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11. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 5x + m = 0 $。
(1)若方程有实数根，求实数$ m $的取值范围；
(2)若方程的两个实数根分别为$ x_1, x_2 $，且满足$ 3x_1 - 2x_2 = 5 $，求实数$ m $的值。
(1)若方程有实数根，求实数$ m $的取值范围；
(2)若方程的两个实数根分别为$ x_1, x_2 $，且满足$ 3x_1 - 2x_2 = 5 $，求实数$ m $的值。
答案
解：$(1)$因为方程$x^2-5x + m = 0$有实数根，所以$∆=b^2-4ac=25 - 4m\geq 0，$$ $移项可得$-4m\geq - 25，$$ $两边同时除以$-4，$不等号方向改变，解得$m\leq \frac {25}{4}。$$ (2)$由一元二次方程根与系数的关系可知$x_{1}+x_{2}=5，$$x_{1}x_{2}=m，$$ $因为$3x_{1}-2x_{2}=5，$所以$3x_{1}+3x_{2}-5x_{2}=5，$$ $即$3(x_{1}+x_{2})-5x_{2}=5，$$ $把$x_{1}+x_{2}=5$代入上式得$3×5-5x_{2}=5，$$ 15 - 5x_{2}=5，$$ $移项可得$-5x_{2}=5 - 15=-10，$$ $两边同时除以$-5，$解得$x_{2}=2。$$ $把$x = 2$代入原方程$x^2-5x + m = 0，$得$2^2-5×2 + m = 0，$$ $即$4-10 + m = 0，$$ -6 + m = 0，$$ $解得$m = 6。$
12.(2024·遂宁)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+2)x+m-1=0$.
(1)求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2+x_2^2 - x_1x_2=9$,求$m$的值.
(1)求证:无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为$x_1,x_2$,且$x_1^2+x_2^2 - x_1x_2=9$,求$m$的值.
答案
证明：(1)对于方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0，$
其判别式$∆=b^{2}-4ac=[-(m + 2)]^{2}-4×1×(m - 1)$ $=m^{2}+4m + 4-4m + 4=m^{2}+8。$ 因为$m^{2}\geq0，$所以$m^{2}+8＞0，$即$∆＞0，$ 所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (2)方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1}，$$x_{2}，$ 根据韦达定理则$x_{1}+x_{2}=m + 2，$$x_{1}x_{2}=m - 1。$ 因为$x_1^{2}+x_2^{2}-x_{1}x_{2}=9，$
根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_1^{2}+2x_{1}x_{2}+x_2^{2}，$
即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9，$ 所以$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9，$ 展开得$m^{2}+4m + 4-3m + 3 = 9，$ 整理得$m^{2}+m - 2 = 0，$ 因式分解得$(m + 2)(m - 1)=0，$ 则$m + 2 = 0$或$m - 1 = 0，$ 解得$m_{1}=-2，$$m_{2}=1，$ 所以$m$的值为$-2$或$1。$
其判别式$∆=b^{2}-4ac=[-(m + 2)]^{2}-4×1×(m - 1)$ $=m^{2}+4m + 4-4m + 4=m^{2}+8。$ 因为$m^{2}\geq0，$所以$m^{2}+8＞0，$即$∆＞0，$ 所以无论$m$取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (2)方程$x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$的两个实数根为$x_{1}，$$x_{2}，$ 根据韦达定理则$x_{1}+x_{2}=m + 2，$$x_{1}x_{2}=m - 1。$ 因为$x_1^{2}+x_2^{2}-x_{1}x_{2}=9，$
根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_1^{2}+2x_{1}x_{2}+x_2^{2}，$
即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9，$ 所以$(m + 2)^{2}-3(m - 1)=9，$ 展开得$m^{2}+4m + 4-3m + 3 = 9，$ 整理得$m^{2}+m - 2 = 0，$ 因式分解得$(m + 2)(m - 1)=0，$ 则$m + 2 = 0$或$m - 1 = 0，$ 解得$m_{1}=-2，$$m_{2}=1，$ 所以$m$的值为$-2$或$1。$
13. 根据一元二次方程根与系数的关系，解答下列问题：
(1)应用:一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)类比:已知一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根分别为$m,n$，求$m^2 + n^2$的值；
(3)提升:已知实数$s,t$满足$2s^2 + 3s - 1 = 0,2t^2 + 3t - 1 = 0$且$s≠t$，求$\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$的值。
(1)应用:一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根分别为$x_1,x_2$，则$x_1 + x_2 = \_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2 = \_\_\_\_\_\_$；
(2)类比:已知一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个实数根分别为$m,n$，求$m^2 + n^2$的值；
(3)提升:已知实数$s,t$满足$2s^2 + 3s - 1 = 0,2t^2 + 3t - 1 = 0$且$s≠t$，求$\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$的值。
答案
$-\frac{3}{2}$ ; $-\frac{1}{2}$ ; 解：(2)因为一元二次方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$的两根分别为$m，$$n，$ 根据韦达定理，$m + n=-\frac{3}{2}，$$mn=-\frac{1}{2}，$ 根据完全平方公式$m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn，$ 则$m^{2}+n^{2}=(-\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}。$ (3)因为实数$s，$$t$满足$2s^{2}+3s - 1 = 0，$$2t^{2}+3t - 1 = 0，$且$s\neq t，$ 所以$s，$$t$是一元二次方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$的两个实数根， 根据韦达定理，$s + t=-\frac{3}{2}，$$st=-\frac{1}{2}。$ 因为$(t - s)^{2}=(t + s)^{2}-4st，$ 所以$(t - s)^{2}=(-\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{9 + 8}{4}=\frac{17}{4}，$ 则$t - s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}，$ 所以$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{17}。$
