9. 如图,直线 $ l $ 经过点 $ A(4,0) $ 和点 $ B(0,4) $,且与二次函数 $ y=ax^2 $ 的图像在第一象限内相交于点 $ P $,若 $ △ AOP $ 的面积为 $ \frac{9}{2} $,求二次函数 $ y=ax^2 $ 的表达式.

解：∵直线​$l$​与​$x$​轴，​$y$​轴分别交于点​$A(4，0)，$​​$B(0，4)，$​​$ $​设直线​$l$​的函数表达式为​$y = kx + b，$​将​$A(4，0)，$​​$B(0，4)$​代入可得：​$ \begin {cases}4k + b = 0 b = 4\end {cases}，$​​$ $​将​$b = 4$​代入​$4k + b = 0$​得​$4k + 4 = 0，$​​$ $​移项得​$4k = - 4，$​​$ $​两边同时除以​$4$​得​$k = - 1，$​​$ $​所以直线​$l$​的函数表达式为​$y = - x + 4。$​​$ $​设点​$P $​的坐标为​$(m，n)，$​ ∵​$\triangle AOP $​的面积为​$\frac {9}{2}，$​​$ $​根据三角形面积公式​$S=\frac {1}{2}×$​底​$×$​高，这里以​$OA$​为底，​$P $​点纵坐标的绝对值为高，​$OA = 4，$​ ∴​$\frac {1}{2}×4×n=\frac {9}{2}，$​​$ 2n=\frac {9}{2}，$​​$ $​两边同时除以​$2$​解得​$n=\frac {9}{4}。$​ ∵点​$P $​在直线​$l$​上， ∴​$-m + 4=\frac {9}{4}，$​​$ $​移项得​$-m=\frac {9}{4}-4=\frac {9}{4}-\frac {16}{4}=-\frac {7}{4}，$​​$ $​两边同时乘以​$-1$​解得​$m=\frac {7}{4}，$​ ∴​$P(\frac {7}{4}，\frac {9}{4})。$​ ∵点​$P $​在抛物线​$y = ax^2$​上， ∴​$\frac {9}{4}=a×(\frac {7}{4})^2，$​​$ $​即​$\frac {9}{4}=a×\frac {49}{16}，$​​$ $​两边同时乘以​$\frac {16}{49}$​得​$a=\frac {9}{4}×\frac {16}{49}=\frac {36}{49}，$​ ∴二次函数​$y = ax^2$​的表达式为​$y=\frac {36}{49}x^2。$​

10. 画出二次函数$y=-x^2$的图像并利用其图像解答下列问题：
(1)指出它的图像与$x$轴的交点坐标；
(2)当$1＜x＜2$时，求$y$的取值范围；
(3)当$-3＜x＜2$时，求$y$的取值范围.

解：列表：
描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出。 连线：用平滑的线顺次连接各点。
(1)$y = - x^{2}$的图像与$x$轴的交点坐标为$(0,0)。$ (2)当$x = 1$时，$y = - 1；$当$x = 2$时，$y = - 4。$ ∴当$1＜x＜2$时，$y$的取值范围为$-4＜y＜-1。$ (3)当$x = - 3$时，$y = - 9；$当$x = 0$时，$y = 0。$ ∴当$-3＜x＜2$时，$y$的取值范围为$-9＜y\leq0。$

11.如图,二次函数的图像顶点在原点,且点$(2,1)$在二次函数的图像上,过点$F(0,1)$作$x$轴的平行线交二次函数的图像于$M,N$两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)$P$为平面内一点,当$△ PMN$是等边三角形时,求点$P$的坐标.

解：​$(1)$​∵二次函数的图像顶点在原点，​$ $​故设二次函数的表达式为​$y = ax^2，$​​$ $​将​$(2，1)$​代入，得​$1 = 4a，$​​$ $​两边同时除以​$4$​解得​$a=\frac {1}{4}，$​​$ $​故二次函数的表达式为​$y=\frac {1}{4}x^2。$​​$ (2)$​将​$y = 1$​代入​$y=\frac {1}{4}x^2，$​得​$1=\frac {1}{4}x^2，$​​$ $​两边同时乘以​$4$​得​$x^2=4，$​​$ $​解得​$x=\pm 2，$​​$ $​故点​$M，$​​$N$​的坐标分别为​$(-2，1)，$​​$(2，1)，$​则​$MN = 4。$​ ∵​$\triangle PMN$​是等边三角形， ∴点​$P $​在​$y$​轴上且​$PM = 4，$​ 根据等边三角形三线合一性质，​$PF $​为​$MN$​边上的高，​$PF=\sqrt {PM^2-(\frac {MN}{2})^2}=\sqrt {4^2-2^2}=\sqrt {16 - 4}=\sqrt {12}=2\sqrt {3}。$​ ∵​$F(0，1)，$​​$ $​当点​$P $​在​$F $​点上方时，点​$P $​的坐标为​$(0，1 + 2\sqrt {3})；$​​$ $​当点​$P $​在​$F $​点下方时，点​$P $​的坐标为​$(0，1 - 2\sqrt {3})。$​​$ $​所以点​$P $​的坐标为​$(0，1 + 2\sqrt {3})$​或​$(0，1 - 2\sqrt {3})。$​