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8.三角形的三边长之比如下：
①$1.5:2:2.5$；②$4:7.5:8.5$；
③$1:\sqrt{3}:2$；④$3.5:4.5:5.5$。其中可以构成直角三角形的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$1.5:2:2.5$；②$4:7.5:8.5$；
③$1:\sqrt{3}:2$；④$3.5:4.5:5.5$。其中可以构成直角三角形的有 （
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.C
解析
【分析】
要判断给出边长比的三角形能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。由于边长比同时扩大或缩小相同倍数时，平方的等量关系不变，因此可直接将比例对应的数值当作边长计算，逐一验证4组边长比即可。
【解析】
根据勾股定理逆定理，逐一验证：
① 最长边为2.5，计算得：$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，$2.5^2 = 6.25$，满足$1.5^2 + 2^2 = 2.5^2$，可以构成直角三角形；
② 最长边为8.5，计算得：$4^2 + 7.5^2 = 16 + 56.25 = 72.25$，$8.5^2 = 72.25$，满足$4^2 + 7.5^2 = 8.5^2$，可以构成直角三角形；
③ 最长边为2，计算得：$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$2^2 = 4$，满足$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$，可以构成直角三角形；
④ 最长边为5.5，计算得：$3.5^2 + 4.5^2 = 12.25 + 20.25 = 32.5$，$5.5^2 = 30.25$，$32.5 ≠ 30.25$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有3个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形判定；比例的应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查勾股定理逆定理的使用，解题时注意仅需验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，借助比例数值直接计算即可简化运算，解题易错点是小数平方计算出错。
【难度系数】
0.7
要判断给出边长比的三角形能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。由于边长比同时扩大或缩小相同倍数时，平方的等量关系不变，因此可直接将比例对应的数值当作边长计算，逐一验证4组边长比即可。
【解析】
根据勾股定理逆定理，逐一验证：
① 最长边为2.5，计算得：$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，$2.5^2 = 6.25$，满足$1.5^2 + 2^2 = 2.5^2$，可以构成直角三角形；
② 最长边为8.5，计算得：$4^2 + 7.5^2 = 16 + 56.25 = 72.25$，$8.5^2 = 72.25$，满足$4^2 + 7.5^2 = 8.5^2$，可以构成直角三角形；
③ 最长边为2，计算得：$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$，$2^2 = 4$，满足$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 2^2$，可以构成直角三角形；
④ 最长边为5.5，计算得：$3.5^2 + 4.5^2 = 12.25 + 20.25 = 32.5$，$5.5^2 = 30.25$，$32.5 ≠ 30.25$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有3个。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理逆定理；直角三角形判定；比例的应用
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查勾股定理逆定理的使用，解题时注意仅需验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，借助比例数值直接计算即可简化运算，解题易错点是小数平方计算出错。
【难度系数】
0.7
9.学校为八年级学生挑选了A,B,C三条游学线路,现对全年级学生喜欢哪一条游学线路做调查,以决定最终的游学线路.下面的统计量中最值得关注的是 （
A.方差
B.平均数
C.中位数
D.众数
D
）A.方差
B.平均数
C.中位数
D.众数
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先明确题目的核心需求：学校要选出大多数学生喜欢的游学线路，需要找到能反映“出现次数最多”的统计量。接下来逐一回忆四个选项对应统计量的含义，匹配需求即可：方差描述数据波动程度，平均数描述数据平均水平，中位数描述数据的中等水平，只有众数是描述一组数据中出现次数最多的量，正好匹配“最多人选择”的需求，据此即可选出正确答案。
【解析】
本次调查的目的是确定多数学生偏好的游学线路，即找到选择人数最多的线路，对各选项逐一分析：
A. 方差用于衡量一组数据的波动大小，和选择人数的多少无关，不符合需求；
B. 平均数反映一组数据的平均水平，本题中游学线路是分类数据，且平均水平无法体现多数人的选择，不符合需求；
C. 中位数是将数据排序后处于中间位置的数，反映的是中等水平，不能代表最多人的选择，不符合需求；
D. 众数是一组数据中出现次数最多的数，正好对应选择人数最多的游学线路，符合需求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的意义；统计量的选择
【点评】
本题结合生活实际场景考查统计量的应用，解题核心是准确理解不同统计量的含义，结合实际需求选择对应的统计量，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目的核心需求：学校要选出大多数学生喜欢的游学线路，需要找到能反映“出现次数最多”的统计量。接下来逐一回忆四个选项对应统计量的含义，匹配需求即可：方差描述数据波动程度，平均数描述数据平均水平，中位数描述数据的中等水平，只有众数是描述一组数据中出现次数最多的量，正好匹配“最多人选择”的需求，据此即可选出正确答案。
【解析】
本次调查的目的是确定多数学生偏好的游学线路，即找到选择人数最多的线路，对各选项逐一分析：
A. 方差用于衡量一组数据的波动大小，和选择人数的多少无关，不符合需求；
B. 平均数反映一组数据的平均水平，本题中游学线路是分类数据，且平均水平无法体现多数人的选择，不符合需求；
C. 中位数是将数据排序后处于中间位置的数，反映的是中等水平，不能代表最多人的选择，不符合需求；
D. 众数是一组数据中出现次数最多的数，正好对应选择人数最多的游学线路，符合需求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
众数的意义；统计量的选择
【点评】
本题结合生活实际场景考查统计量的应用，解题核心是准确理解不同统计量的含义，结合实际需求选择对应的统计量，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.9
10.如图4,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,EF⊥AC,垂足为F,EG⊥BD,垂足为G,BD=6,则EF + EG等于
3
.答案
10.3
解析
【分析】
解题时先回顾正方形的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组内角。已知BD=6，可得对角线的一半长为3，且对角线互相垂直。求EF+EG的和可采用面积法：△OBC的面积等于△OBE与△OCE的面积之和，通过面积公式建立等式，即可快速求出两条垂线段的和，无需单独计算每条线段长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BD=6
∴正方形对角线互相垂直平分且相等，得$AC⊥BD$，$OB=OC=\frac{1}{2}BD=3$
连接OE，
$△ OBC$的面积 = $\frac{1}{2}×OB×OC = \frac{1}{2}×3×3 = \frac{9}{2}$
又
∵$△ OBC$的面积 = $△ OBE$的面积 + $△ OCE$的面积
且$EG⊥BD$，$EF⊥AC$
∴$△ OBE$的面积=$\frac{1}{2}×OB×EG$，$△ OCE$的面积=$\frac{1}{2}×OC×EF$
代入得：$\frac{1}{2}×3×EG + \frac{1}{2}×3×EF = \frac{9}{2}$
等式两边同时乘2，得$3(EG+EF)=9$
解得$EG+EF=3$
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质，面积法应用，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是正方形性质的典型应用，运用面积法求解线段和可以简化运算过程，是几何中处理多条垂线段求和问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
解题时先回顾正方形的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组内角。已知BD=6，可得对角线的一半长为3，且对角线互相垂直。求EF+EG的和可采用面积法：△OBC的面积等于△OBE与△OCE的面积之和，通过面积公式建立等式，即可快速求出两条垂线段的和，无需单独计算每条线段长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，BD=6
∴正方形对角线互相垂直平分且相等，得$AC⊥BD$，$OB=OC=\frac{1}{2}BD=3$
连接OE，
$△ OBC$的面积 = $\frac{1}{2}×OB×OC = \frac{1}{2}×3×3 = \frac{9}{2}$
又
∵$△ OBC$的面积 = $△ OBE$的面积 + $△ OCE$的面积
且$EG⊥BD$，$EF⊥AC$
∴$△ OBE$的面积=$\frac{1}{2}×OB×EG$，$△ OCE$的面积=$\frac{1}{2}×OC×EF$
代入得：$\frac{1}{2}×3×EG + \frac{1}{2}×3×EF = \frac{9}{2}$
等式两边同时乘2，得$3(EG+EF)=9$
解得$EG+EF=3$
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质，面积法应用，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是正方形性质的典型应用，运用面积法求解线段和可以简化运算过程，是几何中处理多条垂线段求和问题的常用思路。
【难度系数】
0.7
11.从4万个不小于70的两位数中，随机抽取3000个数据，统计如下：
求这3000个数据的平均数。
求这3000个数据的平均数。
答案
11.85.23
解析
【分析】
要求3000个数据的平均数，属于分组数据求平均数的问题，需用加权平均数的计算方法：整体平均数等于所有数据的总和除以数据总个数。首先分别计算出每组数据的总和，将三组总和相加得到3000个数据的总求和，最后除以总个数3000即可得到结果。
【解析】
解：首先计算三组数据的总和：
第一组总和：$ 800 × 78.1 = 62480 $
第二组总和：$ 1300 × 85 = 110500 $
第三组总和：$ 900 × 91.9 = 82710 $
3000个数据的总总和：$ 62480 + 110500 + 82710 = 255690 $
这3000个数据的平均数：$ \bar{x} = \frac{255690}{3000} = 85.23 $
【答案】
85.23
【知识点】
加权平均数计算、平均数应用
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，解题时要注意不能直接将三组的平均数相加除以3，需结合每组数据的数量（权重）计算总数据和，是统计部分的基础题型，掌握加权平均数的计算逻辑即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求3000个数据的平均数，属于分组数据求平均数的问题，需用加权平均数的计算方法：整体平均数等于所有数据的总和除以数据总个数。首先分别计算出每组数据的总和，将三组总和相加得到3000个数据的总求和，最后除以总个数3000即可得到结果。
【解析】
解：首先计算三组数据的总和：
第一组总和：$ 800 × 78.1 = 62480 $
第二组总和：$ 1300 × 85 = 110500 $
第三组总和：$ 900 × 91.9 = 82710 $
3000个数据的总总和：$ 62480 + 110500 + 82710 = 255690 $
这3000个数据的平均数：$ \bar{x} = \frac{255690}{3000} = 85.23 $
【答案】
85.23
【知识点】
加权平均数计算、平均数应用
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，解题时要注意不能直接将三组的平均数相加除以3，需结合每组数据的数量（权重）计算总数据和，是统计部分的基础题型，掌握加权平均数的计算逻辑即可快速解答。
【难度系数】
0.8
12.如图5,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BD,AD,CD的长分别为1,2√2,8.求证:∠BAC=90°. 
图5
图5答案
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AB² = AD² + BD² = (2√2)² + 1² = 8 + 1 = 9，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC² = AD² + CD² = (2√2)² + 8² = 8 + 64 = 72，
∵ BC = BD + CD = 1 + 8 = 9，
∴ BC² = 9² = 81，
∴ AB² + AC² = 9 + 72 = 81 = BC²，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AB² = AD² + BD² = (2√2)² + 1² = 8 + 1 = 9，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC² = AD² + CD² = (2√2)² + 8² = 8 + 64 = 72，
∵ BC = BD + CD = 1 + 8 = 9，
∴ BC² = 9² = 81，
∴ AB² + AC² = 9 + 72 = 81 = BC²，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
解析
【分析】
要证明∠BAC=90°，本质是证明△ABC是直角三角形且直角顶点为A，根据勾股定理的逆定理，只需验证AB² + AC² = BC²即可。已知AD⊥BC，可得△ABD和△ACD均为直角三角形，我们可先在这两个小直角三角形中利用勾股定理分别计算出AB²和AC²，再结合BD、CD的长度求出BC的平方，最后对比三个平方值的关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AB² = AD² + BD² = (2√2)² + 1² = 8 + 1 = 9，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC² = AD² + CD² = (2√2)² + 8² = 8 + 64 = 72，
∵ BC = BD + CD = 1 + 8 = 9，
∴ BC² = 9² = 81，
∴ AB² + AC² = 9 + 72 = 81 = BC²，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
【答案】
∠BAC=90°，得证。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题关键是先通过小直角三角形的勾股定理求得待证三角形的边长平方，再结合逆定理判断三角形形状，整体思路清晰，属于几何基础常考题，熟练掌握两个定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要证明∠BAC=90°，本质是证明△ABC是直角三角形且直角顶点为A，根据勾股定理的逆定理，只需验证AB² + AC² = BC²即可。已知AD⊥BC，可得△ABD和△ACD均为直角三角形，我们可先在这两个小直角三角形中利用勾股定理分别计算出AB²和AC²，再结合BD、CD的长度求出BC的平方，最后对比三个平方值的关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AB² = AD² + BD² = (2√2)² + 1² = 8 + 1 = 9，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC² = AD² + CD² = (2√2)² + 8² = 8 + 64 = 72，
∵ BC = BD + CD = 1 + 8 = 9，
∴ BC² = 9² = 81，
∴ AB² + AC² = 9 + 72 = 81 = BC²，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
【答案】
∠BAC=90°，得证。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题关键是先通过小直角三角形的勾股定理求得待证三角形的边长平方，再结合逆定理判断三角形形状，整体思路清晰，属于几何基础常考题，熟练掌握两个定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 图6所示的是某汽车行驶的路程$s(\mathrm{km})$与时间$t(\mathrm{min})$之间的函数关系，观察图象中所提供的信息，解答下列问题：
(1)汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
(2)汽车中途停了多长时间？
(3)当$16≤ t≤30$时，求$s$与$t$的函数解析式。
(1)汽车在前9分钟内的平均速度是多少？
(2)汽车中途停了多长时间？
(3)当$16≤ t≤30$时，求$s$与$t$的函数解析式。
答案
13.(1)$\frac{4}{3}$ km/min (2)7 min (3)$s=2t-20$
解析
【分析】
本题考查s-t行程图象的分析与一次函数的应用，解题思路如下：
(1) 平均速度=总路程÷总时间，从图象中读取前9分钟行驶的路程，代入公式计算即可；
(2) 汽车停车时路程不随时间变化，对应图象中的水平线段，读取水平线段两端的时间作差，即可得到停车时长；
(3) 当$16≤ t≤30$时，s和t是一次函数关系，采用待定系数法，设函数解析式为$s=kt+b$，代入图象上该段的两个端点坐标，解方程组求出k、b即可得到解析式。
【解析】
解：
(1) 由图象可知，前9分钟汽车行驶的路程为12km，
平均速度$v=\frac{s}{t}=\frac{12\mathrm{km}}{9\mathrm{min}}=\frac{4}{3}\mathrm{km/min}$；
(2) 汽车中途停车时，路程保持12km不变，对应的时间从第9min到第16min，
停车时长为$16-9=7(\mathrm{min})$；
(3) 当$16≤ t≤30$时，设$s$与$t$的函数解析式为$s=kt+b(k≠0)$，
将点$(16,12)$和$(30,40)$代入解析式得：
$\begin{cases}16k+b=12\\30k+b=40\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$14k=28$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$16k+b=12$，得$32+b=12$，解得$b=-20$，
故函数解析式为$s=2t-20(16≤ t≤30)$。
【答案】
(1) $\frac{4}{3}$ km/min；(2) 7 min；(3) $s=2t-20$
【知识点】
s-t图象分析；平均速度计算；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的基础题，核心是能从s-t图象中获取路程、时间的对应信息，明确水平线段代表静止，倾斜线段代表匀速运动，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查s-t行程图象的分析与一次函数的应用，解题思路如下：
(1) 平均速度=总路程÷总时间，从图象中读取前9分钟行驶的路程，代入公式计算即可；
(2) 汽车停车时路程不随时间变化，对应图象中的水平线段，读取水平线段两端的时间作差，即可得到停车时长；
(3) 当$16≤ t≤30$时，s和t是一次函数关系，采用待定系数法，设函数解析式为$s=kt+b$，代入图象上该段的两个端点坐标，解方程组求出k、b即可得到解析式。
【解析】
解：
(1) 由图象可知，前9分钟汽车行驶的路程为12km，
平均速度$v=\frac{s}{t}=\frac{12\mathrm{km}}{9\mathrm{min}}=\frac{4}{3}\mathrm{km/min}$；
(2) 汽车中途停车时，路程保持12km不变，对应的时间从第9min到第16min，
停车时长为$16-9=7(\mathrm{min})$；
(3) 当$16≤ t≤30$时，设$s$与$t$的函数解析式为$s=kt+b(k≠0)$，
将点$(16,12)$和$(30,40)$代入解析式得：
$\begin{cases}16k+b=12\\30k+b=40\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$14k=28$，解得$k=2$，
将$k=2$代入$16k+b=12$，得$32+b=12$，解得$b=-20$，
故函数解析式为$s=2t-20(16≤ t≤30)$。
【答案】
(1) $\frac{4}{3}$ km/min；(2) 7 min；(3) $s=2t-20$
【知识点】
s-t图象分析；平均速度计算；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的基础题，核心是能从s-t图象中获取路程、时间的对应信息，明确水平线段代表静止，倾斜线段代表匀速运动，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.8
