5（2025苏州姑苏月考）甲、乙两车同时从A地出发，匀速开往B地，甲车行驶到B地后立即沿原路线以原速度返回A地，到达A地后停止运动；当甲车到达A地时，乙车恰好到达B地，并停止运动。已知甲车的速度为150 km/h，设甲车出发x h后，甲、乙两车之间的距离为y km，图中的折线OMNQ表示了整个运动过程中y与x之间的函数关系。
（1）A，B两地的距离是km，乙车的速度是km/h；
（2）指出点M的实际意义，并求线段MN所表示的y关于x的函数表达式。

(1) 600 75
(2) $(150-75)×4=75×4=300(\mathrm{km})$，
点M的实际意义:在两车行驶4 h时，甲车到达B地，此时甲、乙两车的距离是300 km.
当甲车行驶4 h时，乙车行驶了$75×4=300(\mathrm{km})$，
当甲车与乙车相遇时，又行驶了$300÷(150+75)=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，
所以点M的坐标为$(4,300)$，点N的坐标为$(\frac{16}{3},0).$
设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$，
所以$\begin{cases}4k+b=300,\\\frac{16}{3}k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-225,\\b=1200,\end{cases}$
即$y=-225x+1200.$

【分析】
（1）首先结合题意和图像分析运动过程：甲车出发8小时后返回A地，已知甲车速度，可先算出甲车8小时行驶的总路程，除以2就是A、B两地的距离；乙车8小时恰好从A地到达B地，用A、B两地距离除以总时间即可得到乙车速度。
（2）点M对应x=4h，先判断4h时两车的行驶状态：甲车4小时行驶的路程刚好等于A、B两地距离，说明此时甲车到达B地，两车的距离就是两车的路程差，据此可得到M点的实际意义；MN段对应甲车从B地返回、乙车继续向B地行驶的相向运动过程，先计算两车相遇的时间得到N点坐标，再用待定系数法即可求出MN段的函数表达式。
【解析】
（1）由题意可知，甲车出发8h后返回A地，甲车总行驶路程为：$150×8=1200(\mathrm{km})$
A、B两地的距离为往返路程的一半：$1200÷2=600(\mathrm{km})$
乙车8h恰好到达B地，乙车速度为：$600÷8=75(\mathrm{km/h})$
（2）点M对应的x=4h，此时甲车行驶路程为$150×4=600(\mathrm{km})$，刚好到达B地，此时两车的距离为：$(150-75)×4=300(\mathrm{km})$
因此点M的实际意义：出发4h时，甲车到达B地，此时甲、乙两车相距300km。
求线段MN的函数表达式：
首先确定M、N两点坐标：M点坐标为$(4,300)$；
N点是甲车返回过程中与乙车相遇的点，此时两车相距300km，相向而行的速度和为$150+75=225(\mathrm{km/h})$，相遇所需时间为$300÷225=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，因此N点的横坐标为$4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$，纵坐标为0，即$N(\frac{16}{3},0)$。
设线段MN的函数表达式为$y=kx+b$，将M、N坐标代入得：
$\begin{cases}4k+b=300\\\frac{16}{3}k+b=0\end{cases}$
解方程组：两式相减得$-\frac{4}{3}k=300$，解得$k=-225$，将$k=-225$代入$4k+b=300$，解得$b=1200$。
因此线段MN的函数表达式为$y=-225x+1200$（$4≤ x≤\frac{16}{3}$）。
【答案】
（1）$\boxed{600}$，$\boxed{75}$
（2）点M的实际意义：出发4h时，甲车到达B地，此时甲、乙两车相距300km；线段MN的函数表达式为$\boxed{y=-225x+1200}$（$4≤ x≤\frac{16}{3}$）
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，行程问题
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的图像与应用，解题的核心是读懂函数图像上特殊点对应的实际运动状态，结合路程、速度、时间的三者关系逐步求解，需要注意分段函数不同阶段的运动方向和速度的变化。
【难度系数】
0.7

6（2025南通模拟）哥哥和弟弟在同一所学校上学.一天,弟弟与哥哥先后从家出发沿同一道路匀速去往学校,哥哥用时12 min到达学校,弟弟比哥哥早出发5 min,却在哥哥到达时还距离学校180 m.哥哥、弟弟所走的路程$y_1$(m),$y_2$(m)与哥哥所用的时间$x$(min)之间的函数关系如图所示.
（1）学校与家的距离是m；
（2）求点A的坐标,并解释它的实际意义；
（3）哥哥出发多久后,追上弟弟？

(1) 1 200
(2) 对于弟弟:路程为$1200-180=1020(\mathrm{m})$，时间为$12+5=17(\mathrm{min})$，
则速度为$\frac{1020}{17}=60(\mathrm{m/min})$，
所以$60×5=300(\mathrm{m})$，
所以点A的坐标为$(0,300).$
实际意义:当哥哥出发时，弟弟已经离家300 m.
(3) 设哥哥所走的路程$y_1$与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，
将点$(12,1200)$代入，得$1200=12k_1$，解得$k_1=100$，
则哥哥所走的路程$y_1$与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为$y_1=100x.$
设弟弟所走的路程$y_2$与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，
将点$A(0,300),(12,1020)$代入，得$\begin{cases}b=300,\\12k_2+b=1020,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=60,\\b=300,\end{cases}$
则弟弟所走的路程$y_2$与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为$y_2=60x+300.$
令$100x=60x+300$，
解得$x=7.5$，
所以哥哥出发7.5 min后，追上弟弟.

【分析】
逐问梳理解题思路：
(1) 观察函数图像，哥哥用时12min到达学校时对应的路程为1200m，直接可得家到学校的距离；
(2) 点A为哥哥刚出发（x=0）时弟弟的路程，先计算弟弟的总路程、总用时求出速度，再用速度乘弟弟早出发的5min，即可得到哥哥出发时弟弟已走的路程，也就是A点的纵坐标，再解释其实际意义即可；
(3) 求哥哥追上弟弟的时间，先利用待定系数法分别求出哥哥、弟弟的路程关于x的函数解析式，追上时两人路程相等，联立两个解析式解方程，得到的x值就是哥哥出发后追上弟弟的时间。
【解析】
(1) 由图像可知，哥哥12min到达学校时走的路程为1200m，即学校与家的距离为1200m。
(2) 哥哥到达学校时，弟弟一共走的时间为$12+5=17(\mathrm{min})$，弟弟走的路程为$1200-180=1020(\mathrm{m})$
弟弟的速度为$\frac{1020}{17}=60(\mathrm{m/min})$
弟弟早出发5min走的路程为$60×5=300(\mathrm{m})$
所以x=0（哥哥出发时），弟弟的路程为300m，即点A坐标为$(0,300)$。
实际意义：当哥哥出发时，弟弟已经离家300 m。
(3) 设哥哥所走的路程$y_1$与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，
将点$(12,1200)$代入，得$1200=12k_1$，解得$k_1=100$，
则哥哥的路程函数为$y_1=100x$。
设弟弟所走的路程$y_2$与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，
将点$A(0,300),(12,1020)$代入，得$\begin{cases}b=300,\\12k_2+b=1020,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=60,\\b=300,\end{cases}$
则弟弟的路程函数为$y_2=60x+300$。
哥哥追上弟弟时两人路程相等，即$100x=60x+300$，
解得$x=7.5$。
【答案】
(1) $\boxed{1200}$
(2) 点A的坐标为$\boxed{(0,300)}$，实际意义：当哥哥出发时，弟弟已经离家300 m；
(3) 哥哥出发$\boxed{7.5\ \mathrm{min}}$后追上弟弟。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，一次函数交点问题
【点评】
本题结合行程背景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂函数图像的横、纵坐标含义，提取有效信息求出速度和函数解析式，再利用方程思想求解追及时间，能够很好地锻炼学生读取图像、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7