1. 如图，AB是$\odot O$的弦，$PO ⊥ OA$交AB于点P，过点B的切线交OP的延长线于点C，若$\odot O$的半径为$\sqrt{5}$，$OP=1$，则BC的长为（）

A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$\sqrt{5}$

1. A

【分析】
解题首先从已知条件入手：①看到切线，优先用切线性质，可得OB⊥BC，出现直角；②已知PO⊥OA，也得到直角；③OA和OB都是圆的半径，长度相等，可推出底角相等；接下来通过等角的余角相等、对顶角相等推导角的关系，得到BC=PC，最后设未知数列勾股定理方程即可求解。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的切线，B为切点
∴OB⊥BC，即$∠ OBC=90°$
∴$∠ OBA+∠ CBP=90°$
∵$PO⊥ OA$
∴$∠ AOP=90°$
∴$∠ OAP+∠ OPA=90°$
∵OA、OB都是⊙O的半径
∴$OA=OB$，$∠ OAP=∠ OBA$
∴$∠ OPA=∠ CBP$
又
∵$∠ OPA=∠ CPB$（对顶角相等）
∴$∠ CPB=∠ CBP$
∴$BC=PC$
设$BC=x$，则$PC=x$，$OC=OP+PC=1+x$
在$Rt△ OBC$中，由勾股定理得：
$OB^2+BC^2=OC^2$
代入$OB=\sqrt{5}$，得：
$(\sqrt{5})^2+x^2=(1+x)^2$
化简得：$5+x^2=1+2x+x^2$
解得：$x=2$
即BC的长为2。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；勾股定理；等腰三角形判定
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题，解题的关键是利用角的等量关系推导出BC与PC相等，将未知线段转化到同一个直角三角形中，再用勾股定理列方程求解，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7

2. 如图,等腰三角形ABC的内切圆$\odot O$与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且$AB=AC=5$,$BC=6$,则DE的长是 ()

A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{3\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

2. D

【分析】
解题思路：首先利用等腰三角形三线合一的性质确定内切圆圆心在底边BC的高上，先求出三角形的高，再通过面积法计算内切圆半径，结合切线长定理得到BD、BE的长度，再根据BD=BE、OD=OE得出OB垂直平分DE，最后通过勾股定理计算DE的长度。解题时先确定辅助线的做法，再逐步推导各线段长度即可。
【解析】
解：连接AE、OD、OB，OB交DE于点M。
∵AB=AC，⊙O是△ABC的内切圆，BC边上切点为E
∴A、O、E三点共线，AE⊥BC，$BE=EC=\frac{1}{2}BC=3$
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×BC×AE=\frac{1}{2}×6×4=12$
设内切圆半径为r，由三角形内切圆面积公式$S=\frac{1}{2}×(AB+AC+BC)×r$得：
$12=\frac{1}{2}×(5+5+6)×r$，解得$r=\frac{3}{2}$，即$OD=OE=\frac{3}{2}$
由切线长定理得$BD=BE=3$
在Rt△OBE中，$OB=\sqrt{BE^2+OE^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$
∵BD=BE，OD=OE，
∴OB垂直平分DE，即$DM=ME$，$OB⊥DE$
设$DM=x$，$BM=y$，
在Rt△BDM中：$x^2+y^2=BD^2=9$ ①
在Rt△ODM中：$x^2+(\frac{3\sqrt{5}}{2}-y)^2=OD^2=\frac{9}{4}$ ②
联立①②解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，则$DE=2x=\frac{6\sqrt{5}}{5}$
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，三角形内切圆性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形性质、内切圆相关性质的应用，解题的关键是合理构造辅助线，灵活运用面积法、切线长定理和勾股定理求解线段长度。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=70°$,$AB=10$,内切圆$\odot O$的半径为3,则图中阴影部分的面积和是 ()

A.$15-\dfrac{25}{8}π$
B.$15-\dfrac{15}{8}π$
C.$20-\dfrac{15}{4}π$
D.$20-\dfrac{25}{4}π$

3. A

【分析】
解题时先明确阴影面积为不规则图形，可采用割补法转化为规则图形面积差计算：第一步先求△AOB的面积，△AOB以AB为底，高为内切圆半径，直接代入三角形面积公式计算即可；第二步求空白部分两个扇形的面积和，先根据三角形内角和及内心是角平分线交点的性质，求出两个扇形的圆心角之和为∠AOB的度数，再将两个扇形合并为一个圆心角等于∠AOB、半径为内切圆半径的扇形计算面积；最后用△AOB的面积减去扇形面积和即可得到阴影部分的面积和。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，内切圆半径$r=3$，$OG⊥AB$，AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，
∴△AOB的面积：$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OG=\frac{1}{2} × 10 × 3=15$。
∵∠C=70°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C=110°，
∴$∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=55°$，
∴$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)=125°$。
两个空白扇形的半径均为3，圆心角之和为125°，则两个扇形的面积和为：
$S_{扇形和}=\frac{125°}{360°} × π × 3^2=\frac{125}{360} × 9π=\frac{25}{8}π$。
∴阴影部分的面积和为：$S_{阴影}=S_{△ AOB}-S_{扇形和}=15-\frac{25}{8}π$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内切圆性质；扇形面积计算；三角形内角和
【点评】
本题属于圆与三角形结合的典型题型，核心解题技巧是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积差，同时借助内心的性质将分散的扇形合并计算，降低运算量。
【难度系数】
0.6

4.如图,在平面直角坐标系中,动点P在直线$y=x+5\sqrt{2}$上,动点Q在半径为3的$\odot O$上(O为坐标原点),过点P作$\odot O$的一条切线PR,R为切点,则$PQ+PR$的最小值为()

A.5
B.6
C.8
D.10

4. B

【分析】
要解决PQ+PR的最小值问题，首先利用切线性质建立PR与OP的关系：PR是⊙O的切线，故OR⊥PR，由勾股定理得PR=√(OP²-9)，PR随OP的减小而减小；其次，Q是圆上的点，PQ的最小值为OP - OQ=OP-3（当Q在线段OP上时取等号）。因此要使PQ+PR最小，需先找到OP的最小值，OP的最小值是点O到直线y=x+5√2的垂线段长度，求出最小OP后代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 求点O到直线y=x+5√2的最小距离：
将直线整理为标准式：$x - y + 5\sqrt{2} = 0$，根据点到直线的距离公式，原点O到直线的距离
$d=\frac{|0 - 0 + 5\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=5$，即OP的最小值为5。
2. 计算最小PR值：
∵PR是⊙O的切线，R为切点，
∴OR⊥PR，OR=3，
由勾股定理得：$PR=\sqrt{OP^2 - OR^2}$，
当OP取最小值5时，$PR_{\mathrm{min}}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
3. 计算最小PQ值：
∵Q在半径为3的⊙O上，
∴当Q在线段OP上时，PQ取得最小值，
$PQ_{\mathrm{min}}=OP - OQ=5 - 3=2$。
4. 求PQ+PR的最小值：
$PQ+PR$的最小值为$4+2=6$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，点到直线的距离，勾股定理
【点评】
本题属于与圆相切相关的最值问题，解题的核心是将双线段和的最小值转化为求点到直线的最短距离，再结合切线性质和圆上点到直线外点的最短距离规律计算，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.6

5. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角边BC在x轴上,其内切圆的圆心I的坐标为(0,1),D,E为切点,若抛物线$y=ax^2+2ax+1$的顶点为A,则a的值为 ()

A.-2
B.$-\sqrt{3}$
C.$-\sqrt{2}$
D.-3

第5题图 第6题图

5. B

【分析】
解题思路分为三步：①先根据内切圆圆心坐标确定半径为1，利用切线长定理得到点C引两条切线的长度均为1；②对抛物线配方得到顶点A的坐标，明确AC长度的表达式，再结合直角三角形30°角的性质得到AC、BC、AB的数量关系；③利用切线长定理表示AB的长度，结合AB=2AC列方程求出AC长度，最终推导a的值。
【解析】
1. 确定内切圆相关量：
∵内切圆圆心$I(0,1)$，圆与x轴（边BC）相切，
∴内切圆半径$r=1$，与BC的切点为原点$O$。根据切线长定理，点$C$引内切圆的两条切线长相等，即$CE=CO=1$。
2. 求抛物线顶点坐标：
对抛物线$y=ax^2+2ax+1$配方得：$y=a(x+1)^2+1-a$，
∴顶点$A$的坐标为$(-1,1-a)$。
3. 表示直角三角形边长：
∵$∠ ACB=90°$，$AC⊥ x$轴，
∴点$C(-1,0)$，$AC$的长度等于点$A$的纵坐标，设$AC=m$，则$m=1-a$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=30°$，
∴$AB=2AC=2m$，$BC=\sqrt{3}AC=\sqrt{3}m$。
4. 结合切线长定理列方程：
由切线长定理得：$AE=AD=m-1$，$BO=BD=\sqrt{3}m-1$，则$AB=AD+BD=(m-1)+(\sqrt{3}m-1)=m(1+\sqrt{3})-2$。
结合$AB=2m$列方程：$2m=m(1+\sqrt{3})-2$，
解得：$m=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$。
5. 求$a$的值：
∵$m=1-a$，
∴$1-a=\sqrt{3}+1$，解得$a=-\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，二次函数顶点式，直角三角形性质
【点评】
本题为二次函数与圆、直角三角形的综合题，解题核心是利用切线长定理建立边长的等量关系，结合特殊直角三角形的边角关系求解，对综合运用知识点的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

6.如图,正五边形ABCDE的边AB,AE与$\odot O$分别相切于点M,N,点P在$\overset{\frown}{MN}$上,连接PM,PN,则$∠ MPN$的度数为.

6. $144°$

【分析】
要求∠MPN的度数，我们可以按以下思路推导：首先∠MPN是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，需先求出它所对弧对应的圆心角。第一步先计算正五边形的内角∠A的度数；第二步利用切线的性质，连接OM、ON可得OM⊥AB、ON⊥AE，结合四边形内角和求出劣弧MN对应的圆心角∠MON的度数；第三步求出优弧MN对应的圆心角，再根据圆周角定理即可算出∠MPN的度数。
【解析】
解：连接OM、ON
∵AB、AE与⊙O分别相切于点M、N
∴OM⊥AB，ON⊥AE，即$∠ OMA=∠ ONA=90°$
∵五边形ABCDE是正五边形
∴$∠ A=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
在四边形AMON中，内角和为$360°$
∴$∠ MON=360°-∠ OMA-∠ ONA-∠ A=360°-90°-90°-108°=72°$
∴优弧MN所对的圆心角为$360°-72°=288°$
∵∠MPN是优弧MN所对的圆周角
∴$∠ MPN=\frac{1}{2}×288°=144°$
【答案】
$144°$
【知识点】
正多边形的性质，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将正多边形、切线、圆周角的知识点结合考查，解题的核心是正确作出辅助线求出圆心角∠MON的度数，注意区分圆周角所对的弧是优弧还是劣弧，避免计算出错。
【难度系数】
0.6

7. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，$CA=6\ \mathrm{cm}$，$S_{△ ABC}=6\sqrt{6}\ \mathrm{cm}^2$，则$OD$的长为。

7. $\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$

【分析】
首先，我们知道△ABC的内切圆⊙O与各边相切，根据切线的性质，圆心O到三边的距离都等于内切圆的半径，即OD=OE=OF=r。要求OD的长，本质就是求内切圆半径r。我们可以利用等面积法求解：将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积之和，这三个小三角形的高均为r，底分别为△ABC的三边长，结合已知的总面积和三边长即可求出r的值。
【解析】
设⊙O的半径为r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=r，
∴$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}$
代入面积公式得：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}AB· r + \frac{1}{2}BC· r + \frac{1}{2}AC· r$
整理得：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)· r$
将AB=5cm，BC=7cm，CA=6cm代入，得：
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×(5+7+6)· r$
即$6\sqrt{6}=9r$，
解得$r=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$，即$OD=\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{2\sqrt{6}}{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形内切圆性质；切线的性质；等面积法求线段长
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握三角形内切圆半径的等面积求解方法，将大三角形面积拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和是解题的关键，这类题目是与圆相切相关的常见考查题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在平面直角坐标系中,$A(1,1),B(2,4),C(3,1)$,则$△ ABC$的内切圆的半径长为.

8. $\frac{\sqrt{10}-1}{3}$

【分析】
要求三角形内切圆半径，可利用任意三角形内切圆半径公式$r=\frac{2S}{a+b+c}$（其中$S$为三角形面积，$a、b、c$为三角形三边长）求解。首先根据三个点的坐标计算三角形三条边的长度，再结合坐标特点求出三角形面积，最后代入公式计算半径，注意结果需进行分母有理化。
【解析】
1. 计算三角形三边长：
点$A(1,1)$、$C(3,1)$纵坐标相同，因此$AC=3-1=2$；
点$A(1,1)$、$B(2,4)$横坐标差为$2-1=1$，纵坐标差为$4-1=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
点$B(2,4)$、$C(3,1)$横坐标差为$3-2=1$，纵坐标差为$4-1=3$，同理得$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
2. 计算三角形面积：
$AC$边在直线$y=1$上，点$B$到$AC$的高为$4-1=3$，因此$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × 高=\frac{1}{2}×2×3=3$。
3. 代入公式计算内切圆半径：
三角形周长为$AB+BC+AC=\sqrt{10}+\sqrt{10}+2=2+2\sqrt{10}$，代入$r=\frac{2S}{a+b+c}$得：
$ r=\frac{2×3}{2+2\sqrt{10}}=\frac{3}{1+\sqrt{10}} $
分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{10}-1$：
$ r=\frac{3(\sqrt{10}-1)}{(1+\sqrt{10})(\sqrt{10}-1)}=\frac{3(\sqrt{10}-1)}{9}=\frac{\sqrt{10}-1}{3} $
【答案】
$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$
【知识点】
两点间距离计算，三角形内切圆半径公式，二次根式化简
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查三角形内切圆半径的求解，解题关键是熟练掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系，计算时注意二次根式分母有理化的运算规范。
【难度系数】
0.65