9.(2024·镇江一模)二次函数$y=ax^2+c$的图像经过点$(-2,1)$，则$ac$的最大值等于________．

$\frac{1}{16}$

10.将抛物线 $ y = x^2 + 4x - 3 $ 先绕原点旋转 $ 180° $，再向下平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标是________．

​$ (2，2)$​

11.(2024·玄武区月考)若二次函数$y=x^2 - 2mx + m^2 + 2m - 2$的图像上有且只有三个点到$x$轴的距离等于4,则$m$的值为______．

​$ -1$​

12.(2024·南京校级期中)若二次函数$y=x^2+2x-3(m≤ x≤ 2)$有最小值为$-4$，最大值为$5$，则$m$的取值范围是$\underline{\hspace{5cm}}$．

$-4\leqslant m\leqslant - 1$

13. 在平面直角坐标系中,已知抛物线 $ y = x^2 + (k - 2)x + 3 $.
(1)该抛物线经过一个定点: ______;(写出坐标)
(2)$ P(m,n) $ 是抛物线上一点,当点 $ P $ 在抛物线上运动时,$ n $ 存在最小值 $ N $.
①若 $ N = 3 $,求 $ k $ 的值;
②若 $ -1 ＜ k ＜ 3 $,结合该抛物线,直接写出 $ N $ 的取值范围.

​$ (0，3)$​ ; 解：​$(2)①$​∵​$y = x^2+(k - 2)x + 3，$​​$a = 1>0，$​∴二次函数的图像是开口向上的，​$P $​为顶点时的​$n{最小}。$​ ∵​$N = 3，$​∴​$\frac {4×3-(k - 2)^2}{4}=3，$​解得​$k = 2，$​​$ $​故​$k$​的值为​$2。$​ ②∵​$- 1＜k＜3$​∴​$0\leqslant (k - 2)^2<9，$​ ∴​$- 9<-(k - 2)^2\leqslant 0。$​ ∵​$N=\frac {4×3-(k - 2)^2}{4}，$​∴​$\frac {3}{4}＜N≤3$​​$ $​故​$N$​的取值范围为​$\frac {3}{4}＜N≤3$​

14. 如图，抛物线$y=x^2 - 3x + \frac{5}{4}$与$x$轴相交于$A$，$B$两点，与$y$轴相交于点$C$，$D$是直线$BC$下方抛物线上一点，过点$D$作$y$轴的平行线，与直线$BC$相交于点$E$．
(1)求直线$BC$的函数表达式；
(2)当线段$DE$的长度最大时，求点$D$的坐标．

第14题图

解：​$(1)$​∵抛物线​$y = x^2-3x+\frac {5}{4}$​与​$x$​轴相交于​$A，$​​$B$​两点，与​$y$​轴相交于点​$C，$​ ∴令​$y = 0，$​可得​$x=\frac {1}{2}$​或​$x=\frac {5}{2}，$​ ∴​$A(\frac {1}{2}，0)，$​​$B(\frac {5}{2}，0)。$​​$ $​令​$x = 0，$​则​$y=\frac {5}{4}，$​∴​$C(0，\frac {5}{4})。$​​$ $​设直线​$BC$​的函数表达式为​$y = kx + b，$​则​$ \begin {cases}\frac {5}{2}k + b = 0\\b =\frac {5}{4}\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}k=-\frac {1}{2}\\b =\frac {5}{4}\end {cases}，$​ ∴直线​$BC$​的函数表达式为​$y = -\frac {1}{2}x+\frac {5}{4}。$​​$ (2)$​设点​$D$​的坐标为​$(m，\mathrm {m^2}-3m+\frac {5}{4})，$​​$ $​则点​$E$​的坐标为​$(m，-\frac {1}{2}m+\frac {5}{4})。$​​$ $​设线段​$DE$​的长度为​$d，$​∵​$D$​是直线​$BC$​下方抛物线上一点，∴​$d = -\frac {1}{2}m+\frac {5}{4}-(\mathrm {m^2}-3m+\frac {5}{4})，$​ 整理，得​$d=-\mathrm {m^2}+\frac {5}{2}m。$​ ∵​$a=-1<0，$​∴当​$m = -\frac {b}{2a}=-\frac {\frac {5}{2}}{2×(-1)}=\frac {5}{4}$​时，线段​$DE$​的长度有最大值。​$ $​此时​$y_{D} = (\frac {5}{4})^2-3×\frac {5}{4}+\frac {5}{4}=-\frac {15}{16}，$​ ∴点​$D$​的坐标为​$(\frac {5}{4}，-\frac {15}{16})。$​