14. (2023·南通)如图,在$△ OAB$中,$∠ AOB=120°$,$OA=OB$,$\odot O$与$AB$相切于点$C$,并与$OA$,$OB$分别相交于$D$,$E$两点,连接$CD$,$CE$.
（1）求证:四边形$ODCE$是菱形;
（2）若$\odot O$的半径为$2$,求涂色部分的面积.

第14题

(1)证明:如图，连接$OC.$$\because \odot O$与$AB$相切于点$C，$$\therefore OC\perp AB.$$\because OA = OB，$$\angle AOB = 120^{\circ}，$$\therefore \angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}.$$\because OD = OC，$$OC = OE，$$\therefore \triangle ODC$和$\triangle OCE$都是等边三角形.$\therefore OD = OC = DC，$$OC = OE = CE.$$\therefore OD = CD = CE = OE.$$\therefore$四边形$ODCE$是菱形 (2)解:如图，连接$DE$交$OC$于点$F，$$\because$四边形$ODCE$是菱形，$\therefore OF=\frac{1}{2}OC = 1，$$DE = 2DF，$$\angle OFD = 90^{\circ}.$在$Rt\triangle ODF$中，$OD = 2，$$\therefore DF=\sqrt{OD^{2}-OF^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}.$$\therefore DE = 2DF = 2\sqrt{3}.$$\therefore$涂色部分的面积$=$扇形$ODE$的面积$-$菱形$ODCE$的面积$=\frac{120\pi\times2^{2}}{360}-\frac{1}{2}OC\cdot DE=\frac{4\pi}{3}-\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}$ ;

15. (2024·南通期末)已知$\odot O$的半径为5，点A在$\odot O$内，且$OA=3$，则经过点A的弦的长不可能为
（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

A

16. 如图，$\odot O$ 是$△ ABC$ 的外接圆，半径为 2 cm. 若 $BC=2\ \mathrm{cm}$，则$∠ A$ 的度数为 （ ）
A. $30°$
B. $25°$
C. $15°$
D. $10°$

A

17. (2024·包头)如图,在扇形OAB中,∠AOB=80°,半径OA=3,C是$\overset{\frown}{AB}$上一点,连接OC,D是OC上一点,且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则$\overset{\frown}{AC}$的长为 （ ）
A. $\dfrac{π}{6}$
B. $\dfrac{π}{3}$
C. $\dfrac{π}{2}$
D. $π$

B

18. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=6$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,经过$A$,$D$两点的圆的圆心$O$恰好落在$AB$上,$\odot O$分别与$AB$,$AC$相交于点$E$,$F$,连接$AD$,$DF$.若$\odot O$的半径为$2$,则涂色部分的面积为 （ ）
A. $\dfrac{1}{3}π$
B. $\dfrac{4}{3}π$
C. $\dfrac{2}{3}π$
D. $\dfrac{9}{2}\sqrt{3}-3$

C

19. 如图,在$\odot O$中,AB 是直径,弦 AC 的长为 5 cm,点 D 在$\odot O$上且$∠ ADC=30°$,则$\odot O$的半径为$\underline{\hspace{3em}}$cm.

5

20. (2024·启东期中)如图,将$\odot O$的圆周12等分,圆内接矩形ABCD的面积为20,则圆内接正六边形的面积为______.

30

21. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$∠ BAC=30°$,$BC=4$,$D$是半径为$4$的$\odot A$上一动点,连接$CD$,$E$是$CD$的中点.当点$D$落在线段$AC$上时,$BE$的长为______;若点$D$在$\odot A$上运动,则$BE$长的最大值是______.

$2\sqrt{3}$ ; 6