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1.我国纸伞的制作工艺十分巧妙，如图，两条伞骨所成的角$∠ BAC=130°$,点D在伞柄AP上.若$AE=AF=DE=DF=m$,则AD的长可表示为()
A.$m\sin 65°$
B.$m\cos 65°$
C.$2m\sin 65°$
D.$2m\cos 65°$
A.$m\sin 65°$
B.$m\cos 65°$
C.$2m\sin 65°$
D.$2m\cos 65°$
答案
D
解析
1. 由AE=AF，DE=DF，可得AP平分∠BAC，因此∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}×130°=65°$。
2. 因为AE=DE=AF=DF=m，所以四边形AEDF是菱形，设EF与AD交于点O，则AD⊥EF，且AD=2AO。
3. 在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=m，由余弦定义得$\cos∠EAD=\frac{AO}{AE}$，因此$AO = m\cos65°$。
4. 代入得$AD=2AO=2m\cos65°$。
2. 因为AE=DE=AF=DF=m，所以四边形AEDF是菱形，设EF与AD交于点O，则AD⊥EF，且AD=2AO。
3. 在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=m，由余弦定义得$\cos∠EAD=\frac{AO}{AE}$，因此$AO = m\cos65°$。
4. 代入得$AD=2AO=2m\cos65°$。
2. 在$△ ABC$中，若$AB=13$，$BC=5$，$AC=12$，则$\sin A$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{5}{13}}$
解析
解：
∵ AB=13，BC=5，AC=12，
∴ AC² + BC² = 12² + 5² = 169，AB² = 13² = 169，
∴ AC² + BC² = AB²，
∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴ sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{5}{13}$。
最终
∵ AB=13，BC=5，AC=12，
∴ AC² + BC² = 12² + 5² = 169，AB² = 13² = 169，
∴ AC² + BC² = AB²，
∴ △ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴ sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{5}{13}$。
最终
3.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，A，B，C都是网格的顶点.若以AB为直径的圆经过C，D两点，则$\sin∠ ADC$的值为.
答案
解：
由圆周角定理可知，同弧AC所对的圆周角相等，因此$∠ ADC = ∠ ABC$。
因为AB是圆的直径，所以$∠ ACB = 90°$。
由小正方形边长为1，结合网格可得：$AC=2$，$BC=4$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\sin∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
因此$\sin∠ ADC = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\boxed{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}$
由圆周角定理可知，同弧AC所对的圆周角相等，因此$∠ ADC = ∠ ABC$。
因为AB是圆的直径，所以$∠ ACB = 90°$。
由小正方形边长为1，结合网格可得：$AC=2$，$BC=4$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\sin∠ ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，
因此$\sin∠ ADC = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\boxed{\dfrac{\sqrt{5}}{5}}$
4.如图，以$△ ABC$的边$AB$为直径的$\odot O$经过点$C$，$CD ⊥ AB$于点$D$。若$AB=\frac{20}{3}$，$\cos∠ ACD=\frac{3}{5}$，则$BC$的长为。
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠B = ∠ACD。
∴ cosB = cos∠ACD = $\frac{3}{5}$。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\cos B = \frac{BC}{AB}$，
又∵ $AB=\frac{20}{3}$，
∴ $BC = AB · \cos B = \frac{20}{3} × \frac{3}{5} = 4$。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°。
∵ CD⊥AB，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ ∠A + ∠ACD = 90°，
∴ ∠B = ∠ACD。
∴ cosB = cos∠ACD = $\frac{3}{5}$。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\cos B = \frac{BC}{AB}$，
又∵ $AB=\frac{20}{3}$，
∴ $BC = AB · \cos B = \frac{20}{3} × \frac{3}{5} = 4$。
5.若α是锐角，且$\tanα=\sqrt{2}$，则$\sinα$的值为，$\cosα$的值为。
答案
$\frac{\sqrt{6}}{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
解：
∵ α是锐角，$\tanα = \sqrt{2}$，
∴ 可设直角三角形中$α$的对边长为$\sqrt{2}k$，邻边长为$k$（$k＞0$），
由勾股定理得斜边长为：$\sqrt{(\sqrt{2}k)^2 + k^2} = \sqrt{3k^2} = \sqrt{3}k$，
∴ $\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}k} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\cosα = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{k}{\sqrt{3}k} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
∵ α是锐角，$\tanα = \sqrt{2}$，
∴ 可设直角三角形中$α$的对边长为$\sqrt{2}k$，邻边长为$k$（$k＞0$），
由勾股定理得斜边长为：$\sqrt{(\sqrt{2}k)^2 + k^2} = \sqrt{3k^2} = \sqrt{3}k$，
∴ $\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{\sqrt{2}k}{\sqrt{3}k} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\cosα = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{k}{\sqrt{3}k} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
6.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=13,BC=10$.若$D$是$BC$边上的一点(不与点$B,C$重合),$DE ⊥ AC$于点$E$,则$\tan∠ CDE$的值为________.
答案
$\boldsymbol{\frac{5}{12}}$
解析
解：过点A作AF⊥BC于点F。
∵ AB=AC=13，BC=10，
由等腰三角形三线合一可得：$FC=\frac{1}{2}BC=5$。
在Rt△AFC中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AC^2-FC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠DEC=90°，
∴ ∠CDE + ∠C = 90°。
又∵ 在Rt△AFC中，∠CAF + ∠C = 90°，
∴ ∠CDE = ∠CAF。
∴ $\tan∠ CDE=\tan∠ CAF=\frac{FC}{AF}=\frac{5}{12}$。
最终
∵ AB=AC=13，BC=10，
由等腰三角形三线合一可得：$FC=\frac{1}{2}BC=5$。
在Rt△AFC中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AC^2-FC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
∵ DE⊥AC，
∴ ∠DEC=90°，
∴ ∠CDE + ∠C = 90°。
又∵ 在Rt△AFC中，∠CAF + ∠C = 90°，
∴ ∠CDE = ∠CAF。
∴ $\tan∠ CDE=\tan∠ CAF=\frac{FC}{AF}=\frac{5}{12}$。
最终
7.计算：
(1)$2\sin 60° + |3 - \tan 60°| + (π - 2)^0 - 2\cos 30°$；
(2)$2\cos^2 45° + \sqrt{\dfrac{1}{4}} + (\sin 30°)^{-1}$。
(1)$2\sin 60° + |3 - \tan 60°| + (π - 2)^0 - 2\cos 30°$；
(2)$2\cos^2 45° + \sqrt{\dfrac{1}{4}} + (\sin 30°)^{-1}$。
答案
解：
(1) 原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2} + |3 - \sqrt{3}| + 1 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$
$=4 - \sqrt{3}$
(2) 原式$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{-1}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2$
$=1 + \frac{1}{2} + 2$
$=\frac{7}{2}$
(1) 原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{2} + |3 - \sqrt{3}| + 1 - 2×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$=\sqrt{3} + 3 - \sqrt{3} + 1 - \sqrt{3}$
$=4 - \sqrt{3}$
(2) 原式$=2×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{-1}$
$=2×\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2$
$=1 + \frac{1}{2} + 2$
$=\frac{7}{2}$
8. 提升题 图①是某品牌全电动家用升降机，图②③是其示意图，立柱AB垂直于地面MN，折线B－C－D为吊臂，吊臂可绕点B旋转，$BC⊥CD$，EF为伸缩杆。经测量：$AE=CF=0.4\ \mathrm{m}$，$AB=1.4\ \mathrm{m}$，$BC=0.2\ \mathrm{m}$，$CD=1.6\ \mathrm{m}$。
(1)如图②，当$CD// MN$时，求$∠ BEF$的度数；
(2)如图③，将吊臂绕点B旋转，使点D的位置达到最高，此时E，B，F三点共线，求点D到地面的距离（结果保留小数点后一位）。
（参考数据：$\tan 18.4°\approx\frac{1}{3}$，$\sin 26.6°\approx0.45$，$\cos 26.6°\approx0.89$，$\tan 26.6°\approx\frac{1}{2}$，$\sqrt{5}\approx2.24$）
(1)如图②，当$CD// MN$时，求$∠ BEF$的度数；
(2)如图③，将吊臂绕点B旋转，使点D的位置达到最高，此时E，B，F三点共线，求点D到地面的距离（结果保留小数点后一位）。
（参考数据：$\tan 18.4°\approx\frac{1}{3}$，$\sin 26.6°\approx0.45$，$\cos 26.6°\approx0.89$，$\tan 26.6°\approx\frac{1}{2}$，$\sqrt{5}\approx2.24$）
答案
解：
(1) 过点F作$FG ⊥ AB$于点G，
$\because AB ⊥ MN$，$CD // MN$，
$\therefore AB ⊥ CD$，
又$\because BC ⊥ CD$，
$\therefore BC // AB$，即B、C、G三点共线。
由题意得：
$BE = AB - AE = 1.4 - 0.4 = 1\ \mathrm{m}$，
$EG = BE - BC = 1 - 0.2 = 0.8\ \mathrm{m}$，
$FG = CF = 0.4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，
$\tan∠ BEF = \frac{FG}{EG} = \frac{0.4}{0.8} = \frac{1}{2}$，
$\because \tan26.6° \approx \frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ BEF = 26.6°$。
(2) 过点D作$DH ⊥ AB$，交AB的延长线于点H，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ C=90°$，$BC=0.2\ \mathrm{m}$，$CF=0.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF = \sqrt{BC^2 + CF^2} = \sqrt{0.2^2 + 0.4^2} = \frac{\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{m}$，
$\sin∠ CBF = \frac{CF}{BF} = \frac{0.4}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\cos∠ CBF = \frac{BC}{BF} = \frac{0.2}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\because BC ⊥ CD$，$DH ⊥ AB$，
$\therefore$ 点D相对于点B的竖直向上高度为：
$BC·\cos∠ CBF + CD·\sin∠ CBF$
$= 0.2 × \frac{\sqrt{5}}{5} + 1.6 × \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$= \frac{3.4\sqrt{5}}{5} \approx \frac{3.4 × 2.24}{5} \approx 1.5\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 点D到地面MN的距离为$AB + 1.5 \approx 1.4 + 1.5 = 2.9\ \mathrm{m}$。
答：(1) $∠ BEF$的度数为$26.6°$；(2) 点D到地面的距离约为$2.9\ \mathrm{m}$。
(1) 过点F作$FG ⊥ AB$于点G，
$\because AB ⊥ MN$，$CD // MN$，
$\therefore AB ⊥ CD$，
又$\because BC ⊥ CD$，
$\therefore BC // AB$，即B、C、G三点共线。
由题意得：
$BE = AB - AE = 1.4 - 0.4 = 1\ \mathrm{m}$，
$EG = BE - BC = 1 - 0.2 = 0.8\ \mathrm{m}$，
$FG = CF = 0.4\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFG$中，
$\tan∠ BEF = \frac{FG}{EG} = \frac{0.4}{0.8} = \frac{1}{2}$，
$\because \tan26.6° \approx \frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ BEF = 26.6°$。
(2) 过点D作$DH ⊥ AB$，交AB的延长线于点H，
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ C=90°$，$BC=0.2\ \mathrm{m}$，$CF=0.4\ \mathrm{m}$，
$\therefore BF = \sqrt{BC^2 + CF^2} = \sqrt{0.2^2 + 0.4^2} = \frac{\sqrt{5}}{5}\ \mathrm{m}$，
$\sin∠ CBF = \frac{CF}{BF} = \frac{0.4}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\cos∠ CBF = \frac{BC}{BF} = \frac{0.2}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
$\because BC ⊥ CD$，$DH ⊥ AB$，
$\therefore$ 点D相对于点B的竖直向上高度为：
$BC·\cos∠ CBF + CD·\sin∠ CBF$
$= 0.2 × \frac{\sqrt{5}}{5} + 1.6 × \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$= \frac{3.4\sqrt{5}}{5} \approx \frac{3.4 × 2.24}{5} \approx 1.5\ \mathrm{m}$。
$\therefore$ 点D到地面MN的距离为$AB + 1.5 \approx 1.4 + 1.5 = 2.9\ \mathrm{m}$。
答：(1) $∠ BEF$的度数为$26.6°$；(2) 点D到地面的距离约为$2.9\ \mathrm{m}$。
