，关键是分析弹力的两种状态（拉力、压力），理清物体受力与体积的关系，难度适中，需注意分情况讨论。
【难度系数】
0.4

③ 如图所示，柱形容器内水深20cm，体积均为300 cm³、密度之比为1:3的A、B两个实心长方体通过底部的定滑轮用细线相连，物体A有$\frac{1}{3}$体积露出水面，物体B的上表面与水面相平。
（1）求水对容器底部的压强。
（2）求物体A受到的浮力。
（3）求物体B的密度。

3.(1)2×10³ Pa (2)2 N (3)0.5×10³ kg/m³

【分析】
本题分三个小问题，解题思路如下：
1. 第一问求水对容器底部的压强，利用液体压强公式$p=\rho gh$，代入水深和水的密度即可计算；
2. 第二问求物体A的浮力，根据阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{液}gV_{排}$，先确定A排开水的体积（为A体积的$\frac{2}{3}$），再代入公式计算；
3. 第三问求物体B的密度，需对A、B分别受力分析：A受浮力、重力和绳子拉力，B受浮力、重力和绳子拉力，定滑轮使两物体拉力相等；结合密度比$\rho_B:\rho_A=3:1$，联立受力平衡方程即可求出B的密度。
【解析】
（1）水的深度$h=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m}$，根据液体压强公式：
$p=\rho_{水}gh=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.2\ \mathrm{m}=2×10^3\ \mathrm{Pa}$。
（2）物体A的体积$V_A=300\ \mathrm{cm}^3=3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，A排开水的体积：
$V_{排A}=V_A×(1-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}×3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，
根据阿基米德原理，A受到的浮力：
$F_{浮A}=\rho_{水}gV_{排A}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×2×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=2\ \mathrm{N}$。
（3）物体B的体积$V_B=V_A=3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，B上表面与水面相平，故B排开水的体积$V_{排B}=V_B=3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3$，B受到的浮力：
$F_{浮B}=\rho_{水}gV_{排B}=1×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3=3\ \mathrm{N}$。
对A受力平衡：$F_{浮A}=G_A+T$ → $T=F_{浮A}-G_A$；
对B受力平衡：$F_{浮B}=G_B+T$ → $T=F_{浮B}-G_B$；
联立得：$F_{浮A}-G_A=F_{浮B}-G_B$ → $G_B-G_A=F_{浮B}-F_{浮A}=3\ \mathrm{N}-2\ \mathrm{N}=1\ \mathrm{N}$。
已知$\rho_A:\rho_B=1:3$，且$V_A=V_B$，由$G=\rho Vg$得$G_B=3G_A$；
代入$G_B-G_A=1\ \mathrm{N}$：$3G_A-G_A=1\ \mathrm{N}$ → $G_A=0.5\ \mathrm{N}$，$G_B=1.5\ \mathrm{N}$；
B的密度：$\rho_B=\frac{G_B}{V_Bg}=\frac{1.5\ \mathrm{N}}{3×10^{-4}\ \mathrm{m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
【答案】
(1)$2×10^3\ \mathrm{Pa}$；(2)$2\ \mathrm{N}$；(3)$0.5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$
【知识点】
液体压强、浮力、密度计算
【点评】
本题综合考查液体压强、阿基米德原理及受力平衡的应用，关键是正确对A、B受力分析，结合密度关系联立方程，难度适中，需掌握公式灵活运用。
【难度系数】
0.5