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1. 如图，AB与CD交于点O，且$AC // BD$。若$\frac{OA+OC+AC}{OB+OD+BD}=\frac{1}{3}$，则$\frac{AC}{BD}=$（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
（第1题）
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$
（第1题）答案
1.B
2. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$DE// BC$，若$AD=3BD$，$△ ADE$的周长为$3$，则$△ ABC$的周长为（
A.$4$
B.$6$
C.$9$
D.$12$
A
）A.$4$
B.$6$
C.$9$
D.$12$
答案
2.A
3.[2026合肥期末] 两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是
18 cm
。答案
3.18 cm
4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=6，AD=3，∠DAC=∠B。如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（
A.15
B.10
C.$\frac{15}{4}$
D.5
（第4题）
D
）A.15
B.10
C.$\frac{15}{4}$
D.5
（第4题）答案
4.D
5.[2025威海]如图，$△ ABC$的中线$BE$，$CD$交于点$F$，连接$DE$.下列结论错误的是 （
A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
B
）A.$S_{△ DEF}=\dfrac{1}{4}S_{△ BCF}$
B.$S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}BCED}$
C.$S_{△ DBF}=\dfrac{1}{2}S_{△ BCF}$
D.$S_{△ ADC}=S_{△ AEB}$
答案
5.B 【点拨】$\because △ABC$的中线$BE,CD$交于点$F,\therefore DE=\frac{1}{2}BC, DE// BC, S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}, S_{△ AEB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}.$
$\therefore S_{△ ADC}=S_{△ AEB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$, 故 D 选项结论正确; $\because DE// BC,\therefore ∠ ADE=∠ ABC,∠ AED=∠ ACB,∠ DEF=∠ CBF,∠ EDF=∠ BCF. \therefore △ ADE∽ △ ABC,△ DEF∽ △ CBF.$
$\because \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2},\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4},\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}.$
$\therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}, S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}, S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}BCED},$
故 A,C 选项结论正确,B 选项结论错误. 故选 B.
$\therefore S_{△ ADC}=S_{△ AEB}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$, 故 D 选项结论正确; $\because DE// BC,\therefore ∠ ADE=∠ ABC,∠ AED=∠ ACB,∠ DEF=∠ CBF,∠ EDF=∠ BCF. \therefore △ ADE∽ △ ABC,△ DEF∽ △ CBF.$
$\because \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2},\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4},\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BCF}}=(\frac{DE}{BC})^2=\frac{1}{4}.$
$\therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{4}S_{△ BCF}, S_{△ DBF}=\frac{1}{2}S_{△ BCF}, S_{△ ADE}=\frac{1}{3}S_{\mathrm{四边形}BCED},$
故 A,C 选项结论正确,B 选项结论错误. 故选 B.
6.如图，$△ ABC ∽ △ ADE$，$S_{△ ABC}:S_{\mathrm{四边形}BDEC}=1:3$，$BC=\sqrt{2}$，则$DE$的长为________。
答案
6.$2\sqrt{2}$
7. 如图，在$△ ABC$中，点$D,E,F$分别在边$AB,AC,BC$上，连接$DE,EF$.已知四边形$BFED$是平行四边形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若$AB=4$，求线段$AD$的长；
(2)若$△ ADE$的面积为$2$，求$□ BFED$的面积.
(1)若$AB=4$，求线段$AD$的长；
(2)若$△ ADE$的面积为$2$，求$□ BFED$的面积.
答案
7.【解】(1)$\because$点 F 在边 BC 上,四边形 BFED 是平行四边形,
$\therefore DE// BC.$ $\therefore$易得$△ ADE∽ △ ABC.$
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}.$
又$\because AB=4,\therefore AD=1.$
(2)$\because △ ADE∽ △ ABC,$
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16},\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}.$
$\therefore \frac{CE}{AC}=\frac{3}{4}.$
$\because △ ADE$的面积为 2,$\therefore △ ABC$的面积是 32.
$\because$四边形 BFED 是平行四边形,$\therefore EF// AB.$
$\therefore$易得$△ EFC∽ △ ABC.$
$\therefore \frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{CE}{AC})^2=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}.$
$\therefore △ EFC$的面积是 18.
$\therefore □ BFED$的面积$=32-18-2=12.$
8. 四边形$ABCD ∽$四边形$A'B'C'D'$，它们的面积之比为$36:25$，它们的相似比为________，若四边形$A'B'C'D'$的周长为$15\ \mathrm{cm}$，则四边形$ABCD$的周长为________。
答案
8.$6:5;18\ \mathrm{cm}$
9. 新考法方程思想 如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F，若AD=8，AB=6，AE=4，则△EBF的周长为 （
A.8
B.10
C.12
D.16
A
）A.8
B.10
C.12
D.16
答案
9.A 【点拨】由折叠的性质知 $EH = DH,∠ HEQ = ∠ D=90°.$ 设 $AH=a$, 则 $EH=DH=AD-AH=8-a.$
在$\mathrm{Rt}△ AEH$ 中,$∠ EAH=90°,AE=4,\therefore EH^2=AE^2+AH^2,$即$(8-a)^2=4^2+a^2,$解得 $a=3.$ $\therefore AH=3.$ 易知$∠ BFE+∠ BEF=90°,∠ BEF+∠ AEH=90°,\therefore ∠ BFE=∠ AEH.$ 又$\because ∠ EAH=∠ FBE=90°,\therefore △ EBF∽ △ HAE.$
$\therefore \frac{C_{△ EBF}}{C_{△ HAE}}=\frac{BE}{AH}=\frac{AB-AE}{AH}=\frac{2}{3}.$ $\because C_{△ HAE}=AE+EH+AH=AE+AD=12,\therefore C_{△ EBF}=\frac{2}{3}C_{△ HAE}=8.$
在$\mathrm{Rt}△ AEH$ 中,$∠ EAH=90°,AE=4,\therefore EH^2=AE^2+AH^2,$即$(8-a)^2=4^2+a^2,$解得 $a=3.$ $\therefore AH=3.$ 易知$∠ BFE+∠ BEF=90°,∠ BEF+∠ AEH=90°,\therefore ∠ BFE=∠ AEH.$ 又$\because ∠ EAH=∠ FBE=90°,\therefore △ EBF∽ △ HAE.$
$\therefore \frac{C_{△ EBF}}{C_{△ HAE}}=\frac{BE}{AH}=\frac{AB-AE}{AH}=\frac{2}{3}.$ $\because C_{△ HAE}=AE+EH+AH=AE+AD=12,\therefore C_{△ EBF}=\frac{2}{3}C_{△ HAE}=8.$
10. 如图，矩形ABCD被分成5个正方形和2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形BEFG∽矩形ABCD，那么$\frac{S_{\mathrm{矩形}BEFG}}{S_{\mathrm{矩形}ABCD}}$的值为
$\frac{1}{4}$
。答案
10.$\frac{1}{4}$ 【点拨】设 5 个正方形中的小正方形的边长为 $a$,大正方形的边长为 $b$, 则 $AG=b,BG=b+a,BE=2b-a,CE=2b. \therefore AB=2b+a,BC=AD=2b+2b-a=4b-a.$
$\because$ 矩形 $BEFG∽$ 矩形 $ABCD,\therefore \frac{BG}{AD}=\frac{BE}{AB},$即 $\frac{b+a}{4b-a}=\frac{2b-a}{2b+a}.\therefore b=\frac{3}{2}a. \therefore BG=b+a=\frac{5}{2}a,AD=4b-a=5a.$
$\because$ 矩形 $BEFG∽$ 矩形 $ABCD,\therefore \frac{S_{\mathrm{矩形}BEFG}}{S_{\mathrm{矩形}ABCD}}=(\frac{BG}{AD})^2=(\frac{\frac{5}{2}a}{5a})^2=\frac{1}{4}.$
$\because$ 矩形 $BEFG∽$ 矩形 $ABCD,\therefore \frac{BG}{AD}=\frac{BE}{AB},$即 $\frac{b+a}{4b-a}=\frac{2b-a}{2b+a}.\therefore b=\frac{3}{2}a. \therefore BG=b+a=\frac{5}{2}a,AD=4b-a=5a.$
$\because$ 矩形 $BEFG∽$ 矩形 $ABCD,\therefore \frac{S_{\mathrm{矩形}BEFG}}{S_{\mathrm{矩形}ABCD}}=(\frac{BG}{AD})^2=(\frac{\frac{5}{2}a}{5a})^2=\frac{1}{4}.$
