1. 下列选项中能使$□ ABCD$成为菱形的是（）

A.$AB=CD$
B.$AB=BC$
C.$∠ BAD=90°$
D.$AC=BD$

1.B

【分析】
首先明确题干已知四边形ABCD是平行四边形，解题需结合平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理，逐一分析各选项的条件能否让平行四边形变为菱形：先回忆相关定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；而有一个内角为直角、对角线相等的平行四边形是矩形，再对应排查选项即可。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
1. 选项A：平行四边形的性质就是对边相等，$AB=CD$是平行四边形本身固有的性质，无法判定它是菱形，故A错误；
2. 选项B：根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，$AB$和$BC$是平行四边形$ABCD$的一组邻边，当$AB=BC$时，满足该判定条件，可判定$□ABCD$是菱形，故B正确；
3. 选项C：根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，当$∠BAD=90°$时，$□ABCD$是矩形，无法判定为菱形，故C错误；
4. 选项D：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，当$AC=BD$时，$□ABCD$是矩形，无法判定为菱形，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定区分，需要学生准确掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理，理清各类特殊四边形判定条件的差异，属于基础类题型，熟练掌握定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$□ ABCD$中，AB=9 cm，BC=4 cm，将CB沿BA方向平移得到EF(点F在边AB上)，则当BF= cm时，四边形DAFE是菱形，依据是。

2. 5 有一组邻边相等的平行四边形是菱形

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先根据平移的性质，可知平移得到的线段EF与CB平行且相等；再结合平行四边形ABCD对边平行且相等的性质，可推出EF与AD平行且相等，由此可先判定四边形DAFE是平行四边形。接下来要使平行四边形DAFE为菱形，根据菱形的判定定理，需满足一组邻边相等，即AF=AD，算出AF的长度后，用AB的长度减去AF的长度即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵将CB沿BA方向平移得到EF，
∴EF//BC，且EF=BC=4cm。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC=4cm，AB=9cm，
∴EF//AD，且EF=AD，
∴四边形DAFE是平行四边形。
若平行四边形DAFE是菱形，则需一组邻边相等，即AF=AD=4cm，
∴BF=AB - AF=9cm - 4cm=5cm。
判定依据为有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
【答案】
5；有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【知识点】
平移的性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【点评】
本题将平移、平行四边形性质与菱形判定相结合，解题的关键是先确定四边形DAFE为平行四边形，再结合菱形的判定条件列等式计算线段长度，注重对基础几何性质和判定的考查。
【难度系数】
0.7

3. 如图，在$□ ABCD$中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分$∠ ABC$，$EF // AB$。求证：四边形ABFE是菱形。

3. 证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD// BC$. 又 $\because EF// AB$,$\therefore$ 四边形 $ABFE$ 是平行四边形. $\because BE$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ ABE=∠ EBF. \because AD// BC, \therefore ∠ AEB=∠ EBF. \therefore ∠ ABE=∠ AEB. \therefore AB=AE. \therefore$ 平行四边形 $ABFE$ 是菱形.

【分析】
要证明四边形ABFE是菱形，可采用“先证四边形为平行四边形，再证明一组邻边相等”的判定思路：首先利用平行四边形ABCD的性质得到AD//BC，结合已知EF//AB，可先判定四边形ABFE是平行四边形；再结合BE平分∠ABC的条件和平行线的内错角相等性质，推导得到∠ABE=∠AEB，从而得到AB=AE，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
又
∵ $EF// AB$，
∴ 四边形$ABFE$是平行四边形。
∵ $BE$平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABE=∠ EBF$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEB=∠ EBF$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ ABE=∠ AEB$，
∴ $AB=AE$，
∴ 平行四边形$ABFE$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
【答案】
证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形, $\therefore AD// BC$. 又 $\because EF// AB$,$\therefore$ 四边形 $ABFE$ 是平行四边形. $\because BE$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ ABE=∠ EBF. \because AD// BC, \therefore ∠ AEB=∠ EBF. \therefore ∠ ABE=∠ AEB. \therefore AB=AE. \therefore$ 平行四边形 $ABFE$ 是菱形.
【知识点】
平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义
【点评】
本题是特殊四边形判定的基础题，解题核心是熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理，“先证平行四边形，再证邻边相等”是菱形判定类题目非常常用的思路，解题时要注意灵活运用平行线的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.8

4.如图，△ABC是等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，则四边形ABDC为形，理由是。

4. 菱 四边相等的四边形是菱形

【分析】
解题时首先结合已知条件提取关键信息：①△ABC是底边为BC的等腰三角形，可得两腰AB=AC；②图形沿BC翻折，根据翻折的性质，翻折前后对应边相等，可推出AB=DB、AC=DC；通过等量代换可得到四边形ABDC的四条边长度都相等，最后结合菱形的判定定理即可得出结论。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，
∴AB=AC，
∵△ABC沿底边BC翻折得到△DBC，由翻折的性质可知翻折前后对应边相等，
∴AB=DB，AC=DC，
∴AB=AC=DB=DC，即四边形ABDC的四条边都相等，
根据菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形，可知四边形ABDC是菱形。
【答案】
菱；四边相等的四边形是菱形
【知识点】
翻折的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是熟练掌握翻折的性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定定理，结合已知条件推导得到四边形的边长关系即可判断图形形状。
【难度系数】
0.9

5. 如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AC⊥BD，AB＝BC＝CD. 求证：四边形ABCD是菱形.

5. 证明:$\because BC=CD,AC⊥ BD$ 于点 $O, \therefore OB=OD. \therefore$ 直线 $AC$ 是线段$BD$ 的垂直平分线. $\therefore AB=AD. \because AB=BC, \therefore AB=BC=CD=AD. \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形.

【分析】
要证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的判定定理，可通过证明四边形四条边相等来推导。题目已给出AB=BC=CD，因此只需证AD=AB即可。已知AC⊥BD且BC=CD，先利用等腰三角形三线合一的性质得到OB=OD，由此确定AC是BD的垂直平分线，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，可得AB=AD，进而推出四条边全部相等，即可判定四边形为菱形。
【解析】
证明：$\because BC=CD,AC⊥ BD$ 于点 $O$，
$\therefore OB=OD$，即直线 $AC$ 是线段$BD$ 的垂直平分线，
$\therefore AB=AD$，
$\because AB=BC$，
$\therefore AB=BC=CD=AD$，
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形。
【答案】
证明:$\because BC=CD,AC⊥ BD$ 于点 $O, \therefore OB=OD. \therefore$ 直线 $AC$ 是线段$BD$ 的垂直平分线. $\therefore AB=AD. \because AB=BC, \therefore AB=BC=CD=AD. \therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形.
【知识点】
线段垂直平分线性质；菱形的判定；等腰三角形性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，将等腰三角形性质、线段垂直平分线性质和菱形判定相结合考查，解题关键是通过已知条件推导得到四条边相等的结论，同学们需要熟练掌握相关定理的应用场景。
【难度系数】
0.8

6.(2025·湖南)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 ()

A.6
B.9
C.12
D.18

6.C

【分析】
解题时首先从已知条件“对角线AC与BD互相垂直平分”入手，先回忆特殊四边形的判定定理：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABCD为菱形；再根据菱形的性质“菱形的四条边都相等”，可得四条边长度均等于已知的AB的长度，最后用边长乘4即可求出四边形的周长。
【解析】
∵ 四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分，
∴ 四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
∴ AB=BC=CD=DA=3，
∴ 四边形ABCD的周长 = 4×AB = 4×3 = 12。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；菱形的性质；周长计算
【点评】
本题是基础类考题，核心考查菱形的判定和性质的应用，解题的关键是能根据对角线的特征快速判断出四边形为菱形，再利用菱形四边相等的特征计算周长，掌握相关基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7.(教材习题变式)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,其对角线相交于点O,OA=3,BD=8,AB=5.
(1)△AOB是直角三角形吗?请说明理由.
(2)求证:四边形ABCD是菱形.

7. 解:(1)$△ AOB$ 是直角三角形. 理由如下:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$BD=8, \therefore OB=OD=\frac{1}{2}BD=4. \because OA=3,OB=4,AB=5, \therefore OA^2+OB^2=AB^2. \therefore △ AOB$ 是直角三角形. (2)证明:由(1)可知,$∠ AOB=90°, \therefore AC⊥ BD. \therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形.

【分析】
(1)要判断△AOB是否为直角三角形，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，由已知BD的长度求出OB的长；再结合已知的OA、AB的长度，验证三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形的形状。
(2)要证明平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只需结合第(1)问的结论得到AC⊥BD的关系，即可完成证明。
【解析】
(1)△AOB是直角三角形，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，BD=8，
∴ $OB=OD=\frac{1}{2}BD=4$，
∵ OA=3，OB=4，AB=5，
∴ $OA^2+OB^2=3^2+4^2=25$，$AB^2=5^2=25$，即$OA^2+OB^2=AB^2$，
∴ △AOB是直角三角形。
(2)证明：
由(1)可知∠AOB=90°，
∴ AC⊥BD，
又
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
【答案】
(1)△AOB是直角三角形，理由见解析；
(2)平行四边形ABCD是菱形，证明见解析。
【知识点】
平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，围绕平行四边形和菱形的相关性质、判定展开考察，解题的核心是先通过平行四边形对角线的性质得到边的长度，再借助勾股定理逆定理推导垂直关系，熟练掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

8.下列命题中，正确的是（填序号）.
①四边都相等的四边形是菱形；
②两组邻边分别相等的四边形是菱形；
③对角线互相垂直的四边形是菱形；
④对角线相等的平行四边形是菱形；
⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；
⑥对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

8. ①⑤⑥

【分析】
要解决这道题，需熟练掌握菱形的判定定理，逐一验证每个命题是否满足菱形的判定要求：首先明确菱形的判定分为两类，一类是直接判定普通四边形为菱形（四边相等、对角线互相垂直平分），另一类是先判定图形为平行四边形，再附加邻边相等/对角线垂直/对角线平分内角的条件判定为菱形。逐个分析命题时，要注意是否缺少前提条件（如是否为平行四边形、对角线是否平分等），避免误判。
【解析】
结合菱形的判定定理逐一分析每个命题：
① 四边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，正确；
② 两组邻边分别相等的四边形，无法证明它是平行四边形，比如筝形满足两组邻边分别相等，但不是菱形，错误；
③ 仅对角线互相垂直的四边形无法判定是平行四边形，也不是菱形，只有对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，该命题缺少前提，错误；
④ 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，菱形的对角线特征是互相垂直，错误；
⑤ 平行四边形中，若一条对角线平分一组对角，可推导得邻边相等，符合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的判定规则，正确；
⑥ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线互相垂直的条件，即可判定为菱形，符合判定定理，正确。
综上，正确的命题为①⑤⑥。
【答案】
①⑤⑥
【知识点】
1. 菱形的判定
2. 平行四边形的性质与判定
【点评】
本题重点考查菱形的判定规则，易错点是忽略命题的前提条件，混淆“普通四边形”和“平行四边形”的判定要求，解题时要严格对照定理内容判断，不要随意删减判定条件。
【难度系数】
0.7