专题五 新定义问题
典型例题
我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”。如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”。
【概念理解】
如图，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合）。

（1）∠ABO的度数为，△AOB（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”。
【应用拓展】
（3）已知点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC＋∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B。若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数。
（1）30° 不是
解析 因为AB⊥OM，
所以∠OAB＝90°。
所以∠ABO＝90°－∠MON＝30°。
由定义知△AOB不是“和谐三角形”。
（2）解 因为∠ACB是△AOC的一个外角，
所以∠ACB＝∠O＋∠OAC。
因为∠O＝60°，∠ACB＝84°，
所以∠OAC＝24°，
∠ACO＝180°－84°＝96°。
所以∠ACO＝4∠OAC。
所以△AOC是“和谐三角形”。
（3）解 因为∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
所以∠EFC＝∠ADC。
所以AD//EF。
所以∠DEF＝∠ADE。
因为∠DEF＝∠B，
所以∠B＝∠ADE。
所以DE//BC。
所以∠CDE＝∠BCD。
因为DE平分∠ADC，
所以∠ADE＝∠CDE。
所以∠B＝∠BCD。

解：(1) $30°$；不是
(2) 证明：
$\because ∠ ACB$是$△ AOC$的外角，
$\therefore ∠ ACB = ∠ O + ∠ OAC$。
$\because ∠ O = 60°$，$∠ ACB = 84°$，
$\therefore ∠ OAC = 84° - 60° = 24°$，
$∠ ACO = 180° - ∠ ACB = 96°$。
$\therefore ∠ ACO = 4∠ OAC$，
$\therefore △ AOC$是“和谐三角形”。
(3) 解：
$\because ∠ EFC + ∠ BDC = 180°$，$∠ ADC + ∠ BDC = 180°$，
$\therefore ∠ EFC = ∠ ADC$，
$\therefore AD// EF$，
$\therefore ∠ DEF = ∠ ADE$。
$\because ∠ DEF = ∠ B$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADE$，
$\therefore DE// BC$，
$\therefore ∠ CDE = ∠ BCD$。
$\because DE$平分$∠ ADC$，
$\therefore ∠ ADE = ∠ CDE$，
$\therefore ∠ B = ∠ BCD$。
在$△ BCD$中，$∠ BDC = 180° - ∠ B - ∠ BCD = 180° - 2∠ B$。
$\because △ BCD$是“和谐三角形”，分两种情况：
① 若$∠ BDC = 4∠ B$，则$180° - 2∠ B = 4∠ B$，解得$∠ B = 30°$；
② 若$∠ BCD = 4∠ BDC$，则$∠ B = 4(180° - 2∠ B)$，解得$∠ B = 80°$。
综上，$∠ B$的度数为$30°$或$80°$。