11. 如图,在菱形ABCD中,E是边AB上一点,DE=AD,连接EC.若∠ADE=36°,则∠DEC的度数为（）

A.$72°$
B.$54°$
C.$50°$
D.$48°$

第11题图 第12题图

11.B

【分析】
解题需从已知条件逐步推导：首先利用等腰△ADE的已知顶角求出底角∠A的度数；再结合菱形邻角互补、四条边相等的性质，计算出∠EDC的度数，同时推导得到DE=DC的边相等关系；最后利用等腰三角形内角和性质即可求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵ $DE=AD$，$△ ADE$为等腰三角形，$∠ ADE=36°$
∴ $∠ A=\frac{180°-∠ ADE}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$
∵ 四边形$ABCD$是菱形
∴ $AD=CD$，且菱形邻角互补，$∠ A+∠ ADC=180°$
∴ $∠ ADC=180°-∠ A=180°-72°=108°$
∴ $∠ EDC=∠ ADC-∠ ADE=108°-36°=72°$
又
∵ $DE=AD=CD$，$△ DEC$为等腰三角形
∴ $∠ DEC=\frac{180°-∠ EDC}{2}=\frac{180°-72°}{2}=54°$
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和
【点评】
本题是基础常考题，综合考查菱形与等腰三角形的性质，解题关键是通过菱形边长相等的性质，将已知边的相等关系转化到待求角所在的三角形中，结合角度的和差运算即可求解。
【难度系数】
0.7

12.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6 cm,8 cm,AE⊥BC,垂足为E,则AE的长是 cm.

12.$\frac{24}{5}$

【分析】
解题时可按以下思路推导：①先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到两条对角线一半的长度，再结合勾股定理求出菱形的边长BC；②菱形的面积有两种计算方法：一是对角线乘积的一半，二是底乘对应边上的高，本题先通过对角线算出菱形面积，再结合面积相等的关系，即可求出高AE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm
∴AC⊥BD，$OC=\frac{1}{2}AC=3\mathrm{cm}$，$OB=\frac{1}{2}BD=4\mathrm{cm}$
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\mathrm{cm}$
菱形ABCD的面积可通过两种方式计算：
方法1：$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×6×8=24\mathrm{cm}^2$
方法2：$S=BC× AE$
∴$BC× AE=24$，即$5× AE=24$
解得$AE=\frac{24}{5}\mathrm{cm}$
【答案】
$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质应用的典型基础题，解题核心是熟练掌握菱形面积的两种计算方法，结合勾股定理求出边长后，利用等面积法即可快速求出对应高的长度。
【难度系数】
0.7

13. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACDE是平行四边形.
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.

13.解:(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB//CD,AC⊥BD.
∴AE//CD,∠AOB=90°.
∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,
∴∠AOB=∠EDB.
∴DE//AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.(2)
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3.
∴AD=CD=$\sqrt{AO^2+DO^2}$=5.
∵四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD=5,DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.

【分析】
(1)要证明四边形ACDE是平行四边形，可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”推导：首先利用菱形的性质得到AB//CD、AC⊥BD，再结合DE⊥BD推出DE//AC，即可得到两组对边分别平行，满足平行四边形的判定条件。
(2)求△ADE的周长需先确定三边长度：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，计算AO、DO的长度，用勾股定理求出AD、CD的长度；再结合(1)中平行四边形对边相等的性质，得到AE=CD、DE=AC，最后将三边长相加即可得到周长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴AE//CD，∠AOB=90°，
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，
∴∠AOB=∠EDB，
∴DE//AC，
∴四边形ACDE是平行四边形。
(2)解：
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=4，DO=$\frac{1}{2}$BD=3，且AC⊥BD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=CD=$\sqrt{AO^2+DO^2}$=$\sqrt{4^2+3^2}$=5，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18。
【答案】
(1) 证明成立，四边形ACDE是平行四边形；
(2) $\boxed{18}$
【知识点】
菱形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于特殊四边形的基础综合题，核心考察特殊四边形的性质、判定与勾股定理的结合应用，解题关键是熟练掌握相关定理，准确转化边的关系。
【难度系数】
0.7

14.(教材习题变式)如图,在边长为4的菱形ABCD中,∠BAD=120°,E,F分别是边BC,CD上的两个动点,∠EAF=60°.
(1)试判断△AEF的形状,并说明理由.
(2)四边形AECF的面积为.

14.解:(1)△AEF是等边三角形.理由如下:连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD,AB//DC,AD//BC.
∴∠ACE=∠CAD.
∵∠BAD=120°,
∴∠D=180°-∠BAD=60°.
∴△ADC是等边三角形.
∴AC=AD,∠CAD=∠D=60°.
∴∠ACE=∠D.
∵∠EAF=60°,
∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF,即∠CAE=∠DAF. 在△CAE和△DAF中,$\begin{cases}∠CAE=∠DAF,\\CA=DA,\\∠ACE=∠D,\end{cases}$
∴△CAE≌△DAF(ASA).
∴AE=AF. 又
∵∠EAF=60°,
∴△AEF为等边三角形.(2)$4\sqrt{3}$

【分析】
(1)要判断△AEF的形状，已知∠EAF=60°，只需证明AE=AF即可判定其为等边三角形。结合菱形ABCD中∠BAD=120°的条件，优先连接AC，利用菱形性质可证得△ADC为等边三角形，再通过角的等量代换找到全等条件，证明△CAE≌△DAF即可得到AE=AF。
(2)求四边形AECF的面积，可利用(1)中的全等关系，将△DAF的面积转化为△CAE的面积，进而将四边形AECF的面积转化为固定大小的△ACD的面积，计算等边△ACD的面积即可得到结果。
【解析】
(1)△AEF是等边三角形，理由如下：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AB//DC，AD//BC，
∴∠ACE=∠CAD。
∵∠BAD=120°，
∴∠D=180°-∠BAD=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=∠D=60°，
∴∠ACE=∠D。
∵∠EAF=60°，
∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF，即∠CAE=∠DAF。
在△CAE和△DAF中：
$\begin{cases}∠CAE=∠DAF \\CA=DA \\∠ACE=∠D\end{cases}$
∴△CAE≌△DAF(ASA)，
∴AE=AF。
又
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形。
(2)由(1)知△CAE≌△DAF，故$S_{△ CAE}=S_{△ DAF}$，
则$S_{四边形AECF}=S_{△ AEC}+S_{△ ACF}=S_{△ DAF}+S_{△ ACF}=S_{△ ACD}$。
∵△ACD是边长为4的等边三角形，
∴$S_{△ ACD}=\frac{\sqrt{3}}{4} × 4^2=4\sqrt{3}$，即四边形AECF的面积为$4\sqrt{3}$。
【答案】
(1)△AEF是等边三角形，理由见解析；(2)$4\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形性质的综合应用题型，解题的核心是通过连接AC构造等边三角形和全等三角形，利用全等实现边的相等关系和面积的转化，能有效考查对特殊几何图形性质的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.65

【模型展示】(如本课时T7,T14)

$(BE=CF,连接BD得△ DEB≌△ DFC)$
针对训练
如图,在菱形$ABCD$中,$∠ A=60°$,$E$是边$AB$上一动点(不与点$A,B$重合),且$∠ EDF=∠ A$,点$F$在边$BC$上.下列结论:①$AE=BF$;
②$∠ ADE=∠ BEF$;③$△ DEF$是等边三角形;④$△ BEF$的周长与点$E$的位置无关.其中正确的结论有 $(\quad)$


A.①②③④
B.①③④
C.①②③
D.①②④

C

【分析】
解决本题首先利用含60°角菱形的特征，连接对角线BD构造等边三角形，这是该类题型的常用辅助线。再通过角的等量代换找到全等三角形的判定条件，证明△ADE≌△BDF，最后结合全等性质、等边三角形判定、周长的构成逐一验证4个结论：①由全等对应边相等直接判断；②利用三角形内角和、平角性质，结合等边△DEF的内角推导角的等量关系；③由全等得DE=DF，结合∠EDF=60°，依据等边三角形判定定理判断；④将△BEF的周长转化为AB+EF，分析EF是否随E的位置变化判断结论是否成立。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴AB=AD=BC=CD，∠C=∠A=60°，
∴△ABD、△BCD均为等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠DBF=60°，∠ADB=60°。
∵∠EDF=∠A=60°，
∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB=60°，即∠ADE=∠BDF。
在△ADE和△BDF中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠DBF \\AD=BD \\∠ADE=∠BDF\end{array} $
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，DE=DF，故①正确。
∵∠A=60°，在△ADE中，∠ADE+∠AED=180°-60°=120°。
∵DE=DF，∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形，故③正确，
∴∠DEF=60°，
∴∠BEF+∠AED=180°-∠DEF=120°，
∴∠ADE=∠BEF，故②正确。
△BEF的周长=BE+BF+EF，
∵BF=AE，
∴BE+BF=BE+AE=AB，为定值，
但EF=DE，点E在AB上运动时，DE的长度随E的位置变化而变化，即EF不是定值，
∴△BEF的周长随E的位置变化而变化，故④错误。
综上，正确的结论为①②③，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是含60°角菱形的经典题型，核心考查特殊四边形与三角形的综合应用，解题关键是掌握该类特殊菱形构造等边三角形的辅助线做法，结合全等、等边三角形的性质逐一推导即可，注意分析周长时要判断所有边是否都为定值。
【难度系数】
0.6