如图,池塘两端A,B间的距离无法直接测量,请设计测量A,B之间距离的方案.
小明设计的方案如图①,他先在平地上选取一个可以直接到达A,B的点O,然后连接AO和BO,接着分别延长AO和BO并且使$CO=AO$,$DO=BO$,最后连接$CD$,测出$CD$的长即可.
小红的方案如图②,先确定直线$AB$,过点$B$作$AB$的垂线$BE$,在$BE$上选取一个可以直接到达点$A$的点$D$,连接$AD$,在线段$AB$的延长线上取点$C$,使$DC=DA$,测出$BC$的长即可.
你认为以上两种方案可行吗?请说明理由.

两种方案都可行.理由如下：
小明的方案：
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}AO=CO, \\∠AOB=∠COD, \\BO=DO,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore AB=CD.$
$\therefore$ 测出 $CD$ 的长即可得出 $A,B$ 之间的距离.
小红的方案：
$\because BD ⊥ AC,$
$\therefore ∠ABD=∠CBD=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBD$ 中，
$\begin{cases}BD=BD, \\AD=CD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD(\mathrm{HL}).$
$\therefore AB=CB.$
$\therefore$ 测出 $BC$ 的长即可得出 $A,B$ 之间的距离.

【分析】
要判断两种测量方案是否可行，核心是验证方案中测量的线段长度是否与AB相等，可通过证明三角形全等得到对应边相等的结论来验证。对于小明的方案，已知两组对应边相等，再结合对顶角相等，可通过SAS判定两个三角形全等；对于小红的方案，两个三角形是直角三角形，已知斜边相等，还有公共直角边，可通过HL判定直角三角形全等，若能证全等则对应边相等，方案就可行。
【解析】
两种方案都可行，理由如下：
小明的方案：
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}AO=CO, \\∠ AOB=∠ COD, \\BO=DO,\end{cases}$
$\therefore △ AOB ≌ △ COD(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=CD$，因此测出$CD$的长即可得出A、B之间的距离。
小红的方案：
$\because BD ⊥ AC$，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CBD$中，
$\begin{cases}BD=BD, \\AD=CD,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CBD(\mathrm{HL})$。
$\therefore AB=CB$，因此测出$BC$的长即可得出A、B之间的距离。
【答案】
两种方案都可行。小明的方案利用SAS证明$△ AOB≌△ COD$，得$AB=CD$，测$CD$长即可得A、B距离；小红的方案利用HL证明$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CBD$，得$AB=BC$，测$BC$长即可得A、B距离。
【知识点】
1. SAS全等判定
2. HL全等判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形将无法直接测量的线段转化为易测量的线段，体现了数学的实际应用价值，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的核心。
【难度系数】
0.8

1. 在课堂上,李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图①)的卡片,然后要求同学们画一个 Rt △A' B' C', 使得 Rt △A' B' C' ≌ Rt△ABC. 小宏同学先画出了∠MB'N=90°,后续画图的主要过程如图②所示.这种画图方法的依据是 ()


A.SAS
B.AAS
C.ASA
D.HL

1.D

【分析】
首先观察作图步骤：第一步先构造了与∠B相等的直角∠MB'N=90°，同时用圆规截取B'C'=BC，得到两个直角三角形的一组直角边对应相等；第二步以C'为圆心，AC长为半径画弧得到A'，即A'C'=AC，得到两个直角三角形的斜边对应相等。两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等，符合HL判定定理的条件，即可判断作图依据。
【解析】
由作图过程可知：
1. ∠B=∠B'=90°，即△ABC和△A'B'C'均为直角三角形；
2. 第一步截取得到B'C'=BC，是一组直角边对应相等；
3. 第二步画弧得到A'C'=AC，是一组斜边对应相等。
根据直角三角形全等的判定定理“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）”，可得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC，因此该画图方法的依据是HL。
【答案】
D
【知识点】
尺规作图；直角三角形全等判定
【点评】
本题结合尺规作图考查直角三角形全等的判定，解题的关键是根据作图步骤提炼出两个三角形对应的边相等的关系，准确匹配全等判定定理，属于基础定理应用类题目。
【难度系数】
0.8

2. 如图，若要用“HL”证明 $Rt△ ABC ≌ Rt△ ABD$，则还需补充条件（）

A.$∠ BAC=∠ BAD$
B.$∠ C=∠ D$
C.$AC=AD$
D.$BC=AD$

2.C

【分析】
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，首先要明确HL的判定规则：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。观察图形可知，Rt△ABC和Rt△ABD有公共斜边AB，斜边已经满足相等的条件，接下来只需补充一组对应的直角边相等即可，再结合选项判断符合要求的条件。
【解析】
“HL”判定定理的内容为：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
已知△ABC和△ABD都是直角三角形，∠C=∠D=90°，且两个三角形的斜边AB为公共边，即$AB=AB$，已经满足HL中斜边相等的要求，若要使用HL判定全等，还需要补充一组直角边对应相等，即$AC=AD$或$BC=BD$。
对选项逐一分析：
A选项$∠ BAC=∠ BAD$，结合$∠ C=∠ D$、$AB=AB$，可通过AAS判定全等，不属于HL的判定条件；
B选项$∠ C=∠ D$是已知条件，无法额外判定全等，也不属于HL要求的边的条件；
C选项$AC=AD$，是一组对应直角边相等，结合公共斜边$AB=AB$，可通过HL判定$Rt△ ABC ≌ Rt△ ABD$，符合要求；
D选项BC和AD不是两个三角形的对应边，无法判定全等。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理；全等三角形判定
【点评】
本题考查直角三角形HL判定定理的应用，解题时需注意HL仅适用于直角三角形，且必须满足斜边和一组对应直角边分别相等，要注意区分全等三角形的不同判定条件，避免混淆角的条件和边的条件。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$△ ABC$和$△ CDE$中，$∠ ACB = ∠ CED=90°,AB=CD,BC=DE$,则下列结论不一定成立的是 ()

A.$△ ABC ≌ △ CDE$
B.$∠ CAB = ∠ ECD$
C.$AB ⊥ CD$
D.$CE=BE$

3.D

【分析】
解题时先利用直角三角形全等的HL判定定理证明△ABC与△CDE全等，再结合全等三角形对应角相等、直角三角形两锐角互余的性质，逐一验证每个选项是否成立，最终筛选出不一定成立的结论。
【解析】
1. 证明三角形全等：
在$Rt△ ABC$和$Rt△ CDE$中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD\\ BC=DE\end{array} $
根据直角三角形全等的HL判定定理，可得$Rt△ ABC≌Rt△ CDE$，故A选项结论成立，不符合题意。
2. 推导角的关系：
由全等三角形对应角相等，可得$∠ CAB=∠ ECD$，$∠ B=∠ D$，$CE=AC$，故B选项结论成立，不符合题意。
3. 证明垂直：
在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB+∠ B=90°$，结合$∠ CAB=∠ ECD$，等量代换得$∠ ECD+∠ B=90°$。设$AB$与$CD$交于点$F$，则$∠ CFB=180°-(∠ ECD+∠ B)=90°$，即$AB⊥ CD$，故C选项结论成立，不符合题意。
4. 分析D选项：
题干中未给出$E$是$BC$中点的相关条件，无法推出$CE=BE$，故D选项结论不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查直角三角形全等的判定及性质的应用，解题时需注意没有明确给出的条件不能默认成立，要通过已知条件严谨推导。
【难度系数】
0.7