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1（2025无锡宜兴期末）某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划.
(1)“读书节”之前小明发现:购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A,B图书的标价；
(2)“读书节”期间书店计划购进A,B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A，B两种图书的进价分别为20元，18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，则书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？
(1)“读书节”之前小明发现:购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A,B图书的标价；
(2)“读书节”期间书店计划购进A,B图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A，B两种图书的进价分别为20元，18元；销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，则书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？
答案
(1) 设A图书标价为x元，B图书标价为y元，
则$\begin{cases}5x+8y=335,\\10x-6y=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=27,\\y=25,\end{cases}$
所以A图书的标价为27元，B图书的标价为25元.
(2) 设购进A图书a本，B图书$(200-a)$本，利润为w元.
由题意可得$w=(27-20-1.5)a+(25-18)(200-a)=5.5a+7(200-a)=-1.5a+1400.$
因为$-1.5＜0$，所以w随a的增大而减小.
因为$40≤ a≤ 60$，
所以当$a=40$时，w的最大值为$-1.5×40+1400=1340$(元)，$200-40=160$(本)，
所以当购进A图书40本，B图书160本时，利润最大，最大值为1340元.
则$\begin{cases}5x+8y=335,\\10x-6y=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=27,\\y=25,\end{cases}$
所以A图书的标价为27元，B图书的标价为25元.
(2) 设购进A图书a本，B图书$(200-a)$本，利润为w元.
由题意可得$w=(27-20-1.5)a+(25-18)(200-a)=5.5a+7(200-a)=-1.5a+1400.$
因为$-1.5＜0$，所以w随a的增大而减小.
因为$40≤ a≤ 60$，
所以当$a=40$时，w的最大值为$-1.5×40+1400=1340$(元)，$200-40=160$(本)，
所以当购进A图书40本，B图书160本时，利润最大，最大值为1340元.
解析
【分析】
(1) 本小问为二元一次方程组的实际应用，先设A、B图书的标价分别为x元、y元，再根据题干给出的两个等量关系：“5本A图书总费用+8本B图书总费用=335元”“10本A图书总费用-6本B图书总费用=120元”列方程组，解方程组即可求出两种图书的标价。
(2) 本小问为一次函数的最值应用，先设购进A图书a本，可得B图书为(200-a)本，再根据“总利润=A图书单本利润×A进货量+B图书单本利润×B进货量”列出总利润w关于a的一次函数关系式，结合一次函数的增减性和a的取值范围，即可求出最大利润对应的进货方案。
【解析】
(1) 设A图书标价为x元，B图书标价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=335\\10x-6y=120\end{cases}$
将第一个方程乘2得$10x+16y=670$，再减去第二个方程得$22y=550$，解得$y=25$。
把$y=25$代入$10x-6y=120$，得$10x-150=120$，解得$x=27$。
(2) 设购进A图书a本，B图书$(200-a)$本，总利润为w元。
A图书单本利润为$27-20-1.5=5.5$元，B图书单本利润为$25-18=7$元，因此：
$w=5.5a+7(200-a)$
化简得$w=-1.5a+1400$
因为$-1.5＜0$，所以w随a的增大而减小。
已知$40≤a≤60$，因此当a取最小值40时，w取得最大值：
$w=-1.5×40+1400=1340$（元）
此时B图书进货量为$200-40=160$（本）
【答案】
(1) A图书标价为27元，B图书标价为25元；
(2) 购进A图书40本，B图书160本时利润最大，最大利润为1340元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数增减性，一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活中的图书销售场景，综合考查了列方程组解决实际定价问题、利用一次函数性质求利润最值的能力，解题时需要准确梳理等量关系，同时注意自变量的取值范围是确定最值的核心依据。
【难度系数】
0.7
(1) 本小问为二元一次方程组的实际应用，先设A、B图书的标价分别为x元、y元，再根据题干给出的两个等量关系：“5本A图书总费用+8本B图书总费用=335元”“10本A图书总费用-6本B图书总费用=120元”列方程组，解方程组即可求出两种图书的标价。
(2) 本小问为一次函数的最值应用，先设购进A图书a本，可得B图书为(200-a)本，再根据“总利润=A图书单本利润×A进货量+B图书单本利润×B进货量”列出总利润w关于a的一次函数关系式，结合一次函数的增减性和a的取值范围，即可求出最大利润对应的进货方案。
【解析】
(1) 设A图书标价为x元，B图书标价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x+8y=335\\10x-6y=120\end{cases}$
将第一个方程乘2得$10x+16y=670$，再减去第二个方程得$22y=550$，解得$y=25$。
把$y=25$代入$10x-6y=120$，得$10x-150=120$，解得$x=27$。
(2) 设购进A图书a本，B图书$(200-a)$本，总利润为w元。
A图书单本利润为$27-20-1.5=5.5$元，B图书单本利润为$25-18=7$元，因此：
$w=5.5a+7(200-a)$
化简得$w=-1.5a+1400$
因为$-1.5＜0$，所以w随a的增大而减小。
已知$40≤a≤60$，因此当a取最小值40时，w取得最大值：
$w=-1.5×40+1400=1340$（元）
此时B图书进货量为$200-40=160$（本）
【答案】
(1) A图书标价为27元，B图书标价为25元；
(2) 购进A图书40本，B图书160本时利润最大，最大利润为1340元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数增减性，一次函数最值应用
【点评】
本题结合生活中的图书销售场景，综合考查了列方程组解决实际定价问题、利用一次函数性质求利润最值的能力，解题时需要准确梳理等量关系，同时注意自变量的取值范围是确定最值的核心依据。
【难度系数】
0.7
2 某商店计划一次性购进甲、乙两种商品共100件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表所示：
设购进甲种商品的数量为x件.
（1）设进货成本为y元，求y与x之间的函数表达式；若购进甲种商品的数量不少于65件，则最低进货成本是多少元？
（2）若除了进货成本，还要支付运费和销售员工工资共2 200元，为尽快回笼资金，该商店决定对甲种商品进行降价销售，每件甲种商品降价a元(0＜a＜20)，乙种商品售价不变，设销售完甲、乙两种商品获得的总利润为W元.
①每件甲种商品的利润是
②求W关于x的函数表达式；
③当$65≤x≤75$时，请你根据a的取值范围，说明该商店购进甲种商品多少件时，获得的总利润最大.
设购进甲种商品的数量为x件.
（1）设进货成本为y元，求y与x之间的函数表达式；若购进甲种商品的数量不少于65件，则最低进货成本是多少元？
（2）若除了进货成本，还要支付运费和销售员工工资共2 200元，为尽快回笼资金，该商店决定对甲种商品进行降价销售，每件甲种商品降价a元(0＜a＜20)，乙种商品售价不变，设销售完甲、乙两种商品获得的总利润为W元.
①每件甲种商品的利润是
50−a
元(用含a的代数式表示)；②求W关于x的函数表达式；
③当$65≤x≤75$时，请你根据a的取值范围，说明该商店购进甲种商品多少件时，获得的总利润最大.
答案
(1) 由题意，得$y=100x+80(100-x)=20x+8000.$
因为购进甲种商品的数量不少于65件，
所以$x≥ 65$，
因为$20＞0$，所以y随x的增大而增大，
所以当$x=65$时，y最小为$20×65+8000=9300$(元)，
故y与x之间的函数表达式为$y=20x+8000$，最低进货成本是9300元.
(2) ①$50-a$
②由题意，得$W=(50-a)x+(120-80)(100-x)-2200=(10-a)x+1800(0≤ x≤ 100).$
③$W=(10-a)x+1800,0＜a＜20,65≤ x≤75$，
当$0＜a＜10$时，$10-a＞0$，
所以W随x的增大而增大，
所以当$x=75$时，W最大，
即购进甲种商品75件，获得的总利润最大；
当$a=10$时，利润与购进甲种商品的数量无关，即购进甲的数量在$65≤ x≤75$之间任意整数即可；
当$a＞10$时，$10-a＜0$，
所以W随x的增大而减小，
所以当$x=65$时，W最大，
即购进甲种商品65件，获得的总利润最大.
故当$0＜a＜10$时，购进甲种商品75件，获得的总利润最大；当$a=10$时，利润与购进甲种商品的数量无关；当$a＞10$时，购进甲种商品65件，获得的总利润最大.
因为购进甲种商品的数量不少于65件，
所以$x≥ 65$，
因为$20＞0$，所以y随x的增大而增大，
所以当$x=65$时，y最小为$20×65+8000=9300$(元)，
故y与x之间的函数表达式为$y=20x+8000$，最低进货成本是9300元.
(2) ①$50-a$
②由题意，得$W=(50-a)x+(120-80)(100-x)-2200=(10-a)x+1800(0≤ x≤ 100).$
③$W=(10-a)x+1800,0＜a＜20,65≤ x≤75$，
当$0＜a＜10$时，$10-a＞0$，
所以W随x的增大而增大，
所以当$x=75$时，W最大，
即购进甲种商品75件，获得的总利润最大；
当$a=10$时，利润与购进甲种商品的数量无关，即购进甲的数量在$65≤ x≤75$之间任意整数即可；
当$a＞10$时，$10-a＜0$，
所以W随x的增大而减小，
所以当$x=65$时，W最大，
即购进甲种商品65件，获得的总利润最大.
故当$0＜a＜10$时，购进甲种商品75件，获得的总利润最大；当$a=10$时，利润与购进甲种商品的数量无关；当$a＞10$时，购进甲种商品65件，获得的总利润最大.
解析
【分析】
（1）已知购进甲种商品x件，那么购进乙种商品的数量为(100-x)件，进货总成本为甲商品总进价与乙商品总进价之和，据此可列出y与x的函数关系式；该函数为一次函数，根据一次项系数的正负可判断函数的增减性，结合x≥65的取值范围，即可求出最低进货成本。
（2）①每件甲商品的利润等于甲的售价减去进价，再减去降价的a元，直接计算即可得到结果；②总利润=甲商品的总利润+乙商品的总利润-运费和工资总支出，代入对应数值化简即可得到W关于x的函数表达式；③根据一次函数的增减性，由一次项系数(10-a)的正负分三种情况讨论，结合x的取值范围65≤x≤75，即可分别求出不同a的取值下总利润最大时甲商品的进货量。
【解析】
(1) 由题意得，购进乙种商品(100-x)件，进货成本：
$y=100x+80(100-x)=20x+8000$
因为购进甲种商品的数量不少于65件，所以$x≥ 65$，
由于$20＞0$，一次函数y随x的增大而增大，
因此当$x=65$时，y取得最小值，最小值为$20×65+8000=9300$（元）。
(2) ①甲商品原单件利润为$150-100=50$元，降价a元后，每件甲种商品的利润为$(50-a)$元。
②由题意得，乙商品每件利润为$120-80=40$元，总利润：
$W=(50-a)x+40(100-x)-2200$
化简得：$W=(10-a)x+1800$（$0≤ x≤ 100$）
③已知$W=(10-a)x+1800$，$0＜a＜20$，$65≤ x≤75$：
当$0＜a＜10$时，$10-a＞0$，W随x的增大而增大，因此当$x=75$时，W取得最大值，即购进甲种商品75件时总利润最大；
当$a=10$时，$10-a=0$，此时W=1800，利润与购进甲种商品的数量无关，即购进甲的数量在$65≤ x≤75$之间的任意整数均可；
当$10＜a＜20$时，$10-a＜0$，W随x的增大而减小，因此当$x=65$时，W取得最大值，即购进甲种商品65件时总利润最大。
【答案】
(1) $y=20x+8000$，最低进货成本是9300元；
(2) ①$\boldsymbol{50-a}$；
②$W=(10-a)x+1800(0≤ x≤ 100)$；
③当$0＜a＜10$时，购进甲种商品75件总利润最大；当$a=10$时，购进甲种商品数量在65到75之间的任意整数均可；当$10＜a＜20$时，购进甲种商品65件总利润最大。
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 一次函数的增减性
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数在销售利润问题中的典型应用，既考查了一次函数解析式的求解，也需要结合函数增减性分析最值，其中第三问需要根据参数的取值范围分类讨论，能有效考查学生对一次函数性质的掌握情况和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）已知购进甲种商品x件，那么购进乙种商品的数量为(100-x)件，进货总成本为甲商品总进价与乙商品总进价之和，据此可列出y与x的函数关系式；该函数为一次函数，根据一次项系数的正负可判断函数的增减性，结合x≥65的取值范围，即可求出最低进货成本。
（2）①每件甲商品的利润等于甲的售价减去进价，再减去降价的a元，直接计算即可得到结果；②总利润=甲商品的总利润+乙商品的总利润-运费和工资总支出，代入对应数值化简即可得到W关于x的函数表达式；③根据一次函数的增减性，由一次项系数(10-a)的正负分三种情况讨论，结合x的取值范围65≤x≤75，即可分别求出不同a的取值下总利润最大时甲商品的进货量。
【解析】
(1) 由题意得，购进乙种商品(100-x)件，进货成本：
$y=100x+80(100-x)=20x+8000$
因为购进甲种商品的数量不少于65件，所以$x≥ 65$，
由于$20＞0$，一次函数y随x的增大而增大，
因此当$x=65$时，y取得最小值，最小值为$20×65+8000=9300$（元）。
(2) ①甲商品原单件利润为$150-100=50$元，降价a元后，每件甲种商品的利润为$(50-a)$元。
②由题意得，乙商品每件利润为$120-80=40$元，总利润：
$W=(50-a)x+40(100-x)-2200$
化简得：$W=(10-a)x+1800$（$0≤ x≤ 100$）
③已知$W=(10-a)x+1800$，$0＜a＜20$，$65≤ x≤75$：
当$0＜a＜10$时，$10-a＞0$，W随x的增大而增大，因此当$x=75$时，W取得最大值，即购进甲种商品75件时总利润最大；
当$a=10$时，$10-a=0$，此时W=1800，利润与购进甲种商品的数量无关，即购进甲的数量在$65≤ x≤75$之间的任意整数均可；
当$10＜a＜20$时，$10-a＜0$，W随x的增大而减小，因此当$x=65$时，W取得最大值，即购进甲种商品65件时总利润最大。
【答案】
(1) $y=20x+8000$，最低进货成本是9300元；
(2) ①$\boldsymbol{50-a}$；
②$W=(10-a)x+1800(0≤ x≤ 100)$；
③当$0＜a＜10$时，购进甲种商品75件总利润最大；当$a=10$时，购进甲种商品数量在65到75之间的任意整数均可；当$10＜a＜20$时，购进甲种商品65件总利润最大。
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 一次函数的增减性
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数在销售利润问题中的典型应用，既考查了一次函数解析式的求解，也需要结合函数增减性分析最值，其中第三问需要根据参数的取值范围分类讨论，能有效考查学生对一次函数性质的掌握情况和实际问题的分析能力。
【难度系数】
0.6
