登录
【例】某农场准备修建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50 m），中间用两面墙隔开（如右图）.已知现有建筑材料可修建成48 m长的墙，则这三间长方形种牛饲养室占地总面积最大为
【点拨】求这三间长方形种牛饲养室占地总面积的最大值，可设占地总面积为 S m²，中间墙的长度为 x m. 根据题目所给出的条件列出 S 与 x 的关系式，再根据函数的性质求出 S 的最大值即可.
【解】144
144
m²（不考虑墙的厚度）.【点拨】求这三间长方形种牛饲养室占地总面积的最大值，可设占地总面积为 S m²，中间墙的长度为 x m. 根据题目所给出的条件列出 S 与 x 的关系式，再根据函数的性质求出 S 的最大值即可.
【解】144
答案
144
解析
【分析】
本题属于二次函数在几何面积最值问题中的应用，解题思路如下：第一步，合理设未知数，设垂直于50m长墙的每段墙长为x m，总面积为S m²；第二步，根据现有建材总长48m，推导平行于墙的边长表达式，注意平行边长不能超过墙长50m，同时边长为正，确定x的取值范围；第三步，根据长方形面积公式列出S关于x的函数关系式；第四步，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
设垂直于50m长墙的每段墙长为x m，三间饲养室总占地面积为S m²。
由图可知，垂直于长墙的墙共有4段，因此平行于长墙的墙长为$(48 - 4x)$ m。
根据实际意义，边长为正，且平行墙长不超过50m：
$\begin{cases}x＞0 \\ 48-4x＞0 \\ 48-4x≤50\end{cases}$，解得$0＜x＜12$。
根据长方形面积公式可得：
$S = x(48 - 4x) = -4x^2 + 48x$
对函数配方得：
$S = -4(x^2 - 12x) = -4(x - 6)^2 + 144$
∵二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=6$时，S取得最大值，最大值为144，且$x=6$在$0＜x＜12$的范围内，符合题意。
【答案】
144
【知识点】
二次函数的应用；几何面积计算；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题核心是结合图形找到边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，同时要注意结合实际场景验证自变量和所求最值的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
本题属于二次函数在几何面积最值问题中的应用，解题思路如下：第一步，合理设未知数，设垂直于50m长墙的每段墙长为x m，总面积为S m²；第二步，根据现有建材总长48m，推导平行于墙的边长表达式，注意平行边长不能超过墙长50m，同时边长为正，确定x的取值范围；第三步，根据长方形面积公式列出S关于x的函数关系式；第四步，利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
设垂直于50m长墙的每段墙长为x m，三间饲养室总占地面积为S m²。
由图可知，垂直于长墙的墙共有4段，因此平行于长墙的墙长为$(48 - 4x)$ m。
根据实际意义，边长为正，且平行墙长不超过50m：
$\begin{cases}x＞0 \\ 48-4x＞0 \\ 48-4x≤50\end{cases}$，解得$0＜x＜12$。
根据长方形面积公式可得：
$S = x(48 - 4x) = -4x^2 + 48x$
对函数配方得：
$S = -4(x^2 - 12x) = -4(x - 6)^2 + 144$
∵二次项系数$-4＜0$，函数图象开口向下，
∴当$x=6$时，S取得最大值，最大值为144，且$x=6$在$0＜x＜12$的范围内，符合题意。
【答案】
144
【知识点】
二次函数的应用；几何面积计算；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的典型题型，解题核心是结合图形找到边长的数量关系，正确列出面积的函数表达式，同时要注意结合实际场景验证自变量和所求最值的合理性，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
1. 向空中发射一枚炮弹，炮弹飞行的路线可以看成是一条抛物线，经过$x$ s后炮弹的高度为$y$ m，且$y$与$x$之间的关系式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$。若此炮弹在第6 s与第14 s时的高度相等，则下列时间中，炮弹所在高度最高的是（
A.第8 s
B.第9 s
C.第10 s
D.第11 s
C
）A.第8 s
B.第9 s
C.第10 s
D.第11 s
答案
1.C
解析
【分析】
首先，炮弹的飞行高度y关于时间x的函数是开口向下的二次函数，其最高点对应抛物线的顶点，顶点的横坐标就是炮弹高度最高的时刻，也就是抛物线的对称轴对应的x值。已知炮弹在第6s和第14s时高度相等，说明这两个时刻对应的点在抛物线上关于对称轴对称，我们只需要求出这两个x值的平均数就能得到对称轴，再对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵y与x的关系式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，炮弹先上升后下落，
∴抛物线开口向下，函数的最大值出现在抛物线的对称轴处，即高度最高的时刻对应对称轴的x值。
∵炮弹在第6s与第14s时的高度相等，即$x=6$和$x=14$时y的取值相等，根据二次函数的对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为$x=\frac{6+14}{2}=10$，即第10s时炮弹所在高度最高。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际情境考查二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数的对称性快速求出对称轴，无需代入解析式计算即可得到最值对应的自变量取值，解题时要注意结合实际意义理解抛物线的开口方向。
【难度系数】
0.8
首先，炮弹的飞行高度y关于时间x的函数是开口向下的二次函数，其最高点对应抛物线的顶点，顶点的横坐标就是炮弹高度最高的时刻，也就是抛物线的对称轴对应的x值。已知炮弹在第6s和第14s时高度相等，说明这两个时刻对应的点在抛物线上关于对称轴对称，我们只需要求出这两个x值的平均数就能得到对称轴，再对应选项判断即可。
【解析】
解：
∵y与x的关系式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，炮弹先上升后下落，
∴抛物线开口向下，函数的最大值出现在抛物线的对称轴处，即高度最高的时刻对应对称轴的x值。
∵炮弹在第6s与第14s时的高度相等，即$x=6$和$x=14$时y的取值相等，根据二次函数的对称性，这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为$x=\frac{6+14}{2}=10$，即第10s时炮弹所在高度最高。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合实际情境考查二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数的对称性快速求出对称轴，无需代入解析式计算即可得到最值对应的自变量取值，解题时要注意结合实际意义理解抛物线的开口方向。
【难度系数】
0.8
2.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.按如图所示的直角坐标系，
第2题图
水流喷出的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系式是$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}(x＞0)$，则水流喷出的最大高度是（
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
第2题图水流喷出的高度$y$(单位:m)与水平距离$x$(单位:m)之间的关系式是$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}(x＞0)$，则水流喷出的最大高度是（
B
）A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
答案
2.B
解析
【分析】
本题是二次函数在实际场景中的最值问题，已知水流高度y和水平距离x的二次函数关系式，要求水流最大高度，即求该二次函数的最大值。首先观察二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，因此我们只需要求出二次函数顶点的纵坐标即可，可采用配方法或者顶点纵坐标公式进行计算，同时要注意验证顶点横坐标是否符合x＞0的取值要求。
【解析】
解法一：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 - 2x) + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 - 2x +1 -1) + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + \frac{11}{4}\end{aligned}$
因为二次项系数-1＜0，所以当x=1时，y取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$，且x=1＞0，符合取值范围。
解法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
对应顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1＞0$，符合要求。
因此水流喷出的最大高度是2.75m，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题核心是将实际的最大高度转化为二次函数的最大值，熟练掌握二次函数最值的计算方法即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际场景中的最值问题，已知水流高度y和水平距离x的二次函数关系式，要求水流最大高度，即求该二次函数的最大值。首先观察二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，因此我们只需要求出二次函数顶点的纵坐标即可，可采用配方法或者顶点纵坐标公式进行计算，同时要注意验证顶点横坐标是否符合x＞0的取值要求。
【解析】
解法一：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 - 2x) + \frac{7}{4}\\&=-(x^2 - 2x +1 -1) + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1 + \frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 + \frac{11}{4}\end{aligned}$
因为二次项系数-1＜0，所以当x=1时，y取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$，且x=1＞0，符合取值范围。
解法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
对应顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1＞0$，符合要求。
因此水流喷出的最大高度是2.75m，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题核心是将实际的最大高度转化为二次函数的最大值，熟练掌握二次函数最值的计算方法即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
