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一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2025·连云港一模)方程$x^2 - 4x = 0$的解是 （
A.$x=4$
B.$x_1=1,x_2=4$
C.$x_1=0,x_2=4$
D.$x=0$
1.(2025·连云港一模)方程$x^2 - 4x = 0$的解是 （
C
）A.$x=4$
B.$x_1=1,x_2=4$
C.$x_1=0,x_2=4$
D.$x=0$
答案
C
2.(2025·广安)关于$x$的一元二次方程$x^2+3x+1=0$的根的情况是 （
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
B
）A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
答案
B
3. 下列一元二次方程中,两实数根为$x_1=3,x_2=4$的是 （
A.$x^2+7x+12=0$
B.$x^2-7x+12=0$
C.$x^2-7x-12=0$
D.$x^2+7x-12=0$
B
）A.$x^2+7x+12=0$
B.$x^2-7x+12=0$
C.$x^2-7x-12=0$
D.$x^2+7x-12=0$
答案
B
4.将一个关于$x$的一元二次方程配方为$(x+m)^2=p$，若$2\pm\sqrt{3}$是该方程的两个根，则$p$的值是（
A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{3}$
D.$3$
D
）A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{3}$
D.$3$
答案
D
5.(2025·新吴区期末)一元二次方程$a(x+h)^2 + k = 0$的两根分别为$-3,1$，则方程$a(2x+h-3)^2 + k = 0(a≠0)$的两根分别为 （
A.$x_1=-6,x_2=-2$
B.$x_1=0,x_2=-1$
C.$x_1=-9,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=2$
D
）A.$x_1=-6,x_2=-2$
B.$x_1=0,x_2=-1$
C.$x_1=-9,x_2=-1$
D.$x_1=0,x_2=2$
答案
D
6.请填写一个常数，使得关于$x$的方程$x^2 - 4x + \_\_\_\_\_\_ = 0$有两个不相等的实数根。
答案
1(答案不唯一)
7.已知$P=x^2+t,Q=2x$,若对于任意的实数$x,P＞Q$始终成立,则$t$的值可以为$\underline{\hspace{5em}}$.(写出一个即可)
答案
2(答案不唯一，t＞1即可)
8. 已知实数$x$满足方程$(x^2 + x)^2 - (x^2 + x) - 2 = 0$，则$x^2 + x$的值等于________.
答案
2
9.等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于x的方程$x^2 - 4x + k = 0$的两个根,则k的值为________.
答案
3或4
10.(2025·崇川区月考)已知方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两根分别为$m,n$，则$m^2 - \frac{2025}{n}$的值为________.
答案
-1
三、解答题(共50分)
11.(24分)解下列方程:
(1)$(x+1)^2 - 3 = 0$;
(2)$x^2 - 3x = x - 2$;
(3)$(3x - 1)^2 = (x - 1)^2$;
(4)$x^2 - 4x - 2 = 0$;
(5)$\frac{1}{2}x^2 + x = 2$(配方法);
(6)$2x^2 - 7x + 6 = 0$(公式法).
11.(24分)解下列方程:
(1)$(x+1)^2 - 3 = 0$;
(2)$x^2 - 3x = x - 2$;
(3)$(3x - 1)^2 = (x - 1)^2$;
(4)$x^2 - 4x - 2 = 0$;
(5)$\frac{1}{2}x^2 + x = 2$(配方法);
(6)$2x^2 - 7x + 6 = 0$(公式法).
答案
(1)$(x+1)^2=3,x+1=\pm\sqrt{3}$,
解得$x_1=\sqrt{3}-1,x_2=-\sqrt{3}-1$.
(2)$x^2-3x=x-2,x^2-4x=-2,x^2-4x+4=2$,即$(x-2)^2=2,x-2=\sqrt{2}$或$x-2=-\sqrt{2}$,解得$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$.
(3)$3x-1=\pm(x-1)$,即$3x-1=x-1$或$3x-1=-(x-1)$,解得$x_1=0,x_2=\frac{1}{2}$.
(4)$x^2-4x=2,x^2-4x+4=6$,即$(x-2)^2=6,x-2=\pm\sqrt{6}$,解得$x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$.
(5)方程整理,得$x^2+2x=4,x^2+2x+1=5$,即$(x+1)^2=5,x+1=\pm\sqrt{5}$,解得$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(6)$\because a=2,b=-7,c=6,\therefore b^2-4ac=49-48=1$,
$\therefore x=\frac{7\pm1}{4}$,解得$x_1=2,x_2=\frac{3}{2}$.
解得$x_1=\sqrt{3}-1,x_2=-\sqrt{3}-1$.
(2)$x^2-3x=x-2,x^2-4x=-2,x^2-4x+4=2$,即$(x-2)^2=2,x-2=\sqrt{2}$或$x-2=-\sqrt{2}$,解得$x_1=2+\sqrt{2},x_2=2-\sqrt{2}$.
(3)$3x-1=\pm(x-1)$,即$3x-1=x-1$或$3x-1=-(x-1)$,解得$x_1=0,x_2=\frac{1}{2}$.
(4)$x^2-4x=2,x^2-4x+4=6$,即$(x-2)^2=6,x-2=\pm\sqrt{6}$,解得$x_1=2+\sqrt{6},x_2=2-\sqrt{6}$.
(5)方程整理,得$x^2+2x=4,x^2+2x+1=5$,即$(x+1)^2=5,x+1=\pm\sqrt{5}$,解得$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$.
(6)$\because a=2,b=-7,c=6,\therefore b^2-4ac=49-48=1$,
$\therefore x=\frac{7\pm1}{4}$,解得$x_1=2,x_2=\frac{3}{2}$.
