7. (宜昌中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的半圆交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$,延长$AE$至点$F$,使$EF=AE$,连接$FB$、$FC$.
(1)求证:四边形$ABFC$是菱形;
(2)若$AD=7$,$BE=2$,求半圆和菱形$ABFC$的面积.

证明：​$(1)$​因为​$AB$​是直径，所以​$∠AEB = 90°，$​所以​$AE\perp BC。$​​$ $​因为​$AB = AC，$​所以​$BE = CE。$​​$ $​又因为​$AE = EF，$​所以四边形​$ABFC$​是平行四边形。​$ $​又因为​$AC = AB，$​所以四边形​$ABFC$​是菱形。​$ (2) $​解：设​$CD = x。$​如图，连接​$BD。$
​​$ $​因为​$AB$​是直径，所以​$∠ADB = ∠BDC = 90°。$​​$ $​所以​$AB^2-AD^2=CB^2-CD^2，$​即​$(7 + x)^2-7^2=4^2-x^2，$​​$ $​展开得​$49 + 14x+x^2-49 = 16 - x^2，$​​$ $​移项合并得​$2x^2+14x - 16 = 0，$​即​$x^2+7x - 8 = 0，$​​$ $​因式分解得​$(x + 8)(x - 1)=0，$​解得​$x = 1$​或​$x = - 8($​舍去​$)。$​​$ $​所以​$AC = 8，$​​$BD=\sqrt {8^2-7^2}=\sqrt {15}，$​​$ $​所以​$S_{菱形ABFC}=8\sqrt {15}，$​​$S_{半圆}=\frac {1}{2}×\pi ×4^2=8\pi 。$​

8. (2023·包头中考)如图,AB是$\odot O$的直径,AC是弦,D是$\overset{\frown}{AC}$上一点,P是AB延长线上一点,连接AD、DC、CP.
(1)求证:$∠ ADC - ∠ BAC = 90°$;(请用两种证法解答)
(2)若$∠ ACP = ∠ ADC$,$\odot O$的半径为3,$CP = 4$,求$AP$的长.

; 证明​$：(1) $​证法一：如图，连接​$BD，$​因为​$\overset {\frown }{BC}=\overset {\frown }{BC}，$​所以​$∠BDC = ∠BAC。$​​$ $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，所以​$∠ADB = 90°，$​所以​$∠ADC = ∠ADB+∠BDC。$​​$ $​因为​$∠BAC=∠BDC，$​所以​$∠ADC = 90°+∠BAC，$​所以​$∠ADC-∠BAC = 90°。$​ 证法二：如图，连接​$BC，$​因为四边形​$ABCD$​是​$\odot O$​的内接四边形，所以​$∠ADC+∠ABC = 180°，$​所以​$∠ABC = 180°-∠ADC。$​​$ $​因为​$AB$​是​$\odot O$​的直径，所以​$∠ACB = 90°，$​所以​$∠BAC+∠ABC = 90°，$​所以​$∠BAC + 180°-∠ADC=90°，$​所以​$∠ADC-∠BAC = 90°。$​​$ (2) $​解：如图，连接​$OC，$​因为​$∠ACP = ∠ADC，$​​$∠ADC-∠BAC = 90°，$​所以​$∠ACP-∠BAC = 90°。$​​$ $​因为​$OA = OC，$​所以​$∠BAC = ∠ACO，$​所以​$∠ACP-∠ACO = 90°，$​即​$∠OCP = 90°。$​​$ $​因为​$\odot O$​的半径为​$3，$​所以​$AO = OC = 3。$​​$ $​在​$Rt\triangle OCP_{中}，$​​$OP^2=OC^2+CP^2，$​因为​$CP = 4，$​所以​$OP^2=3^2+4^2=25，$​所以​$OP = 5。$​​$ $​所以​$AP = AO + OP = 8。$​

9. (泰州中考) 如图,平面直角坐标系$xOy$中,点$A$的坐标为$(8,5)$,$\odot A$与$x$轴相切,点$P$在$y$轴正半轴上,$PB$与$\odot A$相切于点$B$.若$∠ APB=30°$,则点$P$的坐标为______.

$(0,11)$

10. (2025·三门峡期末)如图,点 O 是菱形ABCD对角线上一点,以点 O 为圆心,OA长为半径的$\odot O$与 BC 相切于点 M.
(1)求证:CD与$\odot O$相切;
(2)若$∠B=60^{\circ },\odot O$的半径为 3,求菱形的边长.

; 证明：(1)如图，连接$OM，$
过点$O$作$ON\perp CD$于点$N。$ 因为$BC$与$\odot O$相切于点$M，$
所以$OM\perp BC，$$OM$是$\odot O$的半径。 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$CA$平分$∠BCD。$ 因为$ON\perp CD，$
所以$OM = ON，$
所以$ON$是$\odot O$的半径，所以$CD$与$\odot O$相切。 (2)如图，因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB// CD。$ 因为$∠B = 60°，$
所以$∠BCD = 180°-∠B = 120°。$ 因为$CA$平分$∠BCD，$
所以$∠OCB = ∠OCD=\frac{1}{2}∠BCD = 60°。$ 因为$OM\perp BC，$
所以$∠COM = 90°-∠OCB = 30°，$
所以$OC = 2CM。$ 在$Rt\triangle OCM$中，$CM^{2}+OM^{2}=OC^{2}，$
所以$CM^{2}+3^{2}=(2CM)^{2}，$ 即$CM^{2}+9 = 4CM^{2}，$$3CM^{2}=9，$$CM^{2}=3，$
解得$CM=\sqrt{3}，$
所以$OC = 2CM = 2\sqrt{3}，$
所以$AC = OA + OC = 3 + 2\sqrt{3}。$ 因为在菱形$ABCD$中，$AB = BC，$$∠B = 60°，$
所以$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC = 3 + 2\sqrt{3}。$