如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,∠ B=45°,BC=10$,过点$A$作$AD// BC$,且点$D$在点$A$的右侧.点$P$从点$A$出发沿射线$AD$方向以每秒1个单位的速度运动,同时点$Q$从点$C$出发沿射线$CB$方向以每秒2个单位的速度运动,在线段$QC$上取点$E$,使得$QE=2$,连结$PE$,设点$P$的运动时间为$t$秒.
任务一:若$PE⊥ BC$,求$BQ$的长.
任务二:请问是否存在$t$的值,使以$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.

任务一:如图,过点A作$AM ⊥ BC$于点M.
$\because ∠ BAC=90°,∠ B=45°,$
$\therefore ∠ C=45°.$
$\therefore ∠ B=∠ C=45°.$
$\therefore AB=AC.$
$\therefore BM=CM.$
$\therefore AM=\frac{1}{2}BC=5.$
$\because AD// BC,$
$\therefore ∠ PAN=∠ C=45°.$
$\because PE ⊥ BC,$
$\therefore PE=AM=5,PE ⊥ AD.$
$\therefore △ APN$和$△ CEN$均为等腰直角三角形.
$\therefore PN=AP=t,CE=NE=5-t.$
又$\because CE=CQ-QE=2t-2,$
$\therefore 5-t=2t-2,$解得$t=\frac{7}{3}.$
$\therefore BQ=BC-CQ=10-2×\frac{7}{3}=\frac{16}{3}.$
任务二:存在.
当$t$的值为4或12时,以$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形.