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10.若关于$ x $的一元二次方程$ 2x^2 - (m + 1)x = x(x + 1) $化为一般形式后二次项系数为1，一次项系数为−1，则$ m $的值为（
A.1
B.3
C.−1
D.0
C
）A.1
B.3
C.−1
D.0
答案
10.C
解析
【分析】
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数。解题步骤如下：第一步先对给定的方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；第二步根据题目给出的一次项系数为$-1$的条件，让整理后方程的一次项系数等于$-1$，列关于$m$的一元一次方程；第三步解方程即可求出$m$的值。
【解析】
首先将原方程化为一般形式：
1. 展开方程右边：$2x^2 - (m + 1)x = x^2 + x$
2. 移项，将右侧所有项移到左侧：$2x^2 - (m + 1)x - x^2 - x = 0$
3. 合并同类项：
二次项：$2x^2 - x^2 = x^2$，符合二次项系数为1的条件；
一次项：$-(m+1)x - x = (-m - 2)x$
整理后一般形式为：$x^2 + (-m - 2)x = 0$
4. 根据题意一次项系数为$-1$，可得：
$-m - 2 = -1$
解方程：$-m = -1 + 2$，即$-m = 1$，得$m = -1$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式、合并同类项、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简及各项系数的识别，解题的关键是正确整理方程，准确对应一次项系数列方程求解，掌握相关定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数。解题步骤如下：第一步先对给定的方程去括号、移项、合并同类项，整理为一般形式；第二步根据题目给出的一次项系数为$-1$的条件，让整理后方程的一次项系数等于$-1$，列关于$m$的一元一次方程；第三步解方程即可求出$m$的值。
【解析】
首先将原方程化为一般形式：
1. 展开方程右边：$2x^2 - (m + 1)x = x^2 + x$
2. 移项，将右侧所有项移到左侧：$2x^2 - (m + 1)x - x^2 - x = 0$
3. 合并同类项：
二次项：$2x^2 - x^2 = x^2$，符合二次项系数为1的条件；
一次项：$-(m+1)x - x = (-m - 2)x$
整理后一般形式为：$x^2 + (-m - 2)x = 0$
4. 根据题意一次项系数为$-1$，可得：
$-m - 2 = -1$
解方程：$-m = -1 + 2$，即$-m = 1$，得$m = -1$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式、合并同类项、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简及各项系数的识别，解题的关键是正确整理方程，准确对应一次项系数列方程求解，掌握相关定义即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11. 数学文化《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，它的高与宽各是多少？设矩形门的宽为x尺，则依题意所列方程为
$x^2 +(x+6.8)^2=10^2$
（1丈=10尺，1尺=10寸）。答案
11.$x^2 +(x+6.8)^2=10^2$
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的几何模型为矩形，矩形的对角线与相邻两边构成直角三角形，可联想到用勾股定理建立等量关系。第一步先统一单位：将6尺8寸换算为6.8尺，1丈换算为10尺；第二步根据题意表示出高的长度：已知宽为x尺，高比宽多6.8尺，因此高为(x+6.8)尺；第三步结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，将宽、高、对角线的长度代入即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：
6尺8寸 = 6 + 8÷10 = 6.8尺，1丈 = 10尺
设矩形门的宽为x尺，则高为(x + 6.8)尺
∵矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边
根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
【答案】
$x^2 +(x+6.8)^2=10^2$
【知识点】
勾股定理，根据实际问题列一元二次方程，单位换算
【点评】
本题以传统数学文化为背景，考查利用几何性质列方程的能力，解题的核心是准确梳理各量之间的关系，结合勾股定理建立等式，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目中的几何模型为矩形，矩形的对角线与相邻两边构成直角三角形，可联想到用勾股定理建立等量关系。第一步先统一单位：将6尺8寸换算为6.8尺，1丈换算为10尺；第二步根据题意表示出高的长度：已知宽为x尺，高比宽多6.8尺，因此高为(x+6.8)尺；第三步结合勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，将宽、高、对角线的长度代入即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：
6尺8寸 = 6 + 8÷10 = 6.8尺，1丈 = 10尺
设矩形门的宽为x尺，则高为(x + 6.8)尺
∵矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边
根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
【答案】
$x^2 +(x+6.8)^2=10^2$
【知识点】
勾股定理，根据实际问题列一元二次方程，单位换算
【点评】
本题以传统数学文化为背景，考查利用几何性质列方程的能力，解题的核心是准确梳理各量之间的关系，结合勾股定理建立等式，难度较低。
【难度系数】
0.8
12. 易错题 若关于$x$的一元二次方程$(m - 2)x^2 + 5x + m^2 - 4 = 0$的常数项为0，则$m$的值为
【变式·转化思想】若关于$x$的一元二次方程$3ax^2 + a^2x + a + 9 = 6x^2 + 4x$没有一次项，则$a =$
-2
。【变式·转化思想】若关于$x$的一元二次方程$3ax^2 + a^2x + a + 9 = 6x^2 + 4x$没有一次项，则$a =$
-2
。答案
12.-2 【变式·转化思想】-2
解析
【分析】
对于第一问，求解常数项为0时m的值，需结合一元二次方程的定义思考：首先一元二次方程要求二次项系数不为0，保证方程是二次方程；其次题目要求常数项为0，联立这两个条件即可求出符合要求的m值。
对于变式题，首先要先将方程整理为一元二次方程的一般形式，明确各项系数，题目要求没有一次项即一次项系数为0，同时仍需满足二次项系数不为0的前提，联立两个条件即可求出a的值。
【解析】
第12题
已知方程$(m - 2)x^2 + 5x + m^2 - 4 = 0$是一元二次方程，且常数项为0：
1. 由一元二次方程的定义得：二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$；
2. 由常数项为0得：$m^2-4=0$，解得$m=\pm2$；
结合两个条件，舍去$m=2$，故$m=-2$。
变式题
先将方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得$3ax^2 + a^2x + a + 9 -6x^2 -4x=0$，
合并同类项得$(3a-6)x^2 + (a^2-4)x + (a+9)=0$，
已知该方程是一元二次方程且没有一次项：
1. 由一元二次方程的定义得：二次项系数不为0，即$3a-6≠0$，解得$a≠2$；
2. 由没有一次项得：一次项系数为0，即$a^2-4=0$，解得$a=\pm2$；
结合两个条件，舍去$a=2$，故$a=-2$。
【答案】
$-2$；$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 方程的求解
【点评】
这两道题是一元二次方程概念的典型易错题，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免只根据项的特征求解后出现增根，解题时要先确定隐含限制条件，再结合题意列等式求解，最后对结果进行验证。
【难度系数】
0.6
对于第一问，求解常数项为0时m的值，需结合一元二次方程的定义思考：首先一元二次方程要求二次项系数不为0，保证方程是二次方程；其次题目要求常数项为0，联立这两个条件即可求出符合要求的m值。
对于变式题，首先要先将方程整理为一元二次方程的一般形式，明确各项系数，题目要求没有一次项即一次项系数为0，同时仍需满足二次项系数不为0的前提，联立两个条件即可求出a的值。
【解析】
第12题
已知方程$(m - 2)x^2 + 5x + m^2 - 4 = 0$是一元二次方程，且常数项为0：
1. 由一元二次方程的定义得：二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$；
2. 由常数项为0得：$m^2-4=0$，解得$m=\pm2$；
结合两个条件，舍去$m=2$，故$m=-2$。
变式题
先将方程整理为一元二次方程的一般形式：
移项得$3ax^2 + a^2x + a + 9 -6x^2 -4x=0$，
合并同类项得$(3a-6)x^2 + (a^2-4)x + (a+9)=0$，
已知该方程是一元二次方程且没有一次项：
1. 由一元二次方程的定义得：二次项系数不为0，即$3a-6≠0$，解得$a≠2$；
2. 由没有一次项得：一次项系数为0，即$a^2-4=0$，解得$a=\pm2$；
结合两个条件，舍去$a=2$，故$a=-2$。
【答案】
$-2$；$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的一般形式
3. 方程的求解
【点评】
这两道题是一元二次方程概念的典型易错题，解题的关键是牢记一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免只根据项的特征求解后出现增根，解题时要先确定隐含限制条件，再结合题意列等式求解，最后对结果进行验证。
【难度系数】
0.6
13. 能力训练点·信息加工 根据下列问题列出一元二次方程，并将其化成一般形式. 如图，用100 m长的围栏围成总面积为400 m²的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙（墙足够长），求AB的长. 
答案
13.解：设AB的长为x m. 由题意,得$x(100-4x)=400$,化成一般形式为$x^2 -25x +100=0$.
解析
【分析】
解题时首先设AB的长度为未知数，再分析围栏的构成：AD边靠墙不需要围栏，观察图形可知垂直于墙的边共有4条（AB、中间2条分隔边、DC），长度均等于AB的长；结合总围栏长100m，即可表示出平行于墙的边的总长度，最后根据“矩形面积=长×宽”，结合总面积为400m²列出方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：设AB的长为$ x $ m。
垂直于墙的围栏共4段，每段长均为$ x $ m，因此平行于墙的围栏总长度为$ (100-4x) $ m。
根据羊圈总面积为400 m²列方程：
$ x(100-4x)=400 $
将方程整理为一般形式：
展开得$ 100x-4x^2=400 $，移项并将二次项系数化为1，整理得$ x^2-25x+100=0 $。
【答案】
设AB的长为$ x $ m，所列方程为$ x(100-4x)=400 $，化成一般形式为$ x^2 -25x +100=0 $。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是实际问题结合一元二次方程的基础题，解题关键是准确分析围栏的分段数量，正确表示出平行于墙的边长，再根据面积公式列方程，整理一般形式时注意将二次项系数化为正数。
【难度系数】
0.7
解题时首先设AB的长度为未知数，再分析围栏的构成：AD边靠墙不需要围栏，观察图形可知垂直于墙的边共有4条（AB、中间2条分隔边、DC），长度均等于AB的长；结合总围栏长100m，即可表示出平行于墙的边的总长度，最后根据“矩形面积=长×宽”，结合总面积为400m²列出方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：设AB的长为$ x $ m。
垂直于墙的围栏共4段，每段长均为$ x $ m，因此平行于墙的围栏总长度为$ (100-4x) $ m。
根据羊圈总面积为400 m²列方程：
$ x(100-4x)=400 $
将方程整理为一般形式：
展开得$ 100x-4x^2=400 $，移项并将二次项系数化为1，整理得$ x^2-25x+100=0 $。
【答案】
设AB的长为$ x $ m，所列方程为$ x(100-4x)=400 $，化成一般形式为$ x^2 -25x +100=0 $。
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是实际问题结合一元二次方程的基础题，解题关键是准确分析围栏的分段数量，正确表示出平行于墙的边长，再根据面积公式列方程，整理一般形式时注意将二次项系数化为正数。
【难度系数】
0.7
14. [2026合肥期中]已知$x=a$是一元二次方程$x^2 - 2026x - 3 = 0$的一个根，求$a^2 - 2025a - \frac{a^2 - 3}{2026} - 1$的值.
答案
14.解：2.
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入原方程可得到关于a的等式，再对该等式进行变形，得到待求式中各部分对应的等价表达式，最后采用整体代入的方法化简待求式，即可求出结果，无需直接求解a的值，避免复杂运算。
【解析】
∵ $x=a$ 是一元二次方程 $x^2 - 2026x - 3 = 0$ 的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2026a - 3 = 0$，
变形可得：$a^2 - 2026a = 3$，$a^2 - 3 = 2026a$。
将上述两个式子代入待求式：
$\begin{aligned}&a^2 - 2025a - \frac{a^2 - 3}{2026} - 1\\=&(a^2 - 2026a) + a - \frac{2026a}{2026} - 1\\=&3 + a - a - 1\\=&2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式化简求值
【点评】
本题解题关键是利用一元二次方程根的定义得到a满足的关系式，再通过整体代入的方法化简计算，避免了求解a的具体值，大幅降低了计算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将x=a代入原方程可得到关于a的等式，再对该等式进行变形，得到待求式中各部分对应的等价表达式，最后采用整体代入的方法化简待求式，即可求出结果，无需直接求解a的值，避免复杂运算。
【解析】
∵ $x=a$ 是一元二次方程 $x^2 - 2026x - 3 = 0$ 的一个根，
∴ 将$x=a$代入方程得：$a^2 - 2026a - 3 = 0$，
变形可得：$a^2 - 2026a = 3$，$a^2 - 3 = 2026a$。
将上述两个式子代入待求式：
$\begin{aligned}&a^2 - 2025a - \frac{a^2 - 3}{2026} - 1\\=&(a^2 - 2026a) + a - \frac{2026a}{2026} - 1\\=&3 + a - a - 1\\=&2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义，代数式化简求值
【点评】
本题解题关键是利用一元二次方程根的定义得到a满足的关系式，再通过整体代入的方法化简计算，避免了求解a的具体值，大幅降低了计算量，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
15. 中考趋势·代数推理 定义:方程$cx^2+bx+a=0$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的倒方程，其中$a,b,c$为常数且$a,c≠0$.根据此定义解决下列问题:
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的“倒方程”是
(2)若$x=-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”的解，求出$c$的值；
(3)若$m$是一元二次方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”的一个实数根，则$m^3+m^2-6m+2027$的值为
(1)一元二次方程$-4x^2+3x+1=0$的“倒方程”是
$x^2 +3x -4=0$
；(2)若$x=-1$是一元二次方程$x^2-2x+c=0$的“倒方程”的解，求出$c$的值；
(3)若$m$是一元二次方程$-6x^2+x+1=0$的“倒方程”的一个实数根，则$m^3+m^2-6m+2027$的值为
2027
.答案
15.解：(1)$x^2 +3x -4=0$ (2)$-3$. (3)2027
解析
【分析】
解题核心是准确理解“倒方程”的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换，得到的$cx^2+bx+a=0$就是原方程的倒方程，三小问的解题思路如下：
(1)直接互换原方程的二次项系数和常数项，即可写出对应的倒方程；
(2)先根据定义写出原方程的倒方程，再将$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值；
(3)先写出原方程的倒方程，根据方程根的性质得到关于$m$的等式，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可得结果。
【解析】
(1)原方程为$-4x^2+3x+1=0$，其二次项系数为$-4$，常数项为$1$，根据倒方程定义互换两个系数，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2)原方程$x^2-2x+c=0$的倒方程为$cx^2-2x+1=0$，
把$x=-1$代入倒方程得：$c×(-1)^2 -2×(-1)+1=0$，
化简得：$c+2+1=0$，
解得$c=-3$。
(3)原方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程为$x^2+x-6=0$，
因为$m$是该倒方程的根，所以$m^2+m-6=0$，即$m^2+m=6$，$m^2=6-m$。
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2027=m· m^2+m^2-6m+2027$
代入$m^2=6-m$得：
$=m(6-m)+(6-m)-6m+2027$
$=6m-m^2+6-m-6m+2027$
$=-(m^2+m)+6+2027$
再代入$m^2+m=6$得：
$=-6+6+2027=2027$。
【答案】
(1)$x^2 + 3x - 4=0$；(2)$-3$；(3)$2027$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解，代数式降次求值
【点评】
本题围绕新定义考查一元二次方程的基础概念和根的应用，解题关键是抓住倒方程的系数互换规则，第三问的整体降次代入法是代数式求值的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题核心是准确理解“倒方程”的定义：将原一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的二次项系数$a$和常数项$c$互换，得到的$cx^2+bx+a=0$就是原方程的倒方程，三小问的解题思路如下：
(1)直接互换原方程的二次项系数和常数项，即可写出对应的倒方程；
(2)先根据定义写出原方程的倒方程，再将$x=-1$代入倒方程，得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值；
(3)先写出原方程的倒方程，根据方程根的性质得到关于$m$的等式，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可得结果。
【解析】
(1)原方程为$-4x^2+3x+1=0$，其二次项系数为$-4$，常数项为$1$，根据倒方程定义互换两个系数，可得倒方程为$x^2+3x-4=0$。
(2)原方程$x^2-2x+c=0$的倒方程为$cx^2-2x+1=0$，
把$x=-1$代入倒方程得：$c×(-1)^2 -2×(-1)+1=0$，
化简得：$c+2+1=0$，
解得$c=-3$。
(3)原方程$-6x^2+x+1=0$的倒方程为$x^2+x-6=0$，
因为$m$是该倒方程的根，所以$m^2+m-6=0$，即$m^2+m=6$，$m^2=6-m$。
对所求代数式变形：
$m^3+m^2-6m+2027=m· m^2+m^2-6m+2027$
代入$m^2=6-m$得：
$=m(6-m)+(6-m)-6m+2027$
$=6m-m^2+6-m-6m+2027$
$=-(m^2+m)+6+2027$
再代入$m^2+m=6$得：
$=-6+6+2027=2027$。
【答案】
(1)$x^2 + 3x - 4=0$；(2)$-3$；(3)$2027$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解，代数式降次求值
【点评】
本题围绕新定义考查一元二次方程的基础概念和根的应用，解题关键是抓住倒方程的系数互换规则，第三问的整体降次代入法是代数式求值的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
