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一、选择题
1 如图，$\odot O$所在平面内有4个点P，Q，M，N.若$\odot O$的半径为6，则到圆心O的距离为5的可能是（
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
1 如图，$\odot O$所在平面内有4个点P，Q，M，N.若$\odot O$的半径为6，则到圆心O的距离为5的可能是（
C
）A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确点和圆的位置关系的判定方法：我们设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，根据d和r的大小关系就能判断点的位置：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。本题中圆的半径r=6，要找的点到圆心距离是5，5＜6，说明这个点一定在圆的内部，接下来只要判断四个点中哪个在圆内即可。
【解析】
解：设点到圆心O的距离为d，⊙O的半径r=6。
根据点与圆的位置关系判定规则：
当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内。
已知所求点到O的距离d=5，因为5＜6，所以该点在⊙O内部。
观察四个点的位置：点M、N在圆外，点Q在圆上，仅有点P在圆内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是熟练掌握点和圆位置关系的判定方法，结合数值比较和图形观察就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确点和圆的位置关系的判定方法：我们设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，根据d和r的大小关系就能判断点的位置：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。本题中圆的半径r=6，要找的点到圆心距离是5，5＜6，说明这个点一定在圆的内部，接下来只要判断四个点中哪个在圆内即可。
【解析】
解：设点到圆心O的距离为d，⊙O的半径r=6。
根据点与圆的位置关系判定规则：
当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内。
已知所求点到O的距离d=5，因为5＜6，所以该点在⊙O内部。
观察四个点的位置：点M、N在圆外，点Q在圆上，仅有点P在圆内，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是熟练掌握点和圆位置关系的判定方法，结合数值比较和图形观察就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2 [2024常熟市段考]圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（
A.4
B.8
C.12
D.16
D
）A.4
B.8
C.12
D.16
答案
2.D
解析
【分析】
首先观察题目特征，出现“圆外切四边形”的条件，首先联想到圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等，这是本题的解题突破口。再结合等腰梯形两条腰长度相等的性质，已知腰长为8，先计算两腰的总长度，再代入圆外切四边形的性质即可直接求出上底与下底的长度和。
【解析】
根据圆外切四边形的性质可知：圆外切四边形的两组对边之和相等。
因为该梯形是圆外切等腰梯形，所以满足：上底长 + 下底长 = 腰长 + 腰长。
已知腰长为8，因此两腰之和为 $8 × 2 = 16$，即上底与下底长的和为16。
【答案】
D
【知识点】
圆外切四边形的性质；等腰梯形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察圆外切四边形性质的直接运用，结合等腰梯形的基本性质即可快速得到答案，无需复杂计算，熟记相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察题目特征，出现“圆外切四边形”的条件，首先联想到圆外切四边形的核心性质：两组对边的和相等，这是本题的解题突破口。再结合等腰梯形两条腰长度相等的性质，已知腰长为8，先计算两腰的总长度，再代入圆外切四边形的性质即可直接求出上底与下底的长度和。
【解析】
根据圆外切四边形的性质可知：圆外切四边形的两组对边之和相等。
因为该梯形是圆外切等腰梯形，所以满足：上底长 + 下底长 = 腰长 + 腰长。
已知腰长为8，因此两腰之和为 $8 × 2 = 16$，即上底与下底长的和为16。
【答案】
D
【知识点】
圆外切四边形的性质；等腰梯形的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考察圆外切四边形性质的直接运用，结合等腰梯形的基本性质即可快速得到答案，无需复杂计算，熟记相关几何性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3 [2025高新区段考]如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=34°,则∠OBC的度数为 (
A.$27°$
B.$24°$
C.$22°$
D.$20°$
C
)A.$27°$
B.$24°$
C.$22°$
D.$20°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，第一步结合三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，已知∠CAI=34°，可先求出∠BAC的度数；第二步结合三角形外心的性质和圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后根据OB、OC都是外接圆半径，可得△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×34°=68°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理得：∠BOC=2∠BAC=2×68°=136°。
又
∵OB=OC（均为外接圆半径），
∴△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，核心考查特殊几何点的性质及角的数量关系推导，解题的关键是熟练掌握内心、外心的相关性质，准确对应圆周角和圆心角的关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发，第一步结合三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，已知∠CAI=34°，可先求出∠BAC的度数；第二步结合三角形外心的性质和圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，求出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后根据OB、OC都是外接圆半径，可得△OBC为等腰三角形，结合三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×34°=68°。
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理得：∠BOC=2∠BAC=2×68°=136°。
又
∵OB=OC（均为外接圆半径），
∴△OBC为等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-136°)÷2=22°。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，核心考查特殊几何点的性质及角的数量关系推导，解题的关键是熟练掌握内心、外心的相关性质，准确对应圆周角和圆心角的关系。
【难度系数】
0.7
4 如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，P是BC延长线上一点，连接OA，OC，PA，且$∠ PCA=∠ PAB$，D是AC的中点，OD的延长线交AP于点Q，连接CQ。有下列结论：① $∠ B=∠ AOD$；② OQ垂直平分AC；③ 直线PA和CQ都是$\odot O$的切线；④ $CQ// AO$。其中，一定正确的是（
A.①④
B.②③
C.①②③
D.①②③④
C
）A.①④
B.②③
C.①②③
D.①②③④
答案
4.C 【解析】$\because D$ 是 $AC$ 的中点, $\therefore A D=C D . \because O A=O C$,
$\therefore ∠ A O D=∠ C O D=\frac{1}{2} ∠ A O C, O Q ⊥ A C, \therefore O Q$ 垂直平分 $A C$. 故②正确. $\because ∠ B=\frac{1}{2} ∠ A O C, \therefore ∠ B=∠ A O D$. 故①正确. $\because ∠ P C A=$ $∠ P A B, \therefore ∠ P A C=180°-∠ P-∠ P C A=180°-∠ P-∠ P A B=$ $∠ B . \because ∠ B=∠ A O D, \therefore ∠ P A C=∠ A O D . \because ∠ A D O=90°$, $\therefore ∠ P A O=∠ P A C+∠ O A C=∠ A O D+∠ O A C=90° . \because O Q$ 垂直平分 $A C, \therefore Q C=Q A, \therefore ∠ Q C A=∠ Q A C . \because O C=O A, \therefore ∠ O C A=$ $∠ O A C, \therefore ∠ Q C O=∠ O C A+∠ Q C A=∠ O A C+∠ Q A C=∠ Q A O=$ $90° . \because O A, O C$ 都是 $\odot O$ 的半径, $P A ⊥ O A, C Q ⊥ O C, \therefore$ 直线 $P A$ 和 $C Q$ 都是 $\odot O$ 的切线. 故③正确. 假设 $C Q / / A O$, 则 $∠ A Q C=180°-$ $∠ Q A O=90°, \therefore ∠ A Q C=∠ Q A O=∠ Q C O=90°, \therefore ∠ A O C=360°-$ $∠ A Q C-∠ Q A O-∠ Q C O=90°, \therefore ∠ B=\frac{1}{2} ∠ A O C=45° . \because$ 由已知条件无法判断 $∠ B$ 的度数, $\therefore C Q / / A O$ 不一定正确. 综上所述, 一定正确的结论是①②③.
$\therefore ∠ A O D=∠ C O D=\frac{1}{2} ∠ A O C, O Q ⊥ A C, \therefore O Q$ 垂直平分 $A C$. 故②正确. $\because ∠ B=\frac{1}{2} ∠ A O C, \therefore ∠ B=∠ A O D$. 故①正确. $\because ∠ P C A=$ $∠ P A B, \therefore ∠ P A C=180°-∠ P-∠ P C A=180°-∠ P-∠ P A B=$ $∠ B . \because ∠ B=∠ A O D, \therefore ∠ P A C=∠ A O D . \because ∠ A D O=90°$, $\therefore ∠ P A O=∠ P A C+∠ O A C=∠ A O D+∠ O A C=90° . \because O Q$ 垂直平分 $A C, \therefore Q C=Q A, \therefore ∠ Q C A=∠ Q A C . \because O C=O A, \therefore ∠ O C A=$ $∠ O A C, \therefore ∠ Q C O=∠ O C A+∠ Q C A=∠ O A C+∠ Q A C=∠ Q A O=$ $90° . \because O A, O C$ 都是 $\odot O$ 的半径, $P A ⊥ O A, C Q ⊥ O C, \therefore$ 直线 $P A$ 和 $C Q$ 都是 $\odot O$ 的切线. 故③正确. 假设 $C Q / / A O$, 则 $∠ A Q C=180°-$ $∠ Q A O=90°, \therefore ∠ A Q C=∠ Q A O=∠ Q C O=90°, \therefore ∠ A O C=360°-$ $∠ A Q C-∠ Q A O-∠ Q C O=90°, \therefore ∠ B=\frac{1}{2} ∠ A O C=45° . \because$ 由已知条件无法判断 $∠ B$ 的度数, $\therefore C Q / / A O$ 不一定正确. 综上所述, 一定正确的结论是①②③.
解析
【分析】
本题是圆的综合类选择题，需对4个结论逐一验证推导：①可结合圆心角与圆周角的关系证明；②利用等腰三角形三线合一及线段垂直平分线的判定推导；③先通过角的等量代换证明OA⊥PA得到PA是切线，再结合垂直平分线的性质证明OC⊥CQ得到CQ是切线；④采用反证法，假设平行成立推导所需条件，判断题干是否给出该条件即可。解题时注意每一步推导都要有对应的定理支撑，避免无依据判断结论成立。
【解析】
解：逐个判断结论：
1. 验证结论②：
∵D是AC的中点，
∴$AD=CD$，
又
∵$OA=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OAC$是等腰三角形，OD是底边AC的中线，
根据等腰三角形三线合一，得$OQ⊥AC$，
∴OQ垂直平分AC，故②正确。
2. 验证结论①：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC$，
由结论②知$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴$∠B=∠AOD$，故①正确。
3. 验证结论③：
已知$∠PCA=∠PAB$，
在$△ PAB$中，$∠B=180°-∠P-∠PAB$，
在$△ PAC$中，$∠PAC=180°-∠P-∠PCA$，
∴$∠PAC=∠B$，
结合结论①$∠B=∠AOD$，得$∠PAC=∠AOD$，
∵$OQ⊥AC$，
∴$∠ADO=90°$，在$Rt△ AOD$中，$∠AOD+∠OAC=90°$，
∴$∠PAC+∠OAC=∠PAO=90°$，即$OA⊥PA$，
∵OA是$\odot O$的半径，
∴PA是$\odot O$的切线。
∵OQ垂直平分AC，
∴$QC=QA$，
∴$∠QCA=∠QAC$，
又
∵$OC=OA$，
∴$∠OCA=∠OAC$，
∴$∠QCO=∠OCA+∠QCA=∠OAC+∠QAC=∠PAO=90°$，即$OC⊥CQ$，
∵OC是$\odot O$的半径，
∴CQ是$\odot O$的切线，故③正确。
4. 验证结论④：
假设$CQ//AO$，则$∠AQC+∠QAO=180°$，
∵$∠QAO=90°$，
∴$∠AQC=90°$，
此时四边形QAOC中，$∠AQC=∠QAO=∠QCO=90°$，
∴$∠AOC=360°-90°×3=90°$，
根据圆周角定理得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC=45°$，但题干没有给出$∠B=45°$的条件，
∴$CQ//AO$不一定成立，故④错误。
综上，一定正确的是①②③。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于圆的综合题，需逐一分析每个结论，推导过程要严谨，对于不确定的结论可通过反证法判断是否成立，避免主观臆断遗漏条件导致错选。
【难度系数】
0.6
本题是圆的综合类选择题，需对4个结论逐一验证推导：①可结合圆心角与圆周角的关系证明；②利用等腰三角形三线合一及线段垂直平分线的判定推导；③先通过角的等量代换证明OA⊥PA得到PA是切线，再结合垂直平分线的性质证明OC⊥CQ得到CQ是切线；④采用反证法，假设平行成立推导所需条件，判断题干是否给出该条件即可。解题时注意每一步推导都要有对应的定理支撑，避免无依据判断结论成立。
【解析】
解：逐个判断结论：
1. 验证结论②：
∵D是AC的中点，
∴$AD=CD$，
又
∵$OA=OC$（都是$\odot O$的半径），
∴$△ OAC$是等腰三角形，OD是底边AC的中线，
根据等腰三角形三线合一，得$OQ⊥AC$，
∴OQ垂直平分AC，故②正确。
2. 验证结论①：
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC$，
由结论②知$∠AOD=∠COD=\frac{1}{2}∠AOC$，
∴$∠B=∠AOD$，故①正确。
3. 验证结论③：
已知$∠PCA=∠PAB$，
在$△ PAB$中，$∠B=180°-∠P-∠PAB$，
在$△ PAC$中，$∠PAC=180°-∠P-∠PCA$，
∴$∠PAC=∠B$，
结合结论①$∠B=∠AOD$，得$∠PAC=∠AOD$，
∵$OQ⊥AC$，
∴$∠ADO=90°$，在$Rt△ AOD$中，$∠AOD+∠OAC=90°$，
∴$∠PAC+∠OAC=∠PAO=90°$，即$OA⊥PA$，
∵OA是$\odot O$的半径，
∴PA是$\odot O$的切线。
∵OQ垂直平分AC，
∴$QC=QA$，
∴$∠QCA=∠QAC$，
又
∵$OC=OA$，
∴$∠OCA=∠OAC$，
∴$∠QCO=∠OCA+∠QCA=∠OAC+∠QAC=∠PAO=90°$，即$OC⊥CQ$，
∵OC是$\odot O$的半径，
∴CQ是$\odot O$的切线，故③正确。
4. 验证结论④：
假设$CQ//AO$，则$∠AQC+∠QAO=180°$，
∵$∠QAO=90°$，
∴$∠AQC=90°$，
此时四边形QAOC中，$∠AQC=∠QAO=∠QCO=90°$，
∴$∠AOC=360°-90°×3=90°$，
根据圆周角定理得$∠B=\frac{1}{2}∠AOC=45°$，但题干没有给出$∠B=45°$的条件，
∴$CQ//AO$不一定成立，故④错误。
综上，一定正确的是①②③。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，切线的判定，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于圆的综合题，需逐一分析每个结论，推导过程要严谨，对于不确定的结论可通过反证法判断是否成立，避免主观臆断遗漏条件导致错选。
【难度系数】
0.6
5 [2025高新区段考]已知$\odot O$的半径为4 cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则直线l与$\odot O$的位置关系是
相交
。答案
5. 相交
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系：若$d＞r$，直线与圆相离；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＜r$，直线与圆相交。解题时先提取题目给出的半径和距离的数值，再对比二者大小，对应判定位置关系即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意可知：$r=4\ \mathrm{cm}$，$d=3\ \mathrm{cm}$。
因为$3\ \mathrm{cm}＜4\ \mathrm{cm}$，即$d＜r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，可得直线$l$与$\odot O$相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类题目，主要考查直线与圆位置关系的判定，只要掌握圆心到直线的距离与圆半径的大小对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离$d$和圆的半径$r$的大小关系：若$d＞r$，直线与圆相离；若$d=r$，直线与圆相切；若$d＜r$，直线与圆相交。解题时先提取题目给出的半径和距离的数值，再对比二者大小，对应判定位置关系即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$。
由题意可知：$r=4\ \mathrm{cm}$，$d=3\ \mathrm{cm}$。
因为$3\ \mathrm{cm}＜4\ \mathrm{cm}$，即$d＜r$，根据直线与圆的位置关系判定规则，可得直线$l$与$\odot O$相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础类题目，主要考查直线与圆位置关系的判定，只要掌握圆心到直线的距离与圆半径的大小对应关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6 [2025苏州工业园区期中]如图，PA，PB分别切$\odot O$于点A，B。若$∠ C＝50°$，则$∠ P$的度数为
80
°。答案
6. 80
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 首先观察到PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA、OB⊥PB，得到两个直角；
2. 已知∠C是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；
3. 四边形OAPB的内角和为360°，用内角和减去两个直角和∠AOB的度数，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°，
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-100°=80°。
【答案】
80
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、圆周角定理与四边形内角和结合考查，解题关键是找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，属于圆部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 首先观察到PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA、OB⊥PB，得到两个直角；
2. 已知∠C是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可先求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数；
3. 四边形OAPB的内角和为360°，用内角和减去两个直角和∠AOB的度数，即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠ACB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角，
∴∠AOB=2∠ACB=2×50°=100°，
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-100°=80°。
【答案】
80
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的基础综合题，将切线性质、圆周角定理与四边形内角和结合考查，解题关键是找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，属于圆部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7 如图，正方形ABCD的边AD与$\odot O$相切于点P，点B，C在$\odot O$上.若$BC=8$，则$\odot O$的半径是________.
答案
7. 5
解析
【分析】
解题时先结合切线性质与正方形的性质构造直角三角形，再利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可。首先回忆切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OP垂直AD；结合正方形对边平行的性质，可知OP也垂直于弦BC，满足垂径定理的应用条件，可得到BC一半的长度；再设半径为r，即可表示出圆心到弦BC的距离，最后在直角三角形中用勾股定理列方程就能求出半径。
【解析】
解：连接$OP$、$OB$，过点$O$作$OE⊥ BC$于点$E$。
∵$AD$与$\odot O$相切于点$P$，
∴$OP⊥ AD$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD// BC$，$AB=BC=8$，
∴$OP⊥ BC$，即$P$、$O$、$E$三点共线，$PE=AB=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OP=r$，
∴$OE=PE-OP=8-r$。
∵$OE⊥ BC$，由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OBE$中，根据勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
即$r^2=(8-r)^2+4^2$，
展开得$r^2=64-16r+r^2+16$，
整理得$16r=80$，
解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是几何中求圆半径的典型题型，将正方形性质、圆的相关性质结合，需要熟练掌握切线、垂径定理的应用方法，学会用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合切线性质与正方形的性质构造直角三角形，再利用垂径定理和勾股定理列方程求解即可。首先回忆切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可得OP垂直AD；结合正方形对边平行的性质，可知OP也垂直于弦BC，满足垂径定理的应用条件，可得到BC一半的长度；再设半径为r，即可表示出圆心到弦BC的距离，最后在直角三角形中用勾股定理列方程就能求出半径。
【解析】
解：连接$OP$、$OB$，过点$O$作$OE⊥ BC$于点$E$。
∵$AD$与$\odot O$相切于点$P$，
∴$OP⊥ AD$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD// BC$，$AB=BC=8$，
∴$OP⊥ BC$，即$P$、$O$、$E$三点共线，$PE=AB=8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OP=r$，
∴$OE=PE-OP=8-r$。
∵$OE⊥ BC$，由垂径定理得$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OBE$中，根据勾股定理得$OB^2=OE^2+BE^2$，
即$r^2=(8-r)^2+4^2$，
展开得$r^2=64-16r+r^2+16$，
整理得$16r=80$，
解得$r=5$。
【答案】
5
【知识点】
切线的性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是几何中求圆半径的典型题型，将正方形性质、圆的相关性质结合，需要熟练掌握切线、垂径定理的应用方法，学会用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
8 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，点$O$在$△ ABC$内部，以点$O$为圆心，$OC$长为半径的圆与直线$AB$相离，则$OC$长的取值范围是
$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$
。答案
8. $0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确直线与圆相离的判定条件：圆心到直线的距离大于圆的半径。本题中圆的半径是OC，因此需要找到OC的最大临界值，即圆刚好与AB相切时的OC长度，再结合OC＞0的隐含条件即可得到取值范围。解题步骤如下：1. 用勾股定理计算斜边AB的长度；2. 分析圆与AB相切的临界情况，结合代数最值关系求出此时的OC值；3. 根据相离条件确定OC的取值范围。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 分析临界情况：
当$\odot O$与直线$AB$相切时，圆心$O$到$AB$的距离$d$等于半径$OC$，设此时$OC=r$，这是$OC$能取到的最大值，若$OC$超过该值，$\odot O$将与$AB$相交或相切，不符合相离要求。
3. 求临界$r$的值：
将点$C$置于坐标原点，设$C(0,0)$，$A(0,4)$，$B(2,0)$，可得直线$AB$的解析式为$2x+y-4=0$。设圆心$O(x,y)$，则$OC=r=\sqrt{x^2+y^2}$，$O$到$AB$的距离$d=\frac{4-2x-y}{\sqrt{5}}$（$O$在三角形内部，$2x+y＜4$）。
由不等式性质，$2x+y≤\sqrt{2^2+1^2}·\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5}r$。
当圆与$AB$相离时$d＞r$，即$\frac{4-2x-y}{\sqrt{5}}＞r$，整理得$2x+y＜4-\sqrt{5}r$。
结合$2x+y≤\sqrt{5}r$，要使不等式有解，需满足$\sqrt{5}r＜4-\sqrt{5}r$，解得$r＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
又因为点$O$在$△ ABC$内部，所以$OC＞0$。
综上，$OC$的取值范围是$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理；直线与圆的位置关系；点到直线的距离计算
【点评】
本题属于中档几何综合题，解题的核心是抓住圆与直线相切的临界状态，结合几何性质或代数方法求出临界半径，需要注意隐含的OC大于0的条件，避免漏写边界。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确直线与圆相离的判定条件：圆心到直线的距离大于圆的半径。本题中圆的半径是OC，因此需要找到OC的最大临界值，即圆刚好与AB相切时的OC长度，再结合OC＞0的隐含条件即可得到取值范围。解题步骤如下：1. 用勾股定理计算斜边AB的长度；2. 分析圆与AB相切的临界情况，结合代数最值关系求出此时的OC值；3. 根据相离条件确定OC的取值范围。
【解析】
1. 计算斜边AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=2$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
2. 分析临界情况：
当$\odot O$与直线$AB$相切时，圆心$O$到$AB$的距离$d$等于半径$OC$，设此时$OC=r$，这是$OC$能取到的最大值，若$OC$超过该值，$\odot O$将与$AB$相交或相切，不符合相离要求。
3. 求临界$r$的值：
将点$C$置于坐标原点，设$C(0,0)$，$A(0,4)$，$B(2,0)$，可得直线$AB$的解析式为$2x+y-4=0$。设圆心$O(x,y)$，则$OC=r=\sqrt{x^2+y^2}$，$O$到$AB$的距离$d=\frac{4-2x-y}{\sqrt{5}}$（$O$在三角形内部，$2x+y＜4$）。
由不等式性质，$2x+y≤\sqrt{2^2+1^2}·\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5}r$。
当圆与$AB$相离时$d＞r$，即$\frac{4-2x-y}{\sqrt{5}}＞r$，整理得$2x+y＜4-\sqrt{5}r$。
结合$2x+y≤\sqrt{5}r$，要使不等式有解，需满足$\sqrt{5}r＜4-\sqrt{5}r$，解得$r＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
又因为点$O$在$△ ABC$内部，所以$OC＞0$。
综上，$OC$的取值范围是$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$0＜OC＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理；直线与圆的位置关系；点到直线的距离计算
【点评】
本题属于中档几何综合题，解题的核心是抓住圆与直线相切的临界状态，结合几何性质或代数方法求出临界半径，需要注意隐含的OC大于0的条件，避免漏写边界。
【难度系数】
0.6
