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例2 如图，小明家(记作A)在火车站(记作B)南偏西$30°$方向且相距4000 m，小强家(记作C)在火车站南偏东$60°$方向且相距3000 m，则小明家与小强家的距离为多少米？
[点拨] 根据题意，可得$∠ ABC=90°$，$AB=4000\ \mathrm{m}$，$BC=3000\ \mathrm{m}$，然后利用勾股定理可求得$AC$。
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，关键是得出$△ ABC$是直角三角形，然后利用勾股定理求解。
[解] 如图，连接$AC$。
依题意得$∠ ABC=90°$，$AB=4000\ \mathrm{m}$，$BC=3000\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4000^2 + 3000^2 = 5000^2$，
所以$AC=5000\ \mathrm{m}$。
[点拨] 根据题意，可得$∠ ABC=90°$，$AB=4000\ \mathrm{m}$，$BC=3000\ \mathrm{m}$，然后利用勾股定理可求得$AC$。
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，关键是得出$△ ABC$是直角三角形，然后利用勾股定理求解。
[解] 如图，连接$AC$。
依题意得$∠ ABC=90°$，$AB=4000\ \mathrm{m}$，$BC=3000\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4000^2 + 3000^2 = 5000^2$，
所以$AC=5000\ \mathrm{m}$。
答案
解：连接AC。
依题意得∠ABC = 30° + 60° = 90°，AB = 4000 m，BC = 3000 m。
在Rt△ABC中，由勾股定理得
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4000^2 + 3000^2 = 5000^2$，
所以$AC = 5000\ \mathrm{m}$。
答：小明家与小强家的距离为5000米。
依题意得∠ABC = 30° + 60° = 90°，AB = 4000 m，BC = 3000 m。
在Rt△ABC中，由勾股定理得
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4000^2 + 3000^2 = 5000^2$，
所以$AC = 5000\ \mathrm{m}$。
答：小明家与小强家的距离为5000米。
解析
【分析】
解题时首先连接A、C构造出△ABC，再根据题意给出的方位信息分析角的度数：小明家在火车站南偏西30°，小强家在火车站南偏东60°，两个角度相加可得到∠ABC=90°，由此确定△ABC是直角三角形，且AB、BC为两条直角边，长度已知；最后要求斜边AC的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
连接AC。
依题意得∠ABC = 30° + 60° = 90°，AB = 4000 m，BC = 3000 m。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4000^2 + 3000^2 = 16000000 + 9000000 = 25000000 = 5000^2$，
因为长度为正数，所以$AC = 5000\ \mathrm{m}$。
答：小明家与小强家的距离为5000米。
【答案】
5000米
【知识点】
方向角的应用；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题，解题关键是根据方位角判断出三角形为直角三角形，再代入公式计算，侧重考查学生对基础知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先连接A、C构造出△ABC，再根据题意给出的方位信息分析角的度数：小明家在火车站南偏西30°，小强家在火车站南偏东60°，两个角度相加可得到∠ABC=90°，由此确定△ABC是直角三角形，且AB、BC为两条直角边，长度已知；最后要求斜边AC的长度，直接运用勾股定理计算即可。
【解析】
连接AC。
依题意得∠ABC = 30° + 60° = 90°，AB = 4000 m，BC = 3000 m。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4000^2 + 3000^2 = 16000000 + 9000000 = 25000000 = 5000^2$，
因为长度为正数，所以$AC = 5000\ \mathrm{m}$。
答：小明家与小强家的距离为5000米。
【答案】
5000米
【知识点】
方向角的应用；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题，解题关键是根据方位角判断出三角形为直角三角形，再代入公式计算，侧重考查学生对基础知识点的实际运用能力。
【难度系数】
0.8
变式训练2 | 如图，有一块边长为40 m的正方形绿地ABCD，在绿地旁边E处有健身器材，BE=9 m。由于居住在A处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌：“少走■ m，踏之何忍”。请通过计算，帮小明在标牌的■处填上适当的数。
答案
解:在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$AB=40\ \mathrm{m},BE=9\ \mathrm{m}$，由勾股定理得$AE^2=AB^2+BE^2=40^2+9^2$，解得$AE=41\ \mathrm{m}$。$AB+BE-AE=40\ \mathrm{m}+9\ \mathrm{m}-41\ \mathrm{m}=8\ \mathrm{m}$，所以标牌上应填的数是 8。
解析
【分析】
要计算居民少走的路程，首先明确两种行走路径的长度：不践踏绿地时，从A到E的路径为A→B→E，总长度为AB与BE的长度和；践踏绿地的捷径为线段AE，因此少走的路程=（AB+BE）- AE。接下来求AE的长度：正方形ABCD中∠B为直角，故△ABE是直角三角形，已知两条直角边AB、BE的长度，可通过勾股定理求出斜边AE的长度，最后代入计算路程差即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B=90°，△ABE为直角三角形。
已知AB=40m，BE=9m，在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$AE^2=AB^2+BE^2=40^2+9^2=1600+81=1681$
∴ $AE=\sqrt{1681}=41\ \mathrm{m}$
不践踏绿地的总路程：$AB+BE=40+9=49\ \mathrm{m}$
少走的路程：$49-41=8\ \mathrm{m}$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是理清两种行走路径的长度关系，结合直角三角形的性质求解斜边长度，题目贴近生活场景，能让学生体会到数学知识的实用性。
【难度系数】
0.8
要计算居民少走的路程，首先明确两种行走路径的长度：不践踏绿地时，从A到E的路径为A→B→E，总长度为AB与BE的长度和；践踏绿地的捷径为线段AE，因此少走的路程=（AB+BE）- AE。接下来求AE的长度：正方形ABCD中∠B为直角，故△ABE是直角三角形，已知两条直角边AB、BE的长度，可通过勾股定理求出斜边AE的长度，最后代入计算路程差即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠B=90°，△ABE为直角三角形。
已知AB=40m，BE=9m，在Rt△ABE中，根据勾股定理：
$AE^2=AB^2+BE^2=40^2+9^2=1600+81=1681$
∴ $AE=\sqrt{1681}=41\ \mathrm{m}$
不践踏绿地的总路程：$AB+BE=40+9=49\ \mathrm{m}$
少走的路程：$49-41=8\ \mathrm{m}$
【答案】
8
【知识点】
勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是理清两种行走路径的长度关系，结合直角三角形的性质求解斜边长度，题目贴近生活场景，能让学生体会到数学知识的实用性。
【难度系数】
0.8
1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三条边长的平方是(
A.25
B.14
C.7
D.7或25
D
)A.25
B.14
C.7
D.7或25
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查勾股定理的应用，解题时需注意题目未明确3和4是直角边还是斜边，因此要分两种情况讨论：①3和4均为直角边；②4为斜边、3为直角边，再分别结合勾股定理计算第三边长的平方即可。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长度为3和4的边都为直角边时，第三条边为斜边，因此第三边长的平方为：
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
2. 当长度为4的边为斜边，长度为3的边为直角边时，第三条边为另一条直角边，因此第三边长的平方为：
$4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
综上，第三条边长的平方是7或25。
【答案】
D
【知识点】
1. 勾股定理
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理的常见易错题，易错点是默认3、4都为直角边，忽略4为斜边的情况，导致漏解。做题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题，一定要先分类讨论，再结合定理计算。
【难度系数】
0.7
本题考查勾股定理的应用，解题时需注意题目未明确3和4是直角边还是斜边，因此要分两种情况讨论：①3和4均为直角边；②4为斜边、3为直角边，再分别结合勾股定理计算第三边长的平方即可。
【解析】
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，分两种情况计算：
1. 当长度为3和4的边都为直角边时，第三条边为斜边，因此第三边长的平方为：
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$
2. 当长度为4的边为斜边，长度为3的边为直角边时，第三条边为另一条直角边，因此第三边长的平方为：
$4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$
综上，第三条边长的平方是7或25。
【答案】
D
【知识点】
1. 勾股定理
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理的常见易错题，易错点是默认3、4都为直角边，忽略4为斜边的情况，导致漏解。做题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形边长问题，一定要先分类讨论，再结合定理计算。
【难度系数】
0.7
2.若线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比为(
A.$2:3:4$
B.$3:4:6$
C.$5:12:13$
D.$4:6:7$
C
)A.$2:3:4$
B.$3:4:6$
C.$5:12:13$
D.$4:6:7$
答案
2. C
解析
【分析】
要判断给定线段比对应的三条线段能否组成直角三角形，核心是运用勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。解题时我们可以把比例的每一份看作1个单位长度，直接用比例对应的数值验证即可，具体步骤为：先对每个选项的三个数按从小到大排序，再计算较小两个数的平方和，最后和最大数的平方比较，二者相等的即为正确选项。
【解析】
我们将比例的每一份设为长度1，逐一验证每个选项：
A选项：三个数从小到大是2、3、4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：三个数从小到大是3、4、6，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不能组成直角三角形；
C选项：三个数从小到大是5、12、13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，$169=169$，满足勾股定理逆定理，可以组成直角三角形；
D选项：三个数从小到大是4、6、7，计算得$4^2+6^2=16+36=52$，$7^2=49$，$52≠49$，不能组成直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，比的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的内容，验证时注意要比较较小两边的平方和与最大边的平方，不要颠倒三边的顺序导致计算判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断给定线段比对应的三条线段能否组成直角三角形，核心是运用勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。解题时我们可以把比例的每一份看作1个单位长度，直接用比例对应的数值验证即可，具体步骤为：先对每个选项的三个数按从小到大排序，再计算较小两个数的平方和，最后和最大数的平方比较，二者相等的即为正确选项。
【解析】
我们将比例的每一份设为长度1，逐一验证每个选项：
A选项：三个数从小到大是2、3、4，计算得$2^2+3^2=4+9=13$，$4^2=16$，$13≠16$，不能组成直角三角形；
B选项：三个数从小到大是3、4、6，计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不能组成直角三角形；
C选项：三个数从小到大是5、12、13，计算得$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，$169=169$，满足勾股定理逆定理，可以组成直角三角形；
D选项：三个数从小到大是4、6、7，计算得$4^2+6^2=16+36=52$，$7^2=49$，$52≠49$，不能组成直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理，比的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的内容，验证时注意要比较较小两边的平方和与最大边的平方，不要颠倒三边的顺序导致计算判断错误。
【难度系数】
0.8
3.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数后，得到的三角形是(
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
C
)A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
答案
3. C
解析
【分析】
要判断边长扩大同一倍数后的三角形形状，可借助勾股定理和勾股定理的逆定理分析：首先设原直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，根据勾股定理可得原三角形三边满足a²+b²=c²；再设扩大的倍数为k（k为正实数），得到新三角形的三边长为ka、kb、kc，只需验证新三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断形状。
【解析】
设原直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中c为斜边，由勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
将三条边长同时扩大$k$倍（$k＞0$），得到的新三角形三边长为$ka$、$kb$、$kc$。
计算新三角形两条较短边的平方和：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2)$
把$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，可得：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2c^2$
再计算新三角形最长边的平方：
$(kc)^2 = k^2c^2$
因此$(ka)^2 + (kb)^2 = (kc)^2$，根据勾股定理的逆定理，扩大边长后得到的三角形仍是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础类常考题，解题的核心是明确直角三角形的三边关系，通过代数推导验证新三角形的三边是否满足勾股定理的逆定理即可，解题时也可通过举特例的方法快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断边长扩大同一倍数后的三角形形状，可借助勾股定理和勾股定理的逆定理分析：首先设原直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，根据勾股定理可得原三角形三边满足a²+b²=c²；再设扩大的倍数为k（k为正实数），得到新三角形的三边长为ka、kb、kc，只需验证新三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断形状。
【解析】
设原直角三角形的三边长分别为a、b、c，其中c为斜边，由勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
将三条边长同时扩大$k$倍（$k＞0$），得到的新三角形三边长为$ka$、$kb$、$kc$。
计算新三角形两条较短边的平方和：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2)$
把$a^2 + b^2 = c^2$代入上式，可得：
$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2c^2$
再计算新三角形最长边的平方：
$(kc)^2 = k^2c^2$
因此$(ka)^2 + (kb)^2 = (kc)^2$，根据勾股定理的逆定理，扩大边长后得到的三角形仍是直角三角形。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础类常考题，解题的核心是明确直角三角形的三边关系，通过代数推导验证新三角形的三边是否满足勾股定理的逆定理即可，解题时也可通过举特例的方法快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4.将一根长24 cm的筷子置于底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围为
$11≤ h≤12$
。答案
4. $11≤ h≤12$
解析
【分析】
要确定h的取值范围，需先明确h=筷子总长度-筷子在水杯内部的长度，因此只要算出筷子在杯内长度的最值，就能倒推得到h的最值。①求h的最大值：当筷子竖直插入水杯时，杯内长度最短（等于水杯高度），此时露在外面的长度最长；②求h的最小值：当筷子斜靠在水杯内壁，底端接触底面边缘、顶端接触杯口边缘时，杯内长度最长，此时杯内筷子长度、水杯底面直径、水杯高度构成直角三角形，可通过勾股定理计算此时杯内长度，进而得到最小的h，最终得到h的取值范围。
【解析】
分两种情况计算h的最值：
1. 当筷子竖直放在水杯中时，筷子在杯内的长度最短，等于水杯的高12 cm，此时露在外面的长度为：
$ h = 24 - 12 = 12\ \mathrm{cm} $，即h的最大值为12 cm。
2. 当筷子斜放，底端碰到底面边缘、顶端碰到杯口边缘时，筷子在杯内的长度最长。此时底面直径5 cm、水杯高12 cm为直角三角形的两条直角边，杯内筷子长度为斜边，根据勾股定理可得杯内筷子长度为：
$ \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
此时露在外面的长度为：
$ h = 24 - 13 = 11\ \mathrm{cm} $，即h的最小值为11 cm。
综上，h的取值范围是$11≤ h≤12$。
【答案】
$11≤ h≤12$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 最值问题分析
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的应用题型，解题核心是分类讨论筷子在杯内的两种极端放置情况，不要遗漏竖直放置的情况，结合勾股定理计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
要确定h的取值范围，需先明确h=筷子总长度-筷子在水杯内部的长度，因此只要算出筷子在杯内长度的最值，就能倒推得到h的最值。①求h的最大值：当筷子竖直插入水杯时，杯内长度最短（等于水杯高度），此时露在外面的长度最长；②求h的最小值：当筷子斜靠在水杯内壁，底端接触底面边缘、顶端接触杯口边缘时，杯内长度最长，此时杯内筷子长度、水杯底面直径、水杯高度构成直角三角形，可通过勾股定理计算此时杯内长度，进而得到最小的h，最终得到h的取值范围。
【解析】
分两种情况计算h的最值：
1. 当筷子竖直放在水杯中时，筷子在杯内的长度最短，等于水杯的高12 cm，此时露在外面的长度为：
$ h = 24 - 12 = 12\ \mathrm{cm} $，即h的最大值为12 cm。
2. 当筷子斜放，底端碰到底面边缘、顶端碰到杯口边缘时，筷子在杯内的长度最长。此时底面直径5 cm、水杯高12 cm为直角三角形的两条直角边，杯内筷子长度为斜边，根据勾股定理可得杯内筷子长度为：
$ \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm} $
此时露在外面的长度为：
$ h = 24 - 13 = 11\ \mathrm{cm} $，即h的最小值为11 cm。
综上，h的取值范围是$11≤ h≤12$。
【答案】
$11≤ h≤12$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 最值问题分析
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的应用题型，解题核心是分类讨论筷子在杯内的两种极端放置情况，不要遗漏竖直放置的情况，结合勾股定理计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
5.如图，一根木杆在离地面3 m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4 m 
处，则木杆折断之前高
处，则木杆折断之前高8 m
。答案
5. 8 m
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的几何应用题，我们可以先从题干中抽象出直角三角形模型：未折断的木杆（长3m）、地面上顶端到木杆底端的距离（长4m）是直角三角形的两条直角边，折断的木杆部分是直角三角形的斜边。解题时先利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的3m，就能得到木杆折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，未折断的木杆长3m，木杆顶端落点距木杆底端的水平距离为4m，二者互相垂直，构成直角三角形的两条直角边。
设折断部分的木杆长度为$x$m，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2=3^2+4^2$
计算得$x^2=9+16=25$，因为长度为正数，所以$x=5$。
木杆折断前的总高度为未折断部分与折断部分长度之和：$3+5=8$（m）。
【答案】
8 m
【知识点】
勾股定理、实际问题几何建模
【点评】
本题难度较低，属于勾股定理的基础应用类题型，解题的核心是能从实际场景中提炼出直角三角形模型，找准各边对应的实际长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
这是一道结合生活场景的几何应用题，我们可以先从题干中抽象出直角三角形模型：未折断的木杆（长3m）、地面上顶端到木杆底端的距离（长4m）是直角三角形的两条直角边，折断的木杆部分是直角三角形的斜边。解题时先利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断的3m，就能得到木杆折断前的总高度。
【解析】
由题意可知，未折断的木杆长3m，木杆顶端落点距木杆底端的水平距离为4m，二者互相垂直，构成直角三角形的两条直角边。
设折断部分的木杆长度为$x$m，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2=3^2+4^2$
计算得$x^2=9+16=25$，因为长度为正数，所以$x=5$。
木杆折断前的总高度为未折断部分与折断部分长度之和：$3+5=8$（m）。
【答案】
8 m
【知识点】
勾股定理、实际问题几何建模
【点评】
本题难度较低，属于勾股定理的基础应用类题型，解题的核心是能从实际场景中提炼出直角三角形模型，找准各边对应的实际长度，再代入勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8
