【例1】 计算：
(1)$13+(-24)+8+(-25)+20$.
(2)$-\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}+5-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{5}+4$.

(1) 原式$=(13+8+20)+[(-24)+(-25)]=41+(-49)=-8$.
(2) 原式$=(-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5})+(5+4)=-1+(-1)+9=7$.

【分析】
这两道题均为有理数加减混合运算，可借助加法交换律和结合律简化计算：
(1) 整数加减运算中，可将所有正数分为一组、所有负数分为一组，分别求和后再计算最终结果，简化计算过程。
(2) 包含分数和整数的加减运算中，观察到有同分母分数，可将同分母分数分为一组、整数分为一组，分别计算后再求和，无需额外通分，降低计算难度。
【解析】
(1) 利用加法交换律、结合律分组计算：
原式$=(13+8+20)+[(-24)+(-25)]$
先算每组的和：$13+8+20=41$，$(-24)+(-25)=-49$
再算最终结果：$41+(-49)=-8$
(2) 利用加法交换律、结合律分组计算：
原式$=(-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5})+(5+4)$
先算每组的和：$-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}=-1$，$-\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}=-1$，$5+4=9$
再算最终结果：$-1+(-1)+9=7$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-8}$；(2) $\boldsymbol{7}$
【知识点】
有理数加减混合运算、加法运算律的应用
【点评】
本题考查有理数加减运算的简便技巧，合理分组凑整是解题的核心，能有效提升计算效率，减少计算错误。
【难度系数】
0.8

【例2】 计算：
(1)$2.19 - (-1.75) + (-\dfrac{3}{4}) + 7.81.$
(2)$\dfrac{5}{2} - 0.6 + 2 - 2.5 + 10 - \dfrac{7}{5}.$

(1) 原式$=(2.19+7.81)+[1.75+(-0.75)]=10+1=11$.
(2) 原式$=2.5-0.6+2-2.5+10-1.4=(2.5-2.5)+[(-0.6)+(-1.4)]+(2+10)=0-2+12=10$.

【分析】
这两道题属于有理数加减混合运算类题目，解题时可利用加法交换律和结合律进行简便计算：
1. 第(1)题：先根据去括号法则化简符号，将分数$-\dfrac{3}{4}$转化为小数$-0.75$，再把能凑成整数的$2.19$与$7.81$分为一组，$1.75$与$-0.75$分为一组，分别计算后再求和即可。
2. 第(2)题：先把式中的分数统一转化为小数，再将互为相反数的$2.5$与$-2.5$分为一组，能凑整的两个负数$-0.6$与$-1.4$分为一组，剩余的$2$与$10$分为一组，分别计算各组结果后再相加，可大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 先去括号、统一数的形式，再利用加法运算律分组计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2.19 + 1.75 - 0.75 + 7.81\\&=(2.19+7.81)+[1.75+(-0.75)]\\&=10 + 1\\&=11\end{aligned}$
(2) 先统一数的形式，再利用加法运算律分组计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2.5 - 0.6 + 2 - 2.5 + 10 - 1.4\\&=(2.5-2.5)+[(-0.6)+(-1.4)]+(2+10)\\&=0 - 2 + 12\\&=10\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{11}$；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
1. 有理数加减运算
2. 加法运算律的应用
3. 分数与小数的互化
【点评】
本题主要考察有理数加减运算的简便计算技巧，合理运用加法交换律和结合律，将互为相反数、能凑整的数优先分组计算，可有效简化运算步骤，减少计算失误，是有理数运算中需要熟练掌握的基础技巧。
【难度系数】
0.8

【例3】 计算：$(-2024 \frac{5}{6})+(-2025 \frac{2}{3})+(-1 \frac{1}{2})+4048.$

原式$=[(-2\ 024)+(-\dfrac{5}{6})]+[(-2\ 025)+(-\dfrac{2}{3})]+[(-1)+(-\dfrac{1}{2})]+4\ 048=[(-2\ 024)+(-2\ 025)+(-1)+4\ 048]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+(-\dfrac{1}{2})]=-2+(-2)=-4$.

【分析】
观察算式可知，算式中包含带分数与整数，直接通分计算较为繁琐，可采用拆项法简化计算：先把每个带分数拆成“整数部分+分数部分”的形式，再利用加法交换律和结合律，将所有整数部分分为一组，所有分数部分分为一组，分别计算两组的结果后再相加，即可快速得到答案。
【解析】
首先将各带分数拆分为整数与分数的和：
原式$=[(-2024)+(-\dfrac{5}{6})]+[(-2025)+(-\dfrac{2}{3})]+[(-1)+(-\dfrac{1}{2})]+4048$
利用加法交换律和结合律分组：
$=[(-2024)+(-2025)+(-1)+4048]+[(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{2}{3})+(-\dfrac{1}{2})]$
分别计算整数组和分数组：
整数组：$(-2024)+(-2025)+(-1)+4048=(-4050)+4048=-2$
分数组：先通分，分母统一为6，得$(-\dfrac{5}{6})+(-\dfrac{4}{6})+(-\dfrac{3}{6})=-\dfrac{12}{6}=-2$
再将两组结果相加：$-2+(-2)=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
有理数加减简便运算，加法运算律应用，拆项法计算
【点评】
本题是有理数加减运算的典型简便计算题，通过拆项分组凑整的方法，有效减少了计算量，避免了直接计算带分数的繁琐，这类简便运算技巧在后续有理数混合运算中使用频率较高，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

【例4】 观察下列各式：$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；……
我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项.
类似地，对于$\frac{1}{4×6}$，可以用裂项的方法变形为$(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})×\frac{1}{2}$.
类比上述方法，解答下列各题：
(1)$\frac{1}{9×10}=\_\_\_\_\_\_-$.
(2)计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}=$.
(3)计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2024×2026}$.

(1) $\frac{1}{9}$；$\frac{1}{10}$
(2) $\frac{99}{100}$
(3) 原式$=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})×\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})×\frac{1}{2}+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})×\frac{1}{2}+…+(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2026})×\frac{1}{2}=\frac{1012}{2026}×\frac{1}{2}=\frac{253}{1013}$.

【分析】
本题考查裂项相消法在有理数运算中的应用，解题思路如下：
1. 先梳理题干给出的裂项规律：分母为相邻两个正整数乘积的分数，可拆为较小数的倒数减较大数的倒数，即$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；分母为相差2的两个正整数乘积的分数，可拆为两个数倒数差的$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$。
2. 第(1)题直接套用相邻整数乘积的裂项公式即可。
3. 第(2)题将每一项拆分后，中间互为相反数的项相互抵消，仅剩余首项和末项，计算即可得到结果。
4. 第(3)题先按差为2的数的裂项公式拆分每一项，提取公因式$\frac{1}{2}$后中间项抵消，再计算剩余项的结果，最后化简为最简分数即可。
【解析】
(1) 根据规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，当$n=9$时，$\frac{1}{9×10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$。
(2) 对原式拆分计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{99×100}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\=&1-\frac{1}{100}\\=&\frac{99}{100}\end{aligned}$
(3) 按照裂项规律拆分每一项计算：
$\begin{aligned}&\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2024×2026}\\=&\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+…+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})\\=&\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2026})\\=&\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2026})\\=&\frac{1}{2}×\frac{1012}{2026}\\=&\frac{253}{1013}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\frac{1}{9}$；$\frac{1}{10}$
(2) $\frac{99}{100}$
(3) $\frac{253}{1013}$
【知识点】
裂项相消法，有理数加减巧算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的典型题型，需要先通过题干示例总结不同形式分数的裂项规则，拆分后利用中间项抵消简化计算，计算时要注意剩余首尾项的准确性，最终结果需约分为最简分数。
【难度系数】
0.7