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18. (1)解不等式$\frac{x}{5} ≥ 3 - \frac{x - 1}{2}$，并把解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组$\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + 3 ≥ x + 1, \\ 1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x, \end{cases}$并写出该不等式组的整数解。
(2)解不等式组$\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + 3 ≥ x + 1, \\ 1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x, \end{cases}$并写出该不等式组的整数解。
答案
18.(1)不等式的解集为$x≥5$.
将不等式的解集表示在数轴上如下：
(2)不等式组的解集为$-2＜x≤1$,其整数解为$-1,0,1.$
解析
【分析】
(1) 求解一元一次不等式遵循固定步骤：先去分母，两边同乘分母的最小公倍数时注意不要漏乘不含分母的常数项；再去括号，括号前为负号时括号内各项要变号；随后移项，将含未知数的项和常数项分别移到不等号两侧；合并同类项后将未知数系数化为1，若系数为负需改变不等号方向。数轴表示解集时，“≥”对应实心点，方向向右。
(2) 求解一元一次不等式组，先分别解出组内每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分作为不等式组的最终解集，最后在解集范围内筛选出所有整数即可得到整数解。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{x}{5} ≥ 3 - \frac{x - 1}{2}$：
① 去分母，两边同时乘10，得：$2x ≥ 30 - 5(x-1)$
② 去括号，得：$2x ≥ 30 -5x +5$
③ 移项、合并同类项，得：$7x ≥ 35$
④ 系数化为1，得：$x ≥5$
解集在数轴上表示为5处标记实心点，向右画延伸射线，如下图：
(2) 解不等式组$\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + 3 ≥ x + 1① \\ 1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x② \end{cases}$
解不等式①：
去分母得$x-3 +6 ≥2x +2$，移项合并得$-x ≥-1$，系数化为1得$x ≤1$。
解不等式②：
去括号得$1-3x +3 ＜8 -x$，移项合并得$-2x ＜4$，系数化为1得$x ＞-2$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜x ≤1$，范围内的整数为-1、0、1。
【答案】
(1) 不等式的解集为$x≥5$，将不等式的解集表示在数轴上如下：
(2) 不等式组的解集为$-2＜x≤1$,其整数解为$-1,0,1.$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；数轴表示解集
【点评】
本题属于不等式基础题型，重点考察不等式求解的规范性，易错点为去分母漏乘常数项、系数为负时忘记改变不等号方向，求解集公共部分和整数解时要注意边界值是否包含在内。
【难度系数】
0.8
(1) 求解一元一次不等式遵循固定步骤：先去分母，两边同乘分母的最小公倍数时注意不要漏乘不含分母的常数项；再去括号，括号前为负号时括号内各项要变号；随后移项，将含未知数的项和常数项分别移到不等号两侧；合并同类项后将未知数系数化为1，若系数为负需改变不等号方向。数轴表示解集时，“≥”对应实心点，方向向右。
(2) 求解一元一次不等式组，先分别解出组内每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分作为不等式组的最终解集，最后在解集范围内筛选出所有整数即可得到整数解。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{x}{5} ≥ 3 - \frac{x - 1}{2}$：
① 去分母，两边同时乘10，得：$2x ≥ 30 - 5(x-1)$
② 去括号，得：$2x ≥ 30 -5x +5$
③ 移项、合并同类项，得：$7x ≥ 35$
④ 系数化为1，得：$x ≥5$
解集在数轴上表示为5处标记实心点，向右画延伸射线，如下图：
(2) 解不等式组$\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + 3 ≥ x + 1① \\ 1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x② \end{cases}$
解不等式①：
去分母得$x-3 +6 ≥2x +2$，移项合并得$-x ≥-1$，系数化为1得$x ≤1$。
解不等式②：
去括号得$1-3x +3 ＜8 -x$，移项合并得$-2x ＜4$，系数化为1得$x ＞-2$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜x ≤1$，范围内的整数为-1、0、1。
【答案】
(1) 不等式的解集为$x≥5$，将不等式的解集表示在数轴上如下：
(2) 不等式组的解集为$-2＜x≤1$,其整数解为$-1,0,1.$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；数轴表示解集
【点评】
本题属于不等式基础题型，重点考察不等式求解的规范性，易错点为去分母漏乘常数项、系数为负时忘记改变不等号方向，求解集公共部分和整数解时要注意边界值是否包含在内。
【难度系数】
0.8
19.已知方程组$\begin{cases} x+y=-7-m, \\ x-y=1+3m \end{cases}$的解满足$x$为非正数，$y$为负数.
(1)求$m$的取值范围.
(2)化简：$|m-3|-|m+2|$.
(3)在$m$的取值范围内，当$m$为何整数时，不等式$2mx+x＜2m+1$的解集为$x＞1$?
(1)求$m$的取值范围.
(2)化简：$|m-3|-|m+2|$.
(3)在$m$的取值范围内，当$m$为何整数时，不等式$2mx+x＜2m+1$的解集为$x＞1$?
答案
19.(1)$-2＜m≤3$.
(2)$1-2m$.
(3)$m=-1$.
(2)$1-2m$.
(3)$m=-1$.
解析
【分析】
(1) 首先用加减消元法解给定的二元一次方程组，将x、y都用含m的代数式表示，再根据“x为非正数（即x≤0）、y为负数（即y＜0）”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。
(2) 根据(1)中得到的m的取值范围，分别判断绝对值内两个代数式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项完成化简。
(3) 先对不等式2mx+x＜2m+1进行整理，根据解集为x＞1可知不等号方向发生了改变，因此x的系数为负数，据此列出关于m的不等式，结合(1)中m的取值范围找出符合条件的整数m即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x+y=-7-m ① \\ x-y=1+3m ② \end{cases}$
①+②得：$2x = 2m -6$，解得$x = m - 3$
将$x = m -3$代入①得：$m -3 + y = -7 -m$，解得$y = -2m -4$
由题意得$\begin{cases} x ≤ 0 \\ y ＜ 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} m -3 ≤ 0 \\ -2m -4 ＜ 0 \end{cases}$
解不等式$m-3 ≤ 0$，得$m ≤ 3$
解不等式$-2m -4 ＜ 0$，移项得$-2m ＜ 4$，两边同时除以-2，不等号方向改变，得$m ＞ -2$
综上，m的取值范围为$-2 ＜ m ≤ 3$。
(2) 由(1)知$-2 ＜ m ≤ 3$，因此$m - 3 ≤ 0$，$m + 2 ＞ 0$
根据绝对值的性质：非正数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，可得：
$|m-3| = 3 - m$，$|m+2| = m + 2$
所以原式$= (3 - m) - (m + 2) = 3 - m - m - 2 = 1 - 2m$。
(3) 整理不等式$2mx + x ＜ 2m + 1$，左边提取公因式x得：$(2m + 1)x ＜ 2m + 1$
因为该不等式的解集为$x ＞ 1$，不等号方向发生改变，说明x的系数为负数，即：
$2m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -\frac{1}{2}$
结合(1)中m的取值范围$-2 ＜ m ≤ 3$，可得m的取值范围为$-2 ＜ m ＜ -\frac{1}{2}$
此范围内的整数只有$m = -1$，因此符合条件的整数m为-1。
【答案】
(1)$-2＜m≤3$；(2)$1-2m$；(3)$m=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，绝对值的性质
【点评】
本题综合考查了含参数的二元一次方程组、一元一次不等式组的应用以及绝对值的化简，解题时注意各小问之间的关联性，第二、三问都需要用到第一问求出的m的取值范围，尤其要注意解不等式时，系数为负数时不等号方向要改变，避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 首先用加减消元法解给定的二元一次方程组，将x、y都用含m的代数式表示，再根据“x为非正数（即x≤0）、y为负数（即y＜0）”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得到m的取值范围。
(2) 根据(1)中得到的m的取值范围，分别判断绝对值内两个代数式的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项完成化简。
(3) 先对不等式2mx+x＜2m+1进行整理，根据解集为x＞1可知不等号方向发生了改变，因此x的系数为负数，据此列出关于m的不等式，结合(1)中m的取值范围找出符合条件的整数m即可。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x+y=-7-m ① \\ x-y=1+3m ② \end{cases}$
①+②得：$2x = 2m -6$，解得$x = m - 3$
将$x = m -3$代入①得：$m -3 + y = -7 -m$，解得$y = -2m -4$
由题意得$\begin{cases} x ≤ 0 \\ y ＜ 0 \end{cases}$，即$\begin{cases} m -3 ≤ 0 \\ -2m -4 ＜ 0 \end{cases}$
解不等式$m-3 ≤ 0$，得$m ≤ 3$
解不等式$-2m -4 ＜ 0$，移项得$-2m ＜ 4$，两边同时除以-2，不等号方向改变，得$m ＞ -2$
综上，m的取值范围为$-2 ＜ m ≤ 3$。
(2) 由(1)知$-2 ＜ m ≤ 3$，因此$m - 3 ≤ 0$，$m + 2 ＞ 0$
根据绝对值的性质：非正数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，可得：
$|m-3| = 3 - m$，$|m+2| = m + 2$
所以原式$= (3 - m) - (m + 2) = 3 - m - m - 2 = 1 - 2m$。
(3) 整理不等式$2mx + x ＜ 2m + 1$，左边提取公因式x得：$(2m + 1)x ＜ 2m + 1$
因为该不等式的解集为$x ＞ 1$，不等号方向发生改变，说明x的系数为负数，即：
$2m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -\frac{1}{2}$
结合(1)中m的取值范围$-2 ＜ m ≤ 3$，可得m的取值范围为$-2 ＜ m ＜ -\frac{1}{2}$
此范围内的整数只有$m = -1$，因此符合条件的整数m为-1。
【答案】
(1)$-2＜m≤3$；(2)$1-2m$；(3)$m=-1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，绝对值的性质
【点评】
本题综合考查了含参数的二元一次方程组、一元一次不等式组的应用以及绝对值的化简，解题时注意各小问之间的关联性，第二、三问都需要用到第一问求出的m的取值范围，尤其要注意解不等式时，系数为负数时不等号方向要改变，避免出错。
【难度系数】
0.7
20. 已知实数$a$是不等于3的常数，解不等式组$\begin{cases} -2x + 3 ≥ -3, ① \\ \frac{1}{2}(x - 2a) + \frac{1}{2}x ＜ 0, ② \end{cases}$并根据$a$的取值情况写出其解集。
答案
20. 当$a＞3$时,不等式组的解集为$x≤3$;当$a＜3$时,不等式组的解集为$x＜a$.
解析
【分析】
解本题首先需要分别求出不等式组中两个不等式的解集，再结合参数a的取值范围确定两个解集的公共部分。首先解不含参数的不等式①得到固定解集，再解含参数a的不等式②得到含a的解集，由于a是不等于3的常数，因此分a＞3和a＜3两种情况，根据“同小取小”的不等式组解集判定规则，即可得到对应情况下的不等式组解集。
【解析】
解不等式①：
移项得：$-2x≥ -3 - 3$
合并同类项得：$-2x≥ -6$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x≤ 3$
解不等式②：
去括号得：$\frac{1}{2}x - a + \frac{1}{2}x ＜ 0$
合并同类项得：$x - a ＜ 0$
移项得：$x ＜ a$
已知$a≠ 3$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞3$时，两个解集$x≤ 3$和$x＜a$的公共部分为$x≤ 3$，即不等式组的解集为$x≤ 3$；
2. 当$a＜3$时，两个解集$x≤ 3$和$x＜a$的公共部分为$x＜a$，即不等式组的解集为$x＜a$。
【答案】
当$a＞3$时,不等式组的解集为$x≤3$;当$a＜3$时,不等式组的解集为$x＜a$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集判定
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于含参数的一元一次不等式组基础题型，既考查解一元一次不等式的运算能力，也考查根据参数取值分类讨论确定解集的逻辑思维能力，解题时要注意解不等式时两边同时乘除负数需改变不等号方向，分类讨论要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
解本题首先需要分别求出不等式组中两个不等式的解集，再结合参数a的取值范围确定两个解集的公共部分。首先解不含参数的不等式①得到固定解集，再解含参数a的不等式②得到含a的解集，由于a是不等于3的常数，因此分a＞3和a＜3两种情况，根据“同小取小”的不等式组解集判定规则，即可得到对应情况下的不等式组解集。
【解析】
解不等式①：
移项得：$-2x≥ -3 - 3$
合并同类项得：$-2x≥ -6$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x≤ 3$
解不等式②：
去括号得：$\frac{1}{2}x - a + \frac{1}{2}x ＜ 0$
合并同类项得：$x - a ＜ 0$
移项得：$x ＜ a$
已知$a≠ 3$，分两种情况讨论：
1. 当$a＞3$时，两个解集$x≤ 3$和$x＜a$的公共部分为$x≤ 3$，即不等式组的解集为$x≤ 3$；
2. 当$a＜3$时，两个解集$x≤ 3$和$x＜a$的公共部分为$x＜a$，即不等式组的解集为$x＜a$。
【答案】
当$a＞3$时,不等式组的解集为$x≤3$;当$a＜3$时,不等式组的解集为$x＜a$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集判定
3. 分类讨论思想
【点评】
本题属于含参数的一元一次不等式组基础题型，既考查解一元一次不等式的运算能力，也考查根据参数取值分类讨论确定解集的逻辑思维能力，解题时要注意解不等式时两边同时乘除负数需改变不等号方向，分类讨论要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7
