8. 在$△ ABC$中,若$AB=AC=5$,$BC=6$,则$△ ABC$的面积是______.

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9. 如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:①分别以点$B$和点$C$为圆心、大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,分别相交于点$M$、$N$;②作直线$MN$交边$AB$于点$E$.若$AC=5$,$BE=4$,$∠ B=45°$,则$AB$的长为______.

7

10. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．
若正方形A、B、C、D的面积分别为2、5、1、2，则最大的正方形E的面积是______．

10

11. (1)如图 1,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AB=5$,$AC=4$,$AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$、$AC$ 于点 $D$、$E$,则 $AE$ 的长为$\underline{\hspace{5em}}$.
(2)如图 2,在 $△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,$AD$ 平分 $∠ BAC$,$AB=5$,$AC=3$,则 $BD$ 的长是$\underline{\hspace{5em}}$.

$\frac{25}{8}$ ; 2.5

12. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°,AC=BC,AD⊥ CD,BE⊥ CD$,垂足分别为 $D、E$.
(1)求证: $△ ACD≌△ CBE$.
(2)若 $AD=1,DE=2$,求 $AC^2$.

(1)证明：因为$BE\perp CE，$$AD\perp CE，$所以$\angle CEB=\angle ADC = 90^{\circ}，$
则$\angle EBC+\angle BCE = 90^{\circ}。$又因为$\angle BCE+\angle ACD = 90^{\circ}，$
所以$\angle EBC=\angle DCA。$
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle ADC=\angle CEB\\\angle DCA=\angle EBC\\AC = CB\end{cases}，$
所以$\triangle ACD\cong\triangle CBE(AAS)。$ (2)因为$\triangle ACD\cong\triangle CBE，$所以$BE = DC，$$AD = CE。$
已知$AD = 1，$$DE = 2，$则$CD=CE + DE=1 + 2 = 3，$
所以$AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}=1^{2}+3^{2}=10。$

13. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AB=5\ \mathrm{cm}$,$AC=3\ \mathrm{cm}$,动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度移动,设运动的时间为 $t\ \mathrm{s}$.
(1)求边 $BC$ 的长.
(2)当 $△ ABP$ 为直角三角形时,求 $t$ 的值.

(1)解：在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4(cm)。$ (2)解：由题意，得$BP = t\ cm。$分两种情况：
①当$\angle APB = 90^{\circ}$时，点$P$与点$C$重合，$BP = BC = 4\ cm，$
所以$t = 4\div1 = 4(s)；$ ②当$\angle BAP = 90^{\circ}$时，则$CP=(t - 4)cm，$$\angle ACP = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle ACP$中，由勾股定理得$AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}，$
在$Rt\triangle ABP$中，由勾股定理得$AP^{2}=BP^{2}-AB^{2}，$
所以$AC^{2}+CP^{2}=BP^{2}-AB^{2}，$即$3^{2}+(t - 4)^{2}=t^{2}-5^{2}，$
展开得$9+t^{2}-8t + 16=t^{2}-25，$移项可得$8t=50，$解得$t=\frac{25}{4}。$ 综上所述，当$\triangle ABP$为直角三角形时，$t$的值为$4$或$\frac{25}{4}。$