1. (陕西中考)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠C=30°,⊙O的半径为5,若点P是⊙O上的一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为 ( )
A. 5
B. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$
C. $5\sqrt{2}$
D. $5\sqrt{3}$

D

2. 如图,已知在$\odot O$中,直径$MN=10$,正方形$AB-CD$的四个顶点分别在$\odot O$及半径$OM$、$OP$上,并且$∠ POM=45°$,则$AB$的长为______.

$\sqrt{5}$

3. 如图,在$\odot O$中,点$C$是$\overset{\frown}{ACB}$的中点,$D$、$E$分别是$OA$、$OB$上的点,且$AD=BE$,弦$CM$、$CN$分别过点$D$、$E$.
求证:(1)$CD=CE$;
(2)$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.

证明：​$(1)$​如图，连接​$OC。$​​$ $​因为​$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{BC}，$​所以​$∠COD = ∠COE。$​​$ $​又因为​$OA = OB，$​​$AD = BE，$​所以​$OA - AD = OB - BE，$​即​$OD = OE。$​​$ $​在​$\triangle COD$​和​$\triangle COE$​中，​$ \begin {cases}OC = OC\\∠COD = ∠COE\\OD = OE\end {cases}$​​$ $​所以​$\triangle COD\cong \triangle COE(\mathrm {SAS})，$​所以​$CD = CE。$​​$ (2) $​证明：如图，连接​$OM、$​​$ON。$​​$ $​因为​$\triangle COD\cong \triangle COE，$​所以​$∠CDO = ∠CEO，$​​$∠OCD = ∠OCE。$​​$ $​因为​$OC = OM = ON，$​所以​$∠OCM = ∠OMC，$​​$∠OCN = ∠ONC，$​所以​$∠OMD = ∠ONE。$​​$ $​因为​$∠ODC = ∠DMO + ∠MOD，$​​$∠CEO = ∠CNO + ∠EON，$​所以​$∠MOD = ∠NOE，$​所以​$\overset {\frown }{AM}=\overset {\frown }{BN}。$
​

4. 如图,在$\odot O$内有折线OABC,其中$OA=8$,
$AB=12,∠A=∠B=60°$,则BC的长为（ ）
A. 16
B. 20
C. 18
D. 22

B

5. (2025·扬州期中)如图,点P在$\odot O$的直径AB上,作正方形PCDE和正方形PFGH,其中点D、G在直径AB所在直线上,点C、E、F、H都在$\odot O$上,如果两个正方形的面积之和为18,$OP=\sqrt{2}$,则$\odot O$的半径长是$\underline{\hspace{5cm}}$.

3

6. (扬州中考改编)如图,已知$\odot O$的直径$AB=6$,$E$、$F$为$AB$的三等分点,$M$、$N$为$\overset{\frown}{AB}$上两点,且$∠ MEB=∠ NFB=60°$,求$EM+FN$的值.

解：如图，延长​$ME$​交​$\odot O$​于点​$G，$​连接​$GN。$​​$ $​易证​$\triangle NOF\cong \triangle GOE，$​所以​$FN = EG。$​​$ $​所以​$EM + FN = EM + EG = MG。$​​$ $​过点​$O$​作​$OH\perp MG $​于点​$H，$​连接​$MO。$
​​$ $​因为​$\odot O$​的直径​$AB = 6，$​​$ $​所以​$OE = OA - AE=\frac {1}{2}×6-\frac {1}{3}×6 = 3 - 2 = 1，$​​$OM=\frac {1}{2}×6 = 3。$​​$ $​因为​$∠MEB = 60°，$​所以​$∠HOE = 30°，$​所以​$EH=\frac {1}{2}。$​​$ $​由勾股定理易求得​$OH = \frac {\sqrt {3}}{2}。$​​$ $​在​$Rt\triangle MOH$​中，​$MH=\sqrt {OM^2-OH^2}=\sqrt {3^2-(\frac {\sqrt {3}}{2})^2}=\frac {\sqrt {33}}{2}。$​​$ $​由垂径定理可得​$MG = 2MH = 2×\frac {\sqrt {33}}{2}=\sqrt {33}，$​即​$EM + FN=\sqrt {33}。$​