9. 如图3,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B=90°,AD=1,BC=CD=5,则AB的长为.

9.3

【分析】
本题是直角梯形的边长计算问题，解题核心是通过作辅助线将梯形转化为熟悉的矩形和直角三角形求解。首先我们可以过点D作BC的垂线，构造出矩形ABED和直角三角形DEC：利用矩形的性质可得到BE与AD相等，DE与AB相等，再通过线段差求出EC的长度，最后在直角三角形DEC中运用勾股定理即可求出DE的长度，也就是AB的长。
【解析】
过点D作DE⊥BC于点E。
∵AD//BC，∠B=90°，DE⊥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=1，AB=DE。
∵BC=5，
∴EC=BC - BE=5-1=4。
在Rt△DEC中，CD=5，EC=4，根据勾股定理：
$DE=\sqrt{CD^2 - EC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴AB=DE=3。
【答案】
3
【知识点】
直角梯形的性质；矩形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是掌握梯形作高的常用辅助线方法，将陌生的梯形问题转化为已学的矩形、直角三角形问题求解，能够很好地考查学生对基础几何定理的应用能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7

10.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点$A(a,b),B(c,d)$,若点$T(x,y)$满足$x=\frac{a+c}{3},y=\frac{b+d}{3}$,则称点$T$是点$A$和点$B$的衍生点.
例如:$M(-2,5),N(8,-2)$,则点$T(2,1)$是点$M$和点$N$的衍生点.
已知点$D(3,0)$,点$E(m,m+2)$,点$T(x,y)$是点$D$和点$E$的衍生点.
(1)若点$E(4,6)$,求点$T$的坐标;
(2)直接写出点$T$的坐标(用$m$表示);
(3)若直线$ET$交$x$轴于点$H$,当$∠ DHT=90°$时,求点$E$的坐标.

10.(1)$T(\frac{7}{3},2)$ (2)$T(\frac{m+3}{3},\frac{m+2}{3})$
(3)$E(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$

【分析】
本题是新定义类坐标运算题，解题核心是准确掌握衍生点的运算规则：两点衍生点的横坐标为两点横坐标之和的$\frac{1}{3}$，纵坐标为两点纵坐标之和的$\frac{1}{3}$。
(1) 已知点D、E的具体坐标，直接代入衍生点公式计算即可得到点T的坐标；
(2) 将点E的含$m$的坐标代入衍生点公式，化简后即可得到用$m$表示的点T的坐标；
(3) 由$∠ DHT=90°$，且点H、D都在x轴上，可知直线ET垂直于x轴，即点E和点T的横坐标相等，结合第二问得到的T的横坐标列方程求解$m$，代入即可得到点E的坐标。
【解析】
(1) 已知点$D(3,0)$，$E(4,6)$，根据衍生点的定义：
$x=\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$，$y=\frac{0+6}{3}=2$
∴点T的坐标为$(\frac{7}{3},2)$
(2) 已知点$D(3,0)$，$E(m,m+2)$，根据衍生点的定义：
$x=\frac{3+m}{3}=\frac{m+3}{3}$，$y=\frac{0+(m+2)}{3}=\frac{m+2}{3}$
∴点T的坐标为$(\frac{m+3}{3},\frac{m+2}{3})$
(3)
∵$∠ DHT=90°$，点H在x轴上，点D也在x轴上
∴HD在x轴上，$TH⊥ x$轴，即直线ET垂直于x轴
∴点E和点T的横坐标相等，可得方程：
$m=\frac{m+3}{3}$
解方程：两边同乘3得$3m=m+3$，移项得$2m=3$，解得$m=\frac{3}{2}$
将$m=\frac{3}{2}$代入$E(m,m+2)$，得纵坐标为$\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$
∴点E的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$
【答案】
(1)$T(\frac{7}{3},2)$；(2)$T(\frac{m+3}{3},\frac{m+2}{3})$；(3)$E(\frac{3}{2},\frac{7}{2})$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系坐标特征，一元一次方程应用
【点评】
本题考查新定义下的坐标运算，解题关键是读懂衍生点的定义，结合直角在坐标系中的坐标特征列方程求解，考察学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7

11.为迎接“六一”儿童节，某幼儿园准备购买卷笔刀作为节日礼物送给小朋友.经调查发现:在当地超市卷笔刀的单价为4元；在网店购买同牌子卷笔刀的价格是当地超市的85％，但需快递费15元.
(1)分别写出在当地超市和网店购买的费用$y_1$(元),$y_2$(元)与卷笔刀的购买量$x$(个)的关系式；
(2)该幼儿园选择什么方式购买比较合算？请说明理由.

11.(1)$y_1=4x,y_2=3.4x+15.$
(2)该幼儿园购买卷笔刀的数量大于 25 个时,选择网购合算;当购买卷笔刀的数量小于 25 个时,选择在当地超市购买合算;当购买卷笔刀的数量等于 25 个时,两种购买方式一样.

【分析】
第(1)问：根据“总费用=单价×购买数量”的等量关系求解，当地超市无额外费用，直接代入单价和数量即可得到$y_1$的关系式；网店需先计算出折扣后的单价，再加上固定快递费，即可得到$y_2$的关系式。
第(2)问：判断哪种购买方式合算，本质是比较两个函数值的大小，分$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$、$y_1＜y_2$三种情况分别列方程或不等式求解，得到对应$x$的取值范围，即可确定不同购买量下的最优方案。
【解析】
(1) 当地超市购买时，总费用为单价乘购买数量：
$y_1 = 4x$（$x$为非负整数）
网店购买时，卷笔刀折扣后单价为$4×85\%=3.4$元，加固定快递费15元，因此：
$y_2 = 3.4x + 15$（$x$为非负整数）
(2) 分三种情况比较两种方式的费用：
① 当$y_1 = y_2$时，两种购买方式费用相同，列方程：
$4x = 3.4x + 15$
移项得：$0.6x = 15$
解得：$x=25$
② 当$y_1 ＞ y_2$时，超市购买费用更高，网购更合算，列不等式：
$4x ＞ 3.4x + 15$
解得：$x＞25$
③ 当$y_1 ＜ y_2$时，超市购买费用更低，更合算，列不等式：
$4x ＜ 3.4x + 15$
解得：$x＜25$
【答案】
(1)$y_1=4x$，$y_2=3.4x+15$；
(2)当购买卷笔刀的数量大于25个时，选择网购合算；当购买卷笔刀的数量小于25个时，选择在当地超市购买合算；当购买卷笔刀的数量等于25个时，两种购买方式一样。
【知识点】
一次函数解析式，一元一次不等式应用，方案优化选择
【点评】
本题贴近生活实际，考查函数与不等式的综合应用，解题的关键是找准等量关系列出函数解析式，结合分类讨论思想比较费用大小得到最优方案，掌握此类题型可以解决很多生活中的消费决策问题。
【难度系数】
0.7

12.如图4，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=CD，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO=∠ACE，连接OE。
(1)求证:四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=2√10，BD=4，求OE的长。

12.(1)略 (2)6

【分析】
(1) 先根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定四边形ABCD为平行四边形，要证明它是菱形，只需证明对角线互相垂直即可。结合CE⊥AB得到∠ACE与∠CAE互余，再通过∠ABO=∠ACE等量代换，得到∠ABO与∠CAE互余，即可推出AC⊥BD，得证菱形。
(2) 先利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出OB的长度，再在Rt△AOB中用勾股定理求出OA的长，得到AC的总长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合O是AC中点，即可求出OE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB//DC，AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∵ CE⊥AB，
∴ ∠E=90°，
∴ ∠ACE + ∠CAE = 90°。
又
∵ ∠ABO=∠ACE，
∴ ∠ABO + ∠CAE = 90°，
∴ ∠AOB=180°-(∠ABO+∠CAE)=90°，即AC⊥BD。
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是菱形，BD=4，
∴ AC⊥BD，OB=$\frac{1}{2}$BD=2，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC。
在Rt△AOB中，AB=$2\sqrt{10}$，OB=2，
由勾股定理得：OA=$\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2}=\sqrt{40-4}=\sqrt{36}=6$，
∴ AC=2OA=12。
∵ CE⊥AB，
∴ △ACE是直角三角形，
∵ O为AC中点，
∴ OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
(1) 略；(2) 6
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是四边形综合基础题，将平行四边形、菱形的判定性质与直角三角形的性质结合考查，解题时需先明确特殊四边形的判定条件，再结合已知角的关系和勾股定理逐步推导，解题思路清晰，是几何部分的典型考法。
【难度系数】
0.65