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4. 1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图. 1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中. 请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知$\odot O$，A是$\odot O$上一点，只用圆规将$\odot O$的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在$\odot O$上逆时针顺次截取$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于$\odot O$上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交$\odot O$于G，H两点. 则点A，G，D，H将$\odot O$的圆周四等分.
如图，已知$\odot O$，A是$\odot O$上一点，只用圆规将$\odot O$的圆周四等分.（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在$\odot O$上逆时针顺次截取$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于$\odot O$上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交$\odot O$于G，H两点. 则点A，G，D，H将$\odot O$的圆周四等分.
答案
4. 如图,点 A, G, D, H 把 ⊙O 的圆周四等分.
解析
【分析】
要将圆周四等分，本质是构造四个圆心角为90°的等弧，我们结合题目给出的步骤逐步推导：首先利用同圆中等弦对等弧的性质，用半径长为弦长在圆周上截取，得到的每段弧对应圆心角为60°，可先得到六等分点，确定直径AD；再通过构造交点E，利用勾股定理计算得到长度为√2倍半径的线段OE；最后以OE为弦长在圆上截取，弦长为√2倍半径时对应圆心角恰为90°，即可得到四等分点。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$：
1. 按步骤①操作：以A为圆心、$OA=r$为半径逆时针截取$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，则$AB=BC=CD=OA=OB=OC=OD=r$，$△ OAB、△ OBC、△ OCD$均为等边三角形，因此$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60°$，可得$∠ AOD=180°$，即AD为$\odot O$的直径。过O作AC的垂线，由勾股定理可求得$AC=\sqrt{3}r$。
2. 按步骤②操作：分别以A、D为圆心、$AC=\sqrt{3}r$为半径作弧交于E，则$AE=DE=\sqrt{3}r$，又$OA=OD=r$，因此OE垂直平分AD，$△ AOE$为直角三角形，由勾股定理得$OE=\sqrt{AE^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{3}r)^2-r^2}=\sqrt{2}r$。
3. 按步骤③操作：以A为圆心、$OE=\sqrt{2}r$为半径作弧交$\odot O$于G、H，则$AG=AH=\sqrt{2}r$，在$△ AOG$中，$OA=OG=r$，$AG=\sqrt{2}r$，满足$OA^2+OG^2=AG^2$，因此$∠ AOG=90°$，同理可得$∠ AOH=90°$、$∠ GOD=90°$、$∠ DOH=90°$，四个圆心角均相等，即点A、G、D、H将圆周四等分。
【答案】
如图,点 A, G, D, H 把 ⊙O 的圆周四等分.
【知识点】
1. 弦弧圆心角关系
2. 勾股定理
3. 正多边形与圆
【点评】
本题结合经典数学史结论考查圆规作图，需要结合圆的基本性质推导每一步作图的依据，既锻炼动手操作能力，也能加深对圆相关性质、正多边形作图的理解。
【难度系数】
0.7
要将圆周四等分，本质是构造四个圆心角为90°的等弧，我们结合题目给出的步骤逐步推导：首先利用同圆中等弦对等弧的性质，用半径长为弦长在圆周上截取，得到的每段弧对应圆心角为60°，可先得到六等分点，确定直径AD；再通过构造交点E，利用勾股定理计算得到长度为√2倍半径的线段OE；最后以OE为弦长在圆上截取，弦长为√2倍半径时对应圆心角恰为90°，即可得到四等分点。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$：
1. 按步骤①操作：以A为圆心、$OA=r$为半径逆时针截取$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，则$AB=BC=CD=OA=OB=OC=OD=r$，$△ OAB、△ OBC、△ OCD$均为等边三角形，因此$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60°$，可得$∠ AOD=180°$，即AD为$\odot O$的直径。过O作AC的垂线，由勾股定理可求得$AC=\sqrt{3}r$。
2. 按步骤②操作：分别以A、D为圆心、$AC=\sqrt{3}r$为半径作弧交于E，则$AE=DE=\sqrt{3}r$，又$OA=OD=r$，因此OE垂直平分AD，$△ AOE$为直角三角形，由勾股定理得$OE=\sqrt{AE^2-OA^2}=\sqrt{(\sqrt{3}r)^2-r^2}=\sqrt{2}r$。
3. 按步骤③操作：以A为圆心、$OE=\sqrt{2}r$为半径作弧交$\odot O$于G、H，则$AG=AH=\sqrt{2}r$，在$△ AOG$中，$OA=OG=r$，$AG=\sqrt{2}r$，满足$OA^2+OG^2=AG^2$，因此$∠ AOG=90°$，同理可得$∠ AOH=90°$、$∠ GOD=90°$、$∠ DOH=90°$，四个圆心角均相等，即点A、G、D、H将圆周四等分。
【答案】
如图,点 A, G, D, H 把 ⊙O 的圆周四等分.
【知识点】
1. 弦弧圆心角关系
2. 勾股定理
3. 正多边形与圆
【点评】
本题结合经典数学史结论考查圆规作图，需要结合圆的基本性质推导每一步作图的依据，既锻炼动手操作能力，也能加深对圆相关性质、正多边形作图的理解。
【难度系数】
0.7
5. 如图是$6×6$的网格,每个小正方形的顶点称为格点.点$A,O$均在格点上,图中的点$A$在$\odot O$上,仅用无刻度的直尺,在图中画一个$\odot O$的内接正方形$ABCD$.
答案
5. 如图,四边形 ABCD 即为所求.
解析
【分析】
要作⊙O的内接正方形，需结合圆内接正方形的性质思考：圆内接正方形的对角线为圆的两条互相垂直的直径。首先利用已知的点A和圆心O，先作出过点A的直径AC；再借助网格特征，作出过O且与AC垂直的另一条直径BD；最后顺次连接四个顶点即可得到所求正方形。
【解析】
1. 连接AO并延长，与⊙O交于点C，得到直径AC；
2. 根据网格线的特征，画过点O且与AC垂直的直线，该直线与⊙O交于B、D两点，得到直径BD；
3. 顺次连接AB、BC、CD、DA，所得四边形ABCD即为⊙O的内接正方形。
【答案】
如图,四边形 ABCD 即为所求.
【知识点】
1. 圆内接正方形性质
2. 网格作图
3. 垂直的判定
【点评】
本题属于网格背景下的无刻度直尺作图题，核心是抓住圆内接正方形的对角线为互相垂直的直径这一关键特征，结合网格特点完成作图，能有效考查对几何图形性质的应用能力和作图实践能力。
【难度系数】
0.7
要作⊙O的内接正方形，需结合圆内接正方形的性质思考：圆内接正方形的对角线为圆的两条互相垂直的直径。首先利用已知的点A和圆心O，先作出过点A的直径AC；再借助网格特征，作出过O且与AC垂直的另一条直径BD；最后顺次连接四个顶点即可得到所求正方形。
【解析】
1. 连接AO并延长，与⊙O交于点C，得到直径AC；
2. 根据网格线的特征，画过点O且与AC垂直的直线，该直线与⊙O交于B、D两点，得到直径BD；
3. 顺次连接AB、BC、CD、DA，所得四边形ABCD即为⊙O的内接正方形。
【答案】
如图,四边形 ABCD 即为所求.
【知识点】
1. 圆内接正方形性质
2. 网格作图
3. 垂直的判定
【点评】
本题属于网格背景下的无刻度直尺作图题，核心是抓住圆内接正方形的对角线为互相垂直的直径这一关键特征，结合网格特点完成作图，能有效考查对几何图形性质的应用能力和作图实践能力。
【难度系数】
0.7
6. 请用无刻度的直尺完成下列作图,不写作法,保留作图痕迹(用虚线表示作图过程,实线表示作图结果).
(1)如图①,五边形ABCDE是正五边形,作一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分;
(2)如图②,△ABC的外接圆的圆心是点O, D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,作一条直线把△ABC分成面积相等的两部分.
(1)如图①,五边形ABCDE是正五边形,作一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分;
(2)如图②,△ABC的外接圆的圆心是点O, D是$\overset{\frown}{AC}$的中点,作一条直线把△ABC分成面积相等的两部分.
答案
6. (1)如图①,直线 AP 即为所求.
(2)如图②,直线 BQ 即为所求.
解析
【分析】
(1)正五边形是轴对称图形，对称轴两侧的图形全等、面积相等。我们可先作出正五边形的两条对角线，其交点位于对称轴上，过该交点与对应顶点作直线，即可得到能平分正五边形面积的对称轴。
(2)三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到AC边的中点，连接该中点与点B即可。已知O是△ABC外接圆的圆心，D是弧AC的中点，根据垂径定理，连接OD的直线垂直平分AC，OD与AC的交点就是AC的中点，连接该点与B得到的直线即为所求。
【解析】
(1)在图①中，连接BD、CE交于点P，过点A、P作直线AP。正五边形的对称轴过顶点A和对边CD的中点，直线AP恰好为该对称轴，可将正五边形分为面积相等的两部分。
(2)在图②中，连接OD，OD与AC交于点Q，Q是AC的中点，BQ是△ABC中AC边上的中线，因此直线BQ可将△ABC分为面积相等的两部分。
【答案】
(1)如图①,直线 AP 即为所求.
(2)如图②,直线 BQ 即为所求.
【知识点】
正多边形的性质，垂径定理，三角形中线的性质
【点评】
本题为无刻度直尺作图题，需要结合几何图形的基础性质定位关键点，再构造符合要求的直线，既考查了对常见几何性质的掌握程度，也锻炼了逻辑推理与动手操作能力。
【难度系数】
0.6
(1)正五边形是轴对称图形，对称轴两侧的图形全等、面积相等。我们可先作出正五边形的两条对角线，其交点位于对称轴上，过该交点与对应顶点作直线，即可得到能平分正五边形面积的对称轴。
(2)三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，因此只需找到AC边的中点，连接该中点与点B即可。已知O是△ABC外接圆的圆心，D是弧AC的中点，根据垂径定理，连接OD的直线垂直平分AC，OD与AC的交点就是AC的中点，连接该点与B得到的直线即为所求。
【解析】
(1)在图①中，连接BD、CE交于点P，过点A、P作直线AP。正五边形的对称轴过顶点A和对边CD的中点，直线AP恰好为该对称轴，可将正五边形分为面积相等的两部分。
(2)在图②中，连接OD，OD与AC交于点Q，Q是AC的中点，BQ是△ABC中AC边上的中线，因此直线BQ可将△ABC分为面积相等的两部分。
【答案】
(1)如图①,直线 AP 即为所求.
(2)如图②,直线 BQ 即为所求.
【知识点】
正多边形的性质，垂径定理，三角形中线的性质
【点评】
本题为无刻度直尺作图题，需要结合几何图形的基础性质定位关键点，再构造符合要求的直线，既考查了对常见几何性质的掌握程度，也锻炼了逻辑推理与动手操作能力。
【难度系数】
0.6
7. 仅用无刻度的直尺作图,是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式,按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目:
(1)如图①,在$\odot O$内,作任意两条直径AB,CD,顺次连接A,C,B,D,则作出了$\odot O$的一个内接矩形,请说明理由;
(2)如图②,AB是$\odot O$的直径,CD是弦,且$AB// CD$,作出$\odot O$的内接正方形.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)如图①,在$\odot O$内,作任意两条直径AB,CD,顺次连接A,C,B,D,则作出了$\odot O$的一个内接矩形,请说明理由;
(2)如图②,AB是$\odot O$的直径,CD是弦,且$AB// CD$,作出$\odot O$的内接正方形.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
7. (1)
∵ AB,CD 是⊙O 的直径，
∴ ∠CAD=∠ADB=∠DBC=90°.
∴ 四边形 ACBD 是矩形.
(2)如图,四边形 AFBG 即为所求.
解析
【分析】
(1) 解题思路：要判定四边形ACBD是矩形，可结合矩形的判定方法推导：已知AB、CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到四边形的三个内角都是直角，即可判定该四边形为矩形；也可从对角线角度分析，直径互相平分且相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(2) 解题思路：圆的内接正方形的对角线是圆的两条互相垂直的直径，因此只需作出与AB垂直的直径即可。利用AB//CD的条件，延长AC、BD交于点E，过E和圆心O作直线，该直线与圆交于两点，这两点与A、B四点顺次连接即可得到内接正方形。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB、CD是⊙O的直径，
根据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠CAD=∠ADB=∠DBC=90°，
根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可知四边形ACBD是矩形。
(2) 作图：延长AC、BD交于点E，连接EO并延长，交⊙O于F、G两点，顺次连接A、F、B、G，得到的四边形AFBG即为所求的内接正方形。
【答案】
(1)
∵ AB,CD 是⊙O 的直径，
∴ ∠CAD=∠ADB=∠DBC=90°.
∴ 四边形 ACBD 是矩形.
(2) 如图,四边形 AFBG 即为所求.
【知识点】
圆周角定理推论；矩形的判定；正多边形与圆
【点评】
本题将圆的性质与特殊四边形的判定、无刻度直尺作图相结合，既考查了基础定理的掌握情况，也考查了几何作图的灵活应用能力，需要结合已知条件构造所需的辅助线。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：要判定四边形ACBD是矩形，可结合矩形的判定方法推导：已知AB、CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得到四边形的三个内角都是直角，即可判定该四边形为矩形；也可从对角线角度分析，直径互相平分且相等，对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
(2) 解题思路：圆的内接正方形的对角线是圆的两条互相垂直的直径，因此只需作出与AB垂直的直径即可。利用AB//CD的条件，延长AC、BD交于点E，过E和圆心O作直线，该直线与圆交于两点，这两点与A、B四点顺次连接即可得到内接正方形。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB、CD是⊙O的直径，
根据“直径所对的圆周角是直角”，可得∠CAD=∠ADB=∠DBC=90°，
根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可知四边形ACBD是矩形。
(2) 作图：延长AC、BD交于点E，连接EO并延长，交⊙O于F、G两点，顺次连接A、F、B、G，得到的四边形AFBG即为所求的内接正方形。
【答案】
(1)
∵ AB,CD 是⊙O 的直径，
∴ ∠CAD=∠ADB=∠DBC=90°.
∴ 四边形 ACBD 是矩形.
(2) 如图,四边形 AFBG 即为所求.
【知识点】
圆周角定理推论；矩形的判定；正多边形与圆
【点评】
本题将圆的性质与特殊四边形的判定、无刻度直尺作图相结合，既考查了基础定理的掌握情况，也考查了几何作图的灵活应用能力，需要结合已知条件构造所需的辅助线。
【难度系数】
0.7
