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3 (2025南通海门月考)随着科技发展，无人机在测绘、物流等领域应用广泛，电池续航成为影响其使用的关键因素.小李操控无人机进行测绘任务时，发现电池电量在前半段消耗时，无人机飞行的距离比后半段消耗电量时飞行的距离更远.他记录了无人机电池剩余电量 y(mAh)和已飞行距离 x(km)的相关数据，函数图象如下.
（1）无人机电池充满电时的电量为
（2）求 BC段所对应的函数关系式；
（3）求这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？
（1）无人机电池充满电时的电量为
5 000
mAh；（2）求 BC段所对应的函数关系式；
（3）求这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶多少千米？
答案
(1) 5 000
(2) 设BC段所对应的函数关系式为$y=kx+b$(k,b为常数，且$k≠0$)，
将$B(10,2500)$和$C(15,1000)$分别代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}10k+b=2500,\\15k+b=1000,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-300,\\b=5500,\end{cases}$
所以BC段所对应的函数关系式为$y=-300x+5500.$
(3) 当$y=0$时，得$-300x+5500=0$，
解得$x=\frac{55}{3}$，
则后半部分电量行驶的距离为$\frac{55}{3}-10=\frac{25}{3}(\mathrm{km})$，
所以$10-\frac{25}{3}=\frac{5}{3}(\mathrm{km}).$
故这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶$\frac{5}{3}\ \mathrm{km}.$
(2) 设BC段所对应的函数关系式为$y=kx+b$(k,b为常数，且$k≠0$)，
将$B(10,2500)$和$C(15,1000)$分别代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}10k+b=2500,\\15k+b=1000,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-300,\\b=5500,\end{cases}$
所以BC段所对应的函数关系式为$y=-300x+5500.$
(3) 当$y=0$时，得$-300x+5500=0$，
解得$x=\frac{55}{3}$，
则后半部分电量行驶的距离为$\frac{55}{3}-10=\frac{25}{3}(\mathrm{km})$，
所以$10-\frac{25}{3}=\frac{5}{3}(\mathrm{km}).$
故这架无人机前半部分电量比用后半部分电量能多行驶$\frac{5}{3}\ \mathrm{km}.$
解析
【分析】
（1）电池充满电时无人机还未飞行，即已飞行距离$x=0$，直接读取函数图像中$x=0$对应的$y$值即可得到满电电量。
（2）BC段是一次函数图像的一部分，求一次函数关系式可使用待定系数法，将已知的B、C两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$（$k≠0$），解二元一次方程组求出$k$、$b$的值，即可得到BC段的函数关系式。
（3）首先明确前半部分电量是从满电5000mAh消耗到2500mAh，对应行驶距离为10km；后半部分电量是从2500mAh消耗到0mAh，需要先求出电量为0时对应的总飞行距离，即令BC段函数中$y=0$求解$x$，再用总飞行距离减去10km得到后半段行驶距离，最后用前半段行驶距离减去后半段行驶距离，即可求出多行驶的路程。
【解析】
（1）当$x=0$时，$y=5000$，即无人机电池充满电时的电量为5000mAh。
（2）设BC段所对应的函数关系式为$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$），
将$B(10,2500)$和$C(15,1000)$分别代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}10k+b=2500\\15k+b=1000\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-300\\b=5500\end{cases}$，
所以BC段所对应的函数关系式为$y=-300x+5500$。
（3）当电池电量耗尽时$y=0$，代入BC段函数关系式得：
$-300x+5500=0$，
解得$x=\frac{55}{3}$，
后半部分电量行驶的距离为$\frac{55}{3}-10=\frac{25}{3}(\mathrm{km})$，
因此前半部分电量比后半部分多行驶的距离为$10-\frac{25}{3}=\frac{5}{3}(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) $5000$
(2) $y=-300x+5500$
(3) $\frac{5}{3}\ \mathrm{km}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数图像的实际意义
【点评】
本题结合无人机续航的生活场景考查一次函数的实际应用，要求学生能够准确理解函数图像坐标的实际含义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，同时能结合题意提取有效信息计算对应路程，贴合生活实际，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）电池充满电时无人机还未飞行，即已飞行距离$x=0$，直接读取函数图像中$x=0$对应的$y$值即可得到满电电量。
（2）BC段是一次函数图像的一部分，求一次函数关系式可使用待定系数法，将已知的B、C两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$（$k≠0$），解二元一次方程组求出$k$、$b$的值，即可得到BC段的函数关系式。
（3）首先明确前半部分电量是从满电5000mAh消耗到2500mAh，对应行驶距离为10km；后半部分电量是从2500mAh消耗到0mAh，需要先求出电量为0时对应的总飞行距离，即令BC段函数中$y=0$求解$x$，再用总飞行距离减去10km得到后半段行驶距离，最后用前半段行驶距离减去后半段行驶距离，即可求出多行驶的路程。
【解析】
（1）当$x=0$时，$y=5000$，即无人机电池充满电时的电量为5000mAh。
（2）设BC段所对应的函数关系式为$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$），
将$B(10,2500)$和$C(15,1000)$分别代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}10k+b=2500\\15k+b=1000\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-300\\b=5500\end{cases}$，
所以BC段所对应的函数关系式为$y=-300x+5500$。
（3）当电池电量耗尽时$y=0$，代入BC段函数关系式得：
$-300x+5500=0$，
解得$x=\frac{55}{3}$，
后半部分电量行驶的距离为$\frac{55}{3}-10=\frac{25}{3}(\mathrm{km})$，
因此前半部分电量比后半部分多行驶的距离为$10-\frac{25}{3}=\frac{5}{3}(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) $5000$
(2) $y=-300x+5500$
(3) $\frac{5}{3}\ \mathrm{km}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数图像的实际意义
【点评】
本题结合无人机续航的生活场景考查一次函数的实际应用，要求学生能够准确理解函数图像坐标的实际含义，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，同时能结合题意提取有效信息计算对应路程，贴合生活实际，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4（2025无锡二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品.为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分$y$(分)与投放质量$x$(kg)的函数关系如图所示，已知投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg，规定积分满400分，可以兑换智能扫地机器人一台.
（1）求投放8 kg塑料的奖励积分；
（2）求$a$的值；
（3）若投放$m$ kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的$\frac{5}{2}$倍，求一次性投放$m$ kg塑料和$m$ kg纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明.
（1）求投放8 kg塑料的奖励积分；
（2）求$a$的值；
（3）若投放$m$ kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的$\frac{5}{2}$倍，求一次性投放$m$ kg塑料和$m$ kg纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明.
答案
(1) 设y与x的函数关系式为$y=kx+b(k≠0).$
由题意可得$\begin{cases}5k+b=100,\\10k+b=300,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=40,\\b=-100,\end{cases}$
所以y与x的函数关系式为$y=40x-100$，
当$x=8$时，$y=40x-100=40×8-100=220.$
故投放8 kg塑料的奖励积分220分.
(2) 因为投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg，
所以$(300-100)÷25=8(\mathrm{kg})$，
所以$a=10+8=18.$
(3) 当$0＜m≤5$时，
投放m kg的塑料的积分为$(100÷5)m=20m$(分)，
投放m kg的纸张的积分为$(100÷10)m=10m$(分).
则$20m÷(10m)=2$，不符合题意；
当$5＜m≤10$时，
投放m kg的塑料的积分为$(40m-100)$分，
投放m kg的纸张的积分为$(100÷10)m=10m$(分)，
因为$40m-100=\frac{5}{2}×10m$，解得$m=\frac{20}{3}$，
此时$40m-100+10m=50m-100=50×\frac{20}{3}-100=\frac{700}{3}$(分).
因为$\frac{700}{3}＜400$，所以不能兑换扫地机器人；
当$m＞10$时，
投放m kg的塑料的积分为$(40m-100)$分，
投放m kg的纸张的积分为$100+25(m-10)=(25m-150)$分.
因为塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的$\frac{5}{2}$倍，
所以$40m-100=\frac{5}{2}(25m-150)$，解得$m=\frac{110}{9}$，
此时$40m-100+25m-150=65m-250=65×\frac{110}{9}-250=\frac{4900}{9}$(分).
因为$\frac{4900}{9}＞400$，
所以能兑换智能扫地机器人.
由题意可得$\begin{cases}5k+b=100,\\10k+b=300,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=40,\\b=-100,\end{cases}$
所以y与x的函数关系式为$y=40x-100$，
当$x=8$时，$y=40x-100=40×8-100=220.$
故投放8 kg塑料的奖励积分220分.
(2) 因为投放纸张超过10 kg后，奖励积分为25分/kg，
所以$(300-100)÷25=8(\mathrm{kg})$，
所以$a=10+8=18.$
(3) 当$0＜m≤5$时，
投放m kg的塑料的积分为$(100÷5)m=20m$(分)，
投放m kg的纸张的积分为$(100÷10)m=10m$(分).
则$20m÷(10m)=2$，不符合题意；
当$5＜m≤10$时，
投放m kg的塑料的积分为$(40m-100)$分，
投放m kg的纸张的积分为$(100÷10)m=10m$(分)，
因为$40m-100=\frac{5}{2}×10m$，解得$m=\frac{20}{3}$，
此时$40m-100+10m=50m-100=50×\frac{20}{3}-100=\frac{700}{3}$(分).
因为$\frac{700}{3}＜400$，所以不能兑换扫地机器人；
当$m＞10$时，
投放m kg的塑料的积分为$(40m-100)$分，
投放m kg的纸张的积分为$100+25(m-10)=(25m-150)$分.
因为塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的$\frac{5}{2}$倍，
所以$40m-100=\frac{5}{2}(25m-150)$，解得$m=\frac{110}{9}$，
此时$40m-100+25m-150=65m-250=65×\frac{110}{9}-250=\frac{4900}{9}$(分).
因为$\frac{4900}{9}＞400$，
所以能兑换智能扫地机器人.
解析
【分析】
本题是一次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 求8kg塑料的奖励积分：塑料的积分函数为一次函数，已知其过$(5,100)$、$(10,300)$两个点，先用待定系数法求出塑料积分$y$关于$x$的函数解析式，再将$x=8$代入解析式计算即可得到对应积分。
(2) 求$a$的值：$a$是纸张积分达到300分时对应的投放质量，由图像可知纸张前10kg共积100分，超过10kg后每kg积25分，先计算10kg之后还需要积的分数，除以25得到超过10kg的质量，再加10即可得到$a$的值。
(3) 判断总积分是否够兑换扫地机器人：根据投放质量的取值范围分三段讨论塑料和纸张的积分计算规则：①$0＜m≤5$；②$5＜m≤10$；③$m＞10$，分别在各区间内根据“塑料积分是纸张积分的$\frac{5}{2}$倍”列方程求解符合区间的$m$值，再计算对应总积分，和400分比较即可判断能否兑换。
【解析】
(1) 设塑料的奖励积分$y$与投放质量$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图像可知函数过点$(5,100)$和$(10,300)$，代入得：
$\begin{cases}5k+b=100\\10k+b=300\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=40\\b=-100\end{cases}$
所以塑料积分的函数关系式为$y=40x-100$（$x≥5$），
当$x=8$时，$y=40×8-100=220$。
(2) 由图像可知，投放纸张10kg时奖励积分为100分，超过10kg后奖励积分为25分/kg，
要达到300分，10kg之后需要获得的积分：$300-100=200$（分），
超过10kg的投放质量：$200÷25=8$（kg），
所以$a=10+8=18$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$0＜m≤5$时，
投放$m$ kg塑料的积分：$\frac{100}{5}m=20m$（分），
投放$m$ kg纸张的积分：$\frac{100}{10}m=10m$（分），
此时塑料积分是纸张积分的$20m÷10m=2$倍，不符合“$\frac{5}{2}$倍”的条件，舍去；
② 当$5＜m≤10$时，
投放$m$ kg塑料的积分：$40m-100$（分），
投放$m$ kg纸张的积分：$10m$（分），
根据题意列方程：$40m-100=\frac{5}{2}×10m$，
解得$m=\frac{20}{3}$，符合$5＜m≤10$的范围，
此时总积分：$40m-100+10m=50m-100=50×\frac{20}{3}-100=\frac{700}{3}$（分），
$\frac{700}{3}＜400$，不能兑换智能扫地机器人；
③ 当$m＞10$时，
投放$m$ kg塑料的积分：$40m-100$（分），
投放$m$ kg纸张的积分：$100+25(m-10)=25m-150$（分），
根据题意列方程：$40m-100=\frac{5}{2}(25m-150)$，
解得$m=\frac{110}{9}$，符合$m＞10$的范围，
此时总积分：$40m-100+25m-150=65m-250=65×\frac{110}{9}-250=\frac{4900}{9}$（分），
$\frac{4900}{9}＞400$，能兑换智能扫地机器人。
【答案】
(1) 220分；
(2) $a=18$；
(3) 当$m=\frac{20}{3}$时不能兑换，当$m=\frac{110}{9}$时可以兑换。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，分段函数应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合垃圾分类积分兑换的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是准确提取图像信息，明确不同投放质量区间对应的积分规则，通过分类讨论求解符合条件的自变量，再通过计算比较得到结论，能有效考查学生的信息提取能力、分类讨论意识和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 求8kg塑料的奖励积分：塑料的积分函数为一次函数，已知其过$(5,100)$、$(10,300)$两个点，先用待定系数法求出塑料积分$y$关于$x$的函数解析式，再将$x=8$代入解析式计算即可得到对应积分。
(2) 求$a$的值：$a$是纸张积分达到300分时对应的投放质量，由图像可知纸张前10kg共积100分，超过10kg后每kg积25分，先计算10kg之后还需要积的分数，除以25得到超过10kg的质量，再加10即可得到$a$的值。
(3) 判断总积分是否够兑换扫地机器人：根据投放质量的取值范围分三段讨论塑料和纸张的积分计算规则：①$0＜m≤5$；②$5＜m≤10$；③$m＞10$，分别在各区间内根据“塑料积分是纸张积分的$\frac{5}{2}$倍”列方程求解符合区间的$m$值，再计算对应总积分，和400分比较即可判断能否兑换。
【解析】
(1) 设塑料的奖励积分$y$与投放质量$x$的函数关系式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图像可知函数过点$(5,100)$和$(10,300)$，代入得：
$\begin{cases}5k+b=100\\10k+b=300\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=40\\b=-100\end{cases}$
所以塑料积分的函数关系式为$y=40x-100$（$x≥5$），
当$x=8$时，$y=40×8-100=220$。
(2) 由图像可知，投放纸张10kg时奖励积分为100分，超过10kg后奖励积分为25分/kg，
要达到300分，10kg之后需要获得的积分：$300-100=200$（分），
超过10kg的投放质量：$200÷25=8$（kg），
所以$a=10+8=18$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$0＜m≤5$时，
投放$m$ kg塑料的积分：$\frac{100}{5}m=20m$（分），
投放$m$ kg纸张的积分：$\frac{100}{10}m=10m$（分），
此时塑料积分是纸张积分的$20m÷10m=2$倍，不符合“$\frac{5}{2}$倍”的条件，舍去；
② 当$5＜m≤10$时，
投放$m$ kg塑料的积分：$40m-100$（分），
投放$m$ kg纸张的积分：$10m$（分），
根据题意列方程：$40m-100=\frac{5}{2}×10m$，
解得$m=\frac{20}{3}$，符合$5＜m≤10$的范围，
此时总积分：$40m-100+10m=50m-100=50×\frac{20}{3}-100=\frac{700}{3}$（分），
$\frac{700}{3}＜400$，不能兑换智能扫地机器人；
③ 当$m＞10$时，
投放$m$ kg塑料的积分：$40m-100$（分），
投放$m$ kg纸张的积分：$100+25(m-10)=25m-150$（分），
根据题意列方程：$40m-100=\frac{5}{2}(25m-150)$，
解得$m=\frac{110}{9}$，符合$m＞10$的范围，
此时总积分：$40m-100+25m-150=65m-250=65×\frac{110}{9}-250=\frac{4900}{9}$（分），
$\frac{4900}{9}＞400$，能兑换智能扫地机器人。
【答案】
(1) 220分；
(2) $a=18$；
(3) 当$m=\frac{20}{3}$时不能兑换，当$m=\frac{110}{9}$时可以兑换。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，分段函数应用，一次函数实际应用
【点评】
本题结合垃圾分类积分兑换的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是准确提取图像信息，明确不同投放质量区间对应的积分规则，通过分类讨论求解符合条件的自变量，再通过计算比较得到结论，能有效考查学生的信息提取能力、分类讨论意识和运算能力。
【难度系数】
0.6
