11.新情境 裁缝林师傅要制作一个长方体靠垫，其正面是图①所示的一个大正方形。该大正方形内部含一个小正方形和四个相同的小长方形。为制作这个靠垫的正面，她先从一块布料上裁出一个边长为b的小正方形，其余四块从图②所示的长为$2a+b$的长方形布料上裁得(接缝忽略不计)，则这块长方形布料的宽应为。

11.$2a-b$

【分析】
解题时先从大正方形的拼接结构找等量关系：首先，中间小正方形的边长等于小长方形的长与宽的差，即长-宽=b；其次，用来裁4个小长方形的布料长为2a+b，观察拼接规律可知，布料的长对应2个小长方形的长之和，布料的宽对应2个小长方形的宽之和，我们只要先求出小长方形的宽，再乘2即可得到布料的宽度。
【解析】
设小长方形的长为$m$，宽为$n$，根据题意可得：
1. 中间小正方形边长为$b$，因此$m - n = b$；
2. 长方形布料的长为$2a+b$，刚好是2个小长方形的长拼接的长度，即$2m = 2a + b$，解得$m = \frac{2a + b}{2}$。
将$m = \frac{2a + b}{2}$代入$m - n = b$，可得：
$n = m - b = \frac{2a + b}{2} - b = \frac{2a + b - 2b}{2} = \frac{2a - b}{2}$
由于要裁出4个小长方形，长度方向摆2个小长方形的长，宽度方向需要摆2个小长方形的宽，因此布料的宽为：
$2n = 2× \frac{2a - b}{2} = 2a - b$
【答案】
$2a - b$
【知识点】
整式的加减运算，图形的拼接，长方形的性质
【点评】
本题结合实际裁剪场景命题，需要同学们从图形拼接中提取边长的等量关系，再结合整式运算求解，既考查了代数计算能力，也考查了空间想象能力，是几何与代数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.6

12.某超市原有$(5m^2 - 10m)$盒“团圆”月饼，第一天卖出$(7m - 5)$盒，当天下午又购进$(m^2 - m)$盒，第二天下午清仓时，发现“团圆”月饼只剩下5盒.
(1)第二天共卖出多少盒“团圆”月饼？(用含$m$的代数式表示)
(2)当$m=5$时，第二天共卖出多少盒“团圆”月饼？

12.解：(1)$5m^2-10m-(7m-5)+(m^2-m)-5=5m^2-10m$
$-7m+5+m^2-m-5=6m^2-18m$(盒).
答：第二天共卖出$(6m^2-18m)$盒“团圆”月饼.
(2)当$m=5$时，$6m^2-18m=6×5^2-18×5=60.$
答：当$m=5$时，第二天共卖出60盒“团圆”月饼.

【分析】
(1) 要计算第二天卖出的月饼数量，先理清数量变化关系：第二天卖出的盒数 = 原有盒数 - 第一天卖出的盒数 + 下午购进的盒数 - 最后剩余的盒数。找到等量关系后，代入对应代数式，按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项即可得到结果，去括号时要注意符号变化。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接将$m=5$代入第一问得到的代数式，按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 根据题意列算式计算：
$\begin{aligned}&(5m^2 - 10m) - (7m - 5) + (m^2 - m) - 5\\=&5m^2 - 10m - 7m + 5 + m^2 - m - 5\\=&6m^2 - 18m\end{aligned}$
(2) 当$m=5$时，代入$6m^2 - 18m$计算：
$\begin{aligned}&6×5^2 - 18×5\\=&6×25 - 90\\=&150 - 90\\=&60\end{aligned}$
【答案】
(1) 第二天共卖出$(6m^2 - 18m)$盒“团圆”月饼；
(2) 当$m=5$时，第二天共卖出60盒“团圆”月饼。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的实际应用类题目，解题核心是理清商品买卖过程中数量的增减变化关系，列对代数式，运算时注意去括号的符号规则，代入求值时要遵循有理数运算顺序，整体考查基础，侧重对运算能力的检验。
【难度系数】
0.8

13. 整体思想“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。如：已知$ m + n = -2 $，$ mn = -4 $，则$ 2(mn - 3m) - 3(2n - mn) $的值为。

13.$-8$

【分析】
本题考查整式的化简求值，解题时运用整体思想可以简化计算。首先不需要求出m、n的具体值，先对所求的整式进行去括号、合并同类项，将整式整理为含有已知条件m+n和mn的形式，最后将已知的m+n、mn的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}2(mn - 3m) - 3(2n - mn)&=2mn - 6m - 6n + 3mn\\&=5mn - 6m - 6n\\&=5mn - 6(m + n)\end{aligned}$
已知$m + n = -2$，$mn = -4$，将其整体代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=5×(-4) - 6×(-2)\\&=-20 + 12\\&=-8\end{aligned}$
【答案】
$-8$
【知识点】
整式的加减运算；整体代入思想；代数式求值
【点评】
本题是整式求值类的典型题目，利用整体思想代入计算，无需计算单个未知数的值，有效简化了运算过程，体现了整体思想在代数式运算中的便捷性。
【难度系数】
0.7

14. 数形结合思想 如图①,将一个边长为a cm的正方形纸片剪去两个完全相同的小长方形,得到图②,再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形,如图③所示.
(1)图③中新的长方形的长为cm,宽为cm;
(2)求图③中新的长方形的周长;
(3)如果正方形纸片的边长为11 cm,剪去的小长方形的宽为1 cm,求图③中新的长方形的周长.

14.解：(1)$(a-b)$；$(a-3b)$
(2)根据题意，得新的长方形的周长为$2(a-3b+a-b)=$
$4a-8b(\mathrm{cm}).$
(3)根据题意，可知$a=11,a-3b=2,$所以$b=3.$
所以题图③中新的长方形的周长为$4×11-8×3=20(\mathrm{cm}).$

【分析】
解决本题需要结合图形分析各边长的数量关系，逐步推导：
1. 第(1)问：观察图②可知，剪下的每个小长方形的长为$(a-b)\mathrm{cm}$，两个小长方形的宽之和为$(a-3b)\mathrm{cm}$，将两个小长方形拼接时，把两个小长方形的宽对齐拼接，得到的新长方形的长等于小长方形的长，宽等于两个小长方形的宽之和，即可得出长和宽。
2. 第(2)问：直接利用长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，将第(1)问得到的长和宽代入，再化简整式即可得到周长的表达式。
3. 第(3)问：先根据已知条件“剪去的小长方形的宽为1cm”推出$a-3b=2$，结合$a=11$求出$b$的值，再代入第(2)问得到的周长表达式计算即可。
【解析】
(1) 结合图形中边长的关系，可得新长方形的长为$(a-b)\mathrm{cm}$，宽为$(a-3b)\mathrm{cm}$。
(2) 根据长方形周长公式：
$\begin{aligned}周长&=2×(长+宽)\\&=2[(a-b)+(a-3b)]\\&=2(2a-4b)\\&=4a-8b(\mathrm{cm})\end{aligned}$
(3) 已知剪去的小长方形的宽为1cm，可得小长方形的宽为$\frac{a-3b}{2}=1$，即$a-3b=2$。
将$a=11$代入$a-3b=2$，得$11-3b=2$，解得$b=3$。
将$a=11$，$b=3$代入周长表达式：
$\begin{aligned}4a-8b&=4×11-8×3\\&=44-24\\&=20(\mathrm{cm})\end{aligned}$
【答案】
(1) $(a-b)$；$(a-3b)$
(2) 新长方形的周长为$(4a-8b)\mathrm{cm}$
(3) 新长方形的周长为$20\mathrm{cm}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题主要结合数形结合思想考查整式相关的运算，解题的关键是准确从图形中提取边长的数量关系，再结合长方形周长公式列式计算，整体解题逻辑清晰，注重对图形观察能力和代数运算能力的考查。
【难度系数】
0.7

15.数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数$N$能否表示为$x^2 - y^2$（$x,y$均为自然数）”的问题.指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（$n$为正整数）：
| $N$ | 奇数 | 4的倍数 |
| --- | --- | --- |
| 表示结果 | $1=1^2 - 0^2$ | $4=2^2 - 0^2$ |
| | $3=2^2 - 1^2$ | $8=3^2 - 1^2$ |
| | $5=3^2 - 2^2$ | $12=4^2 - 2^2$ |
| | $7=4^2 - $ | $16=5^2 - 3^2$ |
| | $9=5^2 - 4^2$ | $20=6^2 - 4^2$ |
| | $\dots$ | $\dots$ |
| 一般结论 | $2n -1 = n^2 - (n-1)^2$ | $4n = \_\_\_\_\_\_$ |
按上表规律，解答下列问题：
(1)$24=(\quad)^2 - (\quad)^2$；
(2)$4n =$$\_\_\_\_\_\_$

15.(1)$7;5$ (2)$(n+1)^2-(n-1)^2$

【分析】
这是一道数字规律探究题，解题思路分为两步：第一步先推导4n的通用表达式，观察表格中4的倍数对应的表示式，把每个式子中的底数和对应n的值做对比，找到底数和n的关系；第二步应用得到的通用表达式求解24的表示形式，先把24写成4乘某个正整数的形式，再代入通用式就能得到对应的两个底数。
【解析】
(1) 先推导4n的一般规律：
观察表格中4的倍数的示例：
当n=1时，4×1=4=2²-0²，其中2=1+1，0=1-1；
当n=2时，4×2=8=3²-1²，其中3=2+1，1=2-1；
当n=3时，4×3=12=4²-2²，其中4=3+1，2=3-1；
由此可归纳规律：$4n=(n+1)^2-(n-1)^2$。
验证：展开计算右边，$(n+1)^2-(n-1)^2=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)=4n$，和左边相等，规律成立。
接下来求24的表示式：
$24÷4=6$，即$24=4×6$，对应n=6，代入规律得：
$24=(6+1)^2-(6-1)^2=7^2-5^2$。
(2) 由上述推导可知，$4n=(n+1)^2-(n-1)^2$。
【答案】
(1)$7$；$5$ (2)$(n+1)^2-(n-1)^2$
【知识点】
规律探究，整式运算
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力，需要从给出的示例中提炼变量的对应关系，推导通用规律后再应用规律解决具体问题，推导后可通过代数运算验证规律的正确性，降低出错概率。
【难度系数】
0.8