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【例1】如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$BC=2\ \mathrm{cm}$.判断以点$C$为圆心,下列$r$为半径的$\odot C$与直线$AB$的位置关系.
(1)$r=1.5\ \mathrm{cm}$.
(2)$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(3)$r=2\ \mathrm{cm}$.
|思路分析|
思考:题目中已知圆的半径,所以只需求出
解:
(1)$r=1.5\ \mathrm{cm}$.
(2)$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(3)$r=2\ \mathrm{cm}$.
|思路分析|
思考:题目中已知圆的半径,所以只需求出
圆心到直线
的距离,比较大小,即可判断出直线与圆的位置关系.解:
答案
(1)当$r=1.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相离.
(2)当$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相切.
(3)当$r=2\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相交.
(2)当$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相切.
(3)当$r=2\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相交.
解析
【分析】
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题已知三个r的取值，因此首先需要求出圆心C到直线AB的距离d：先通过勾股定理算出AC的长度，再用等面积法求出Rt△ABC斜边AB上的高（即d），最后分别将d和三个r比较即可得出结论。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离d。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数据：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{1}{2}×4× CD$
解得$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，即$d=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
(1)当$r=1.5\ \mathrm{cm}$时，$\sqrt{3}\approx1.732＞1.5$，即$d＞r$，$\odot C$与直线AB相离；
(2)当$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，$\odot C$与直线AB相切；
(3)当$r=2\ \mathrm{cm}$时，$\sqrt{3}＜2$，即$d＜r$，$\odot C$与直线AB相交。
【答案】
(1)当$r=1.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相离.
(2)当$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相切.
(3)当$r=2\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相交.
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是牢记位置关系的判定规则，熟练运用勾股定理和等面积法求解线段长度，为后续复杂的圆相关几何题打下基础。
【难度系数】
0.75
要判断直线和圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题已知三个r的取值，因此首先需要求出圆心C到直线AB的距离d：先通过勾股定理算出AC的长度，再用等面积法求出Rt△ABC斜边AB上的高（即d），最后分别将d和三个r比较即可得出结论。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离d。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=2\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
根据三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数据：
$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2=\frac{1}{2}×4× CD$
解得$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，即$d=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
(1)当$r=1.5\ \mathrm{cm}$时，$\sqrt{3}\approx1.732＞1.5$，即$d＞r$，$\odot C$与直线AB相离；
(2)当$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时，$d=r$，$\odot C$与直线AB相切；
(3)当$r=2\ \mathrm{cm}$时，$\sqrt{3}＜2$，即$d＜r$，$\odot C$与直线AB相交。
【答案】
(1)当$r=1.5\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相离.
(2)当$r=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相切.
(3)当$r=2\ \mathrm{cm}$时,$\odot C$与直线$AB$相交.
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；勾股定理；等面积法求高
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是牢记位置关系的判定规则，熟练运用勾股定理和等面积法求解线段长度，为后续复杂的圆相关几何题打下基础。
【难度系数】
0.75
1.在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=8$，以点$A$为圆心作一个半径为3的圆，下列结论正确的是（
A.点$B$在$\odot A$内
B.点$C$在$\odot A$上
C.直线$BC$与$\odot A$相切
D.直线$BC$与$\odot A$相离
C
）A.点$B$在$\odot A$内
B.点$C$在$\odot A$上
C.直线$BC$与$\odot A$相切
D.直线$BC$与$\odot A$相离
答案
1.C
解析
【分析】
要解决本题，需明确两类位置关系的判断规则：①判断点与圆的位置关系，需比较点到圆心的距离d与圆半径r的大小：d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内；②判断直线与圆的位置关系，需比较圆心到直线的距离d与半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中△ABC是等腰三角形，可先通过三线合一作BC边上的高，算出圆心A到BC的距离，再结合各点到A的距离逐一判断选项即可。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H。
∵AB=AC=5，△ABC是等腰三角形，
∴H是BC中点，$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$，即点A到直线BC的距离等于⊙A的半径r=3。
逐一分析选项：
A. $AB=5＞3$，故点B在⊙A外，A错误；
B. $AC=5＞3$，故点C在⊙A外，B错误；
C. 点A到直线BC的距离$AH=3=r$，故直线BC与⊙A相切，C正确；
D. 由C可知直线BC与⊙A相切，不是相离，D错误。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是位置关系判断的常规题型，解题关键是利用等腰三角形的性质和勾股定理求出圆心到直线的距离，掌握点和圆、直线和圆的位置关系判断规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需明确两类位置关系的判断规则：①判断点与圆的位置关系，需比较点到圆心的距离d与圆半径r的大小：d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内；②判断直线与圆的位置关系，需比较圆心到直线的距离d与半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中△ABC是等腰三角形，可先通过三线合一作BC边上的高，算出圆心A到BC的距离，再结合各点到A的距离逐一判断选项即可。
【解析】
过点A作AH⊥BC于点H。
∵AB=AC=5，△ABC是等腰三角形，
∴H是BC中点，$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
$AH=\sqrt{AB^2 - BH^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$，即点A到直线BC的距离等于⊙A的半径r=3。
逐一分析选项：
A. $AB=5＞3$，故点B在⊙A外，A错误；
B. $AC=5＞3$，故点C在⊙A外，B错误；
C. 点A到直线BC的距离$AH=3=r$，故直线BC与⊙A相切，C正确；
D. 由C可知直线BC与⊙A相切，不是相离，D错误。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是位置关系判断的常规题型，解题关键是利用等腰三角形的性质和勾股定理求出圆心到直线的距离，掌握点和圆、直线和圆的位置关系判断规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
2.已知$\odot O$的半径$r$为一元二次方程$x^2 -5x -6=0$的一个根，圆心$O$到直线$l$的距离$d=6$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是
相切
。答案
2.相切
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先求解一元二次方程，得到半径r的可能取值，注意圆的半径是正数，需舍去负根；第二步回忆直线与圆位置关系的判定规则：当d＞r时直线与圆相离，d=r时相切，d＜r时相交，比较d和r的大小即可得出结论。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -5x -6=0$：
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
2. 确定半径r的取值：
因为圆的半径为正数，所以舍去负根，得$r=6$。
3. 判断位置关系：
已知圆心到直线的距离$d=6$，可得$d=r$，因此直线l与$\odot O$相切。
【答案】
相切
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和几何位置判定结合考查，解题时需注意圆的半径必须为正值，避免误用负根导致判断错误。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：第一步先求解一元二次方程，得到半径r的可能取值，注意圆的半径是正数，需舍去负根；第二步回忆直线与圆位置关系的判定规则：当d＞r时直线与圆相离，d=r时相切，d＜r时相交，比较d和r的大小即可得出结论。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -5x -6=0$：
因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-1$。
2. 确定半径r的取值：
因为圆的半径为正数，所以舍去负根，得$r=6$。
3. 判断位置关系：
已知圆心到直线的距离$d=6$，可得$d=r$，因此直线l与$\odot O$相切。
【答案】
相切
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程求解和几何位置判定结合考查，解题时需注意圆的半径必须为正值，避免误用负根导致判断错误。
【难度系数】
0.8
【例2】在$△ ABC$中，$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$。
(1)若以点$C$为圆心，$2\ \mathrm{cm}$长为半径画$\odot C$，则直线$AB$与$\odot C$的位置关系如何？
(2)若直线$AB$与半径为$r$的$\odot C$相切，求$r$的值。
解：
(1)若以点$C$为圆心，$2\ \mathrm{cm}$长为半径画$\odot C$，则直线$AB$与$\odot C$的位置关系如何？
(2)若直线$AB$与半径为$r$的$\odot C$相切，求$r$的值。
解：
答案
(1)直线$AB$与$\odot C$的位置关系是相离.
(2)$r=2.4\ \mathrm{cm}$.
(2)$r=2.4\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要判断直线AB与$\odot C$的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先根据△ABC三边长3、4、5，可通过勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，∠C为直角，再用面积法求出斜边AB上的高（即C到AB的距离d），最后结合两问的半径条件求解即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离。
已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$：
∵$AC^2+BC^2=3^2+4^2=25=5^2=AB^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值计算：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4\ \mathrm{cm}$，即圆心C到AB的距离$d=2.4\ \mathrm{cm}$。
(1)当$\odot C$半径$r=2\ \mathrm{cm}$时，
∵$d=2.4\ \mathrm{cm}＞r=2\ \mathrm{cm}$，
∴直线AB与$\odot C$相离。
(2)若直线AB与半径为r的$\odot C$相切，此时满足$d=r$，
∴$r=d=2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)直线$AB$与$\odot C$的位置关系是相离；
(2)$r=2.4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直线与圆的位置关系；三角形面积计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础常考题，解题关键是准确求出圆心到直线的距离，用面积法求直角三角形斜边上的高是非常实用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要判断直线AB与$\odot C$的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先根据△ABC三边长3、4、5，可通过勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，∠C为直角，再用面积法求出斜边AB上的高（即C到AB的距离d），最后结合两问的半径条件求解即可。
【解析】
过点C作$CD⊥ AB$于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离。
已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$：
∵$AC^2+BC^2=3^2+4^2=25=5^2=AB^2$，
∴$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
代入数值计算：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，
解得$CD=\frac{12}{5}=2.4\ \mathrm{cm}$，即圆心C到AB的距离$d=2.4\ \mathrm{cm}$。
(1)当$\odot C$半径$r=2\ \mathrm{cm}$时，
∵$d=2.4\ \mathrm{cm}＞r=2\ \mathrm{cm}$，
∴直线AB与$\odot C$相离。
(2)若直线AB与半径为r的$\odot C$相切，此时满足$d=r$，
∴$r=d=2.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)直线$AB$与$\odot C$的位置关系是相离；
(2)$r=2.4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理的逆定理；直线与圆的位置关系；三角形面积计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础常考题，解题关键是准确求出圆心到直线的距离，用面积法求直角三角形斜边上的高是非常实用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
