9. 如图,把$Rt△ ABO$置于平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,4)$,点B的坐标为$(3,0)$,点P是$Rt△ ABO$内切圆的圆心.将$Rt△ ABO$沿x轴的正方向做无滑动滚动,使它的三边依次与x轴重合,第一次滚动后圆心为$P_1$,第二次滚动后圆心为$P_2$,依此规律,第2025次滚动后,$Rt△ ABO$内切圆的圆心$P_{2025}$的坐标是.

9. $(8\ 101,1)$

【分析】
解题思路分为三步：第一步先利用勾股定理求出Rt△ABO的斜边长度，结合直角三角形内切圆半径公式求出初始圆心P的坐标；第二步分析滚动规律：三角形沿x轴无滑动滚动时，每滚动3次为一个完整周期，每个周期内圆心向右平移的距离等于三角形的周长，周期结束后圆心纵坐标和初始状态一致；第三步计算2025次滚动包含的完整周期数，结合每个周期的平移距离即可求出最终圆心坐标。
【解析】
1. 计算Rt△ABO的三边长：
已知点A(0,4)，点B(3,0)，∠AOB=90°，可得OA=4，OB=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 求初始内切圆圆心P的坐标：
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入数值计算得：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$
因此初始内切圆圆心P的坐标为$(1,1)$。
3. 分析滚动规律：
将Rt△ABO沿x轴正方向无滑动滚动，每滚动3次，三角形的摆放状态回到初始状态，圆心纵坐标始终为1，且每3次滚动为一个周期，每个周期圆心向右移动的距离等于三角形的周长：$3+4+5=12$。
4. 计算第2025次滚动后圆心坐标：
$2025÷3=675$，即2025次滚动刚好包含675个完整周期，因此圆心横坐标为$1+675×12=8101$，纵坐标为1。
【答案】
$(8101,1)$
【知识点】
直角三角形内切圆性质；图形滚动规律；坐标与图形变化
【点评】
本题属于规律探究类综合题，既考查了直角三角形内切圆的基础计算，也要求学生能观察出滚动过程的周期规律，对规律归纳和运算能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.6

10. 仅用无刻度的直尺按要求作图(不写作法，保留作图痕迹).

如图,在$2×2$的正方形网格中,四边都与圆相切,A,B,C,D是切点,在圆上作出一个$22.5°$的圆周角(标出角度).

10. 如图,∠ADT即为所求.

【分析】
要构造22.5°的圆周角，首先明确22.5°是45°的一半，结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需要先构造出45°的圆心角，对应弧的圆周角就是22.5°。首先找圆心：图中A、B、C、D是内切圆和正方形的切点，AC、BD是圆的互相垂直的直径，交点O就是圆心。再利用正方形的性质：正方形的对角线会将90°的内角平分为两个45°的角，连接正方形的对角顶点，得到的对角线与圆相交得到45°的圆心角，再取对应弧的圆周角即可。
【解析】
1. 找到AC与BD的交点，即内切圆的圆心O；
2. 连接正方形左下角顶点与O，交圆于点T；
3. 连接DT，得到∠ADT。
理由：正方形对角线平分内角，可得对角线与OA的夹角为45°，即弧AT对应的圆心角为45°，根据圆周角定理，同弧AT所对的圆周角∠ADT等于圆心角的一半，即∠ADT=45°÷2=22.5°，符合要求。
【答案】
如图,∠ADT即为所求.
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，无刻度直尺作图
【点评】
本题需要结合特殊角度的倍数关系，将未知角度的构造转化为已知的正方形内45°角的构造，结合圆周角定理完成作图，考查了几何性质的灵活运用和转化的数学思想。
【难度系数】
0.7

11. 如图,以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆,圆心为O,过点A作半圆的切线,与半圆相切于点F,与CD相交于点E,设正方形ABCD的边长为x,EC长为y,求y与x的函数关系式.

11. 在正方形ABCD中,$AD=AB=BC=CD=x$,$∠ABC=∠BCD=∠D=90°$.
∵ 以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆,
∴ AB,EC是半圆的切线.
∵ 过点A作半圆的切线,与半圆相切于点F,EC长为y,
∴ $AF=AB=x$,$EF=EC=y$.
∴ $DE=DC-EC=x-y$,$AE=AF+FE=x+y$.
在$Rt△ADE$中,由勾股定理,得 $AE^2 = AD^2+DE^2$,
即$(x+y)^2=x^2+(x-y)^2$.
整理可得$y=\frac{1}{4}x$.
∴ y与x的函数关系式为$y=\frac{1}{4}x$.

【分析】
要推导y与x的函数关系式，我们可以按以下思路分析：首先结合正方形的性质和切线的判定，确定AB、EC都是半圆的切线；再根据切线长定理，得到图中相等的切线段，将Rt△ADE的三边长都用含x、y的式子表示；最后利用勾股定理列等式，化简后即可得到所求的函数关系式。
【解析】
在正方形ABCD中，$AD=AB=BC=CD=x$，$∠ABC=∠BCD=∠D=90°$。
∵ 以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆，AB⊥BC，EC⊥BC，
∴ AB、EC都是半圆的切线。
∵ AE与半圆相切于点F，EC长为y，
∴ 根据切线长定理可得：$AF=AB=x$，$EF=EC=y$。
∴ $DE=DC-EC=x-y$，$AE=AF+FE=x+y$。
在$Rt△ADE$中，由勾股定理得 $AE^2 = AD^2+DE^2$，
代入边长表达式得：$(x+y)^2=x^2+(x-y)^2$，
展开整理得：$x^2+2xy+y^2=x^2+x^2-2xy+y^2$，
化简后得$y=\frac{1}{4}x$。
【答案】
$y=\frac{1}{4}x$
【知识点】
切线长定理；正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是切线相关计算的典型题型，解题核心是利用切线长定理将未知线段用已知量表示，再结合直角三角形的勾股定理建立方程求解，综合考查了几何性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.65

12. 如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,半径为4的圆与y轴交于点B,A(8,4)是圆外一点,直线AC与$\odot O$相切于点C,与x轴交于点D,求点C的坐标.

12. 如图,过点A作$AE⊥x$轴于点E,过点C作$CH⊥x$轴于点H,连接OC.
∵ $B(0,4),A(8,4)$,
∴ $AB=8,AE=OB=OC=4,AB⊥y$轴.
∴ AB为$\odot O$的切线.
∵ 直线AC与$\odot O$相切于点C,
∴ $OC⊥AC,AC=AB=8$.
∴ $∠OCD=∠AED=90°$.
在$△OCD$和$△AED$中,
$\begin{cases}∠ODC=∠ADE, \\∠OCD=∠AED, \\OC=AE,\end{cases}$
∴ $△OCD≌△AED$.
∴ $OD=AD$.
设$OD=x$,则$AD=x$,$DE=8-x$.
在$Rt△ADE$中,$(8-x)^2+4^2=x^2$,
解得$x=5$.
∴ $OD=5,DE=CD=3$.
∵ $\frac{1}{2}CH·OD=\frac{1}{2}OC·CD$,
∴ $CH=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$.
在$Rt△OCH$中,$OH=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$,
∴ 点C的坐标为$(\frac{16}{5},-\frac{12}{5})$.

【分析】
解题时首先结合已知点坐标判断AB与$\odot O$的位置关系，利用切线长定理得到$AC=AB$；再观察$△ OCD$和$△ AED$的特征，证明两三角形全等得到$OD=AD$，通过设未知数结合勾股定理求出OD、CD的长度；最后利用面积法求出CH的长度，再用勾股定理求出OH的长度，结合C所在的第四象限即可确定其坐标。
【解析】
如图,过点A作$AE⊥x$轴于点E,过点C作$CH⊥x$轴于点H,连接OC.
∵ $B(0,4),A(8,4)$,
∴ $AB=8,AE=OB=OC=4,AB⊥y$轴.
∴ AB为$\odot O$的切线.
∵ 直线AC与$\odot O$相切于点C,
∴ $OC⊥AC,AC=AB=8$.
∴ $∠OCD=∠AED=90°$.
在$△OCD$和$△AED$中,
$\begin{cases}∠ODC=∠ADE, \\∠OCD=∠AED, \\OC=AE,\end{cases}$
∴ $△OCD≌△AED$.
∴ $OD=AD$.
设$OD=x$,则$AD=x$,$DE=8-x$.
在$Rt△ADE$中,$(8-x)^2+4^2=x^2$,
解得$x=5$.
∴ $OD=5,DE=CD=3$.
∵ $\frac{1}{2}CH·OD=\frac{1}{2}OC·CD$,
∴ $CH=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$.
在$Rt△OCH$中,$OH=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$,
又
∵点C在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负，
∴ 点C的坐标为$(\frac{16}{5},-\frac{12}{5})$.
【答案】

点C的坐标为$\boldsymbol{(\frac{16}{5},-\frac{12}{5})}$
【知识点】
切线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是与圆切线相关的综合计算题，需要灵活运用切线性质、全等三角形、勾股定理等知识求解，通过作辅助线构造直角三角形与全等三角形，建立线段之间的等量关系是解题的核心，能有效考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6