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1. 如图，直线$ l $是一条公路，$ A,B $是两个村庄.欲在$ l $上的某点处修建一个车站，直接向$ A,B $两地提供乘车服务.现有如下四种建设方案，图中实线表示铺设的行走道路，则铺设道路最短的方案是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
本题要求在直线l上找一点，使得该点到A、B两点的距离之和最短，属于直线同侧两点的最短路径问题。思考步骤如下：首先明确核心原理是两点之间线段最短，但A、B在l同侧，直接连接AB无法和l相交得到符合要求的点，因此需要借助轴对称的性质，将其中一个点对称到l的另一侧，把同侧两点转化为异侧两点，再利用两点之间线段最短找到最优解，最后对照各选项的作图判断即可。
【解析】
要使铺设的道路最短，就是要在直线l上找到一点P，使PA+PB的和最小。
根据最短路径的解决方法：作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点与另一个点，该连线与直线l的交点即为所求点。此时根据轴对称性质，PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，由两点之间线段最短可知，此时的和就是最短的。
对各选项逐一分析：
选项A：路径为A到l的垂足再到B，总长度大于最优路径长度，不符合要求；
选项B：路径为A到B的竖线段再到l，总长度明显更长，不符合要求；
选项C：作图方法错误，没有通过对称转化线段，得到的路径和不是最短的，不符合要求；
选项D：作A关于l的对称点A'，连接A'B与l交于一点，该点就是所求的车站位置，此时铺设的道路长度最短，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础典型题，解题的关键是掌握同侧两点最短路径的构造方法，通过轴对称转化线段，结合两点之间线段最短的原理判断最短路径，这类题型在生活实际中应用较广。
【难度系数】
0.8
本题要求在直线l上找一点，使得该点到A、B两点的距离之和最短，属于直线同侧两点的最短路径问题。思考步骤如下：首先明确核心原理是两点之间线段最短，但A、B在l同侧，直接连接AB无法和l相交得到符合要求的点，因此需要借助轴对称的性质，将其中一个点对称到l的另一侧，把同侧两点转化为异侧两点，再利用两点之间线段最短找到最优解，最后对照各选项的作图判断即可。
【解析】
要使铺设的道路最短，就是要在直线l上找到一点P，使PA+PB的和最小。
根据最短路径的解决方法：作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点与另一个点，该连线与直线l的交点即为所求点。此时根据轴对称性质，PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，由两点之间线段最短可知，此时的和就是最短的。
对各选项逐一分析：
选项A：路径为A到l的垂足再到B，总长度大于最优路径长度，不符合要求；
选项B：路径为A到B的竖线段再到l，总长度明显更长，不符合要求；
选项C：作图方法错误，没有通过对称转化线段，得到的路径和不是最短的，不符合要求；
选项D：作A关于l的对称点A'，连接A'B与l交于一点，该点就是所求的车站位置，此时铺设的道路长度最短，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的基础典型题，解题的关键是掌握同侧两点最短路径的构造方法，通过轴对称转化线段，结合两点之间线段最短的原理判断最短路径，这类题型在生活实际中应用较广。
【难度系数】
0.8
2. 如图,直线$ l $外有不重合的两点$ A,B $,在直线$ l $上求作一点$ C $,使得$ AC+BC $的长度最短.作法为:①作点$ B $关于直线$ l $的对称点$ B' $;②连接$ AB' $,与直线$ l $相交于点$ C $,则点$ C $为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是 (
A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
D
)A.转化思想
B.三角形的两边之和大于第三边
C.两点之间,线段最短
D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
答案
2.D
解析
【分析】
这道题考查最短路径（将军饮马）问题的推导原理，解题时先梳理整个作图、验证最短的全过程，将每一步用到的知识对应选项逐一排查即可：首先作点B的对称点B'，利用轴对称性质将BC转化为B'C，把求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C的最小值，这一步用到转化思想；要让AC+B'C最短，依据是两点之间线段最短，因此连接AB'与直线l的交点就是所求点C；后续验证C是最短点时，可任取直线上另一点构造三角形，利用三角形两边之和大于第三边证明其余点对应的线段和都更长。全程没有涉及三角形外角的相关性质。
【解析】
我们逐一分析各选项是否被用到：
1. 选项A：解题时将求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C的最小值，用到了转化思想，不符合题意；
2. 选项B：验证点C为最短路径点时，在直线l上任取异于C的点C'，连接AC'、BC'、B'C'，由对称可知BC'=B'C'，在△AC'B'中，根据三角形两边之和大于第三边可得$AC'+B'C' ＞ AB'=AC+BC$，即$AC'+BC' ＞ AC+BC$，证明了C点的合理性，用到了该知识，不符合题意；
3. 选项C：将AC+BC转化为AC+B'C后，要让两线段和最短，依据“两点之间，线段最短”，连接AB'与直线l的交点即为C点，用到了该知识，不符合题意；
4. 选项D：整个解题过程中没有涉及三角形外角等于与它不相邻两个内角和的相关性质，该知识未被用到，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
这道题侧重考查最短路径模型的原理，要求学生不仅要掌握作图方法，还要理解每一步操作的理论依据，属于对基础原理应用的考查。
【难度系数】
0.7
这道题考查最短路径（将军饮马）问题的推导原理，解题时先梳理整个作图、验证最短的全过程，将每一步用到的知识对应选项逐一排查即可：首先作点B的对称点B'，利用轴对称性质将BC转化为B'C，把求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C的最小值，这一步用到转化思想；要让AC+B'C最短，依据是两点之间线段最短，因此连接AB'与直线l的交点就是所求点C；后续验证C是最短点时，可任取直线上另一点构造三角形，利用三角形两边之和大于第三边证明其余点对应的线段和都更长。全程没有涉及三角形外角的相关性质。
【解析】
我们逐一分析各选项是否被用到：
1. 选项A：解题时将求AC+BC最小值的问题转化为求AC+B'C的最小值，用到了转化思想，不符合题意；
2. 选项B：验证点C为最短路径点时，在直线l上任取异于C的点C'，连接AC'、BC'、B'C'，由对称可知BC'=B'C'，在△AC'B'中，根据三角形两边之和大于第三边可得$AC'+B'C' ＞ AB'=AC+BC$，即$AC'+BC' ＞ AC+BC$，证明了C点的合理性，用到了该知识，不符合题意；
3. 选项C：将AC+BC转化为AC+B'C后，要让两线段和最短，依据“两点之间，线段最短”，连接AB'与直线l的交点即为C点，用到了该知识，不符合题意；
4. 选项D：整个解题过程中没有涉及三角形外角等于与它不相邻两个内角和的相关性质，该知识未被用到，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形三边关系
【点评】
这道题侧重考查最短路径模型的原理，要求学生不仅要掌握作图方法，还要理解每一步操作的理论依据，属于对基础原理应用的考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在四边形ABCD内部,且点E到BC边的距离为2,当BE+EC的值最小时,∠ECB的度数为 (
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
D
)A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
3.D
解析
【分析】
本题是最短路径与角度计算结合的题型，解题思路如下：①首先确定动点E的轨迹：点E到BC的距离恒为2，因此E在与BC平行、距离BC为2的直线上；②要使BE+EC的和最小，属于“两定一动”的将军饮马模型，通过作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段，根据两点之间线段最短确定E的位置；③结合已知边长判断三角形形状，即可求出∠ECB的度数。
【解析】
1. 作直线$l$平行于$BC$，且直线$l$到$BC$的距离为2，由题意可知点$E$在直线$l$上。
2. 作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，由对称性质可得：$BE=B'E$，且点$B$到直线$l$的距离为2，因此$BB'=2×2=4$，且$BB'⊥ BC$。
3. 则$BE+EC = B'E + EC$，根据两点之间线段最短，当$B'$、$E$、$C$三点共线时，$B'E+EC$取得最小值，即此时$BE+EC$的值最小。
4. 已知$BC=4$，故$BB'=BC=4$，又$∠ B'BC=90°$，因此$△ B'BC$是等腰直角三角形，可得$∠ ECB=45°$。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，等腰直角三角形的判定，轴对称的性质
【点评】
本题将最短路径模型和三角形角度计算结合，解题的核心是先明确动点的运动轨迹，再利用轴对称转化线段长度，简化最值问题的求解。
【难度系数】
0.6
本题是最短路径与角度计算结合的题型，解题思路如下：①首先确定动点E的轨迹：点E到BC的距离恒为2，因此E在与BC平行、距离BC为2的直线上；②要使BE+EC的和最小，属于“两定一动”的将军饮马模型，通过作其中一个定点关于动点所在直线的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段，根据两点之间线段最短确定E的位置；③结合已知边长判断三角形形状，即可求出∠ECB的度数。
【解析】
1. 作直线$l$平行于$BC$，且直线$l$到$BC$的距离为2，由题意可知点$E$在直线$l$上。
2. 作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，由对称性质可得：$BE=B'E$，且点$B$到直线$l$的距离为2，因此$BB'=2×2=4$，且$BB'⊥ BC$。
3. 则$BE+EC = B'E + EC$，根据两点之间线段最短，当$B'$、$E$、$C$三点共线时，$B'E+EC$取得最小值，即此时$BE+EC$的值最小。
4. 已知$BC=4$，故$BB'=BC=4$，又$∠ B'BC=90°$，因此$△ B'BC$是等腰直角三角形，可得$∠ ECB=45°$。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，等腰直角三角形的判定，轴对称的性质
【点评】
本题将最短路径模型和三角形角度计算结合，解题的核心是先明确动点的运动轨迹，再利用轴对称转化线段长度，简化最值问题的求解。
【难度系数】
0.6
4.【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上.同时,对称在解决生活中的实际问题时,也往往有很大的作用.
【问题提出】某社区要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离之和最短?该问题给牛奶公司造成了困扰,现向居民征求意见.
【问题解决】小明将居民区A,B和街道抽象成如图①所示的平面图形,并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.
如图①,作点A关于直线m的对称点A',连接A'B与直线m交于点C,则点C就是所求的位置.
(1)请你在下列阅读、应用的过程中,完成解答并填空:
证明:
,在直线m上另取任一点D,连接AD,A'D,BD,
∵ 直线m是点A,A'的对称轴,点C,D在m上,
∴ CA=
∴ AC+CB=A'C+CB=
在△A'DB中,
∵ A'B＜A'D+DB,
∴ A'C+CB＜A'D+DB.
∴ AC+CB＜AD+DB,即AC+CB最小.
(2)如图③,在等边三角形ABC中,E是AB上的点,AD是△ABC的角平分线,P是AD上的点,若AD=5,则PE+PB的最小值为
【拓展应用】
(3)某市“雨雨雨”模式开启,该市某校的志愿者在查阅地图后,画出了平面示意图(如图④).其中,点A表示龙潭公园,点B表示宝能广场,点C表示万科里,点D表示万科广场,点E表示龙城广场地铁站.志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞,使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离之和最小.若点A与点C关于BD对称,请你用尺子在BD上画出“共享雨伞”的摆放位置(用点G表示).
【问题提出】某社区要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离之和最短?该问题给牛奶公司造成了困扰,现向居民征求意见.
【问题解决】小明将居民区A,B和街道抽象成如图①所示的平面图形,并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.
如图①,作点A关于直线m的对称点A',连接A'B与直线m交于点C,则点C就是所求的位置.
(1)请你在下列阅读、应用的过程中,完成解答并填空:
证明:
,在直线m上另取任一点D,连接AD,A'D,BD,∵ 直线m是点A,A'的对称轴,点C,D在m上,
∴ CA=
CA'
,DA=DA'
.∴ AC+CB=A'C+CB=
A'B
.在△A'DB中,
∵ A'B＜A'D+DB,
∴ A'C+CB＜A'D+DB.
∴ AC+CB＜AD+DB,即AC+CB最小.
(2)如图③,在等边三角形ABC中,E是AB上的点,AD是△ABC的角平分线,P是AD上的点,若AD=5,则PE+PB的最小值为
5
.【拓展应用】
(3)某市“雨雨雨”模式开启,该市某校的志愿者在查阅地图后,画出了平面示意图(如图④).其中,点A表示龙潭公园,点B表示宝能广场,点C表示万科里,点D表示万科广场,点E表示龙城广场地铁站.志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞,使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离之和最小.若点A与点C关于BD对称,请你用尺子在BD上画出“共享雨伞”的摆放位置(用点G表示).
答案
4.(1) $CA'$ $DA'$ $A'B$
(2)5
(3)如图,连接AE交BD于点G,则点G即为所求的“共享雨伞”的摆放位置.
解析
【分析】
本题围绕最短路径的“将军饮马”模型展开，解题思路如下：
(1) 利用轴对称的性质，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，将同侧点到对称轴上点的距离和转化为两点间线段长度，结合三角形三边关系即可完成填空；
(2) 结合等边三角形三线合一的轴对称性，找到点B关于AD的对称点为点C，将PE+PB转化为PE+PC，其最小值等于等边三角形的高，即AD的长度；
(3) 首先明确G在BD上时，GB+GD为定值BD，因此只需保证GC+GE最小即可，利用点C和点A关于BD对称的性质，将GC转化为GA，根据两点之间线段最短，连接AE与BD的交点就是所求的G点。
【解析】
(1) 根据轴对称的性质：对称轴上任意一点到两个对称点的距离相等，已知直线m是点A、A'的对称轴，点C、D在m上，因此$CA=CA'$，$DA=DA'$；
由此可得$AC+CB=A'C+CB=A'B$，再结合三角形两边之和大于第三边，即可证明$AC+CB$是最短距离。
(2) 等边三角形ABC中，AD是角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质，AD垂直平分BC，因此点B和点C关于AD对称，可得$PB=PC$；
则$PE+PB=PE+PC$，根据两点之间线段最短，$PE+PC$的最小值为线段CE的长度；
等边三角形各边上的高长度相等，AD是BC边上的高，CE为AB边上的高时$CE=AD=5$，因此$PE+PB$的最小值为5。
(3) 点G在BD上，因此$GB+GD=BD$（为固定值），要使G到B、C、D、E的距离和最小，只需满足$GC+GE$最小即可；
已知点A与点C关于BD对称，根据轴对称性质可得$GC=GA$，因此$GC+GE=GA+GE$；
根据两点之间线段最短，$GA+GE$的最小值为线段AE的长度，因此连接AE，AE与BD的交点即为所求的点G。
【答案】
(1) $CA'$；$DA'$；$A'B$
(2) $\boldsymbol{5}$
(3) 如图,连接AE交BD于点G,则点G即为所求的“共享雨伞”的摆放位置.
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的性质
【点评】
本题以生活实际场景为载体，核心考查“将军饮马”最短路径模型的应用，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，能将同侧两点距离和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题，考查了几何转化思想和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕最短路径的“将军饮马”模型展开，解题思路如下：
(1) 利用轴对称的性质，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，将同侧点到对称轴上点的距离和转化为两点间线段长度，结合三角形三边关系即可完成填空；
(2) 结合等边三角形三线合一的轴对称性，找到点B关于AD的对称点为点C，将PE+PB转化为PE+PC，其最小值等于等边三角形的高，即AD的长度；
(3) 首先明确G在BD上时，GB+GD为定值BD，因此只需保证GC+GE最小即可，利用点C和点A关于BD对称的性质，将GC转化为GA，根据两点之间线段最短，连接AE与BD的交点就是所求的G点。
【解析】
(1) 根据轴对称的性质：对称轴上任意一点到两个对称点的距离相等，已知直线m是点A、A'的对称轴，点C、D在m上，因此$CA=CA'$，$DA=DA'$；
由此可得$AC+CB=A'C+CB=A'B$，再结合三角形两边之和大于第三边，即可证明$AC+CB$是最短距离。
(2) 等边三角形ABC中，AD是角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质，AD垂直平分BC，因此点B和点C关于AD对称，可得$PB=PC$；
则$PE+PB=PE+PC$，根据两点之间线段最短，$PE+PC$的最小值为线段CE的长度；
等边三角形各边上的高长度相等，AD是BC边上的高，CE为AB边上的高时$CE=AD=5$，因此$PE+PB$的最小值为5。
(3) 点G在BD上，因此$GB+GD=BD$（为固定值），要使G到B、C、D、E的距离和最小，只需满足$GC+GE$最小即可；
已知点A与点C关于BD对称，根据轴对称性质可得$GC=GA$，因此$GC+GE=GA+GE$；
根据两点之间线段最短，$GA+GE$的最小值为线段AE的长度，因此连接AE，AE与BD的交点即为所求的点G。
【答案】
(1) $CA'$；$DA'$；$A'B$
(2) $\boldsymbol{5}$
(3) 如图,连接AE交BD于点G,则点G即为所求的“共享雨伞”的摆放位置.
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；等边三角形的性质
【点评】
本题以生活实际场景为载体，核心考查“将军饮马”最短路径模型的应用，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，能将同侧两点距离和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题，考查了几何转化思想和知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
