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8. 如图，在$□ ABCD$中，点F在BC上，沿AF折叠$△ ABF$得到$△ AEF$，点E恰好落在边CD上。
(1)如图①，当EA平分$∠ DEF$时，证明：$□ ABCD$是菱形；
(2)如图②，延长AF交DC的延长线于点G，连接BG，判断四边形ABGE的形状，并说明理由。
(1)如图①，当EA平分$∠ DEF$时，证明：$□ ABCD$是菱形；
(2)如图②，延长AF交DC的延长线于点G，连接BG，判断四边形ABGE的形状，并说明理由。
答案
8.(1)证明:$\because$ 沿$AF$折叠$△ ABF$得到$△ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ B$,$AE=AB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore ∠ D=∠ B$。
$\because EA$平分$∠ DEF$,$\therefore ∠ AEF=∠ AED$,
$\therefore ∠ D=∠ AED$,$\therefore AE=AD$,$\therefore AB=AD$,
$\therefore □ ABCD$是菱形。
(2)解:四边形$ABGE$是菱形。理由如下：
$\because$ 沿$AF$折叠$△ ABF$得到$△ AEF$,
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$,$AB=AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB// DG$,$\therefore ∠ BAF=∠ EGA$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EGA$,$\therefore AE=GE$,
$\therefore AB=GE$。
$\because AB// GE$,$\therefore$ 四边形$ABGE$是平行四边形。
$\because AB=AE$,
$\therefore$ 四边形$ABGE$是菱形。
$\therefore ∠ AEF=∠ B$,$AE=AB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore ∠ D=∠ B$。
$\because EA$平分$∠ DEF$,$\therefore ∠ AEF=∠ AED$,
$\therefore ∠ D=∠ AED$,$\therefore AE=AD$,$\therefore AB=AD$,
$\therefore □ ABCD$是菱形。
(2)解:四边形$ABGE$是菱形。理由如下：
$\because$ 沿$AF$折叠$△ ABF$得到$△ AEF$,
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$,$AB=AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB// DG$,$\therefore ∠ BAF=∠ EGA$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EGA$,$\therefore AE=GE$,
$\therefore AB=GE$。
$\because AB// GE$,$\therefore$ 四边形$ABGE$是平行四边形。
$\because AB=AE$,
$\therefore$ 四边形$ABGE$是菱形。
解析
【分析】
(1)要证明平行四边形ABCD是菱形，根据菱形判定定理，只需证明其一组邻边相等即可。解题时先从折叠性质入手，得到对应角相等、对应边相等，再结合平行四边形对角相等的性质、角平分线的定义，推出等角对等边，最终得到邻边相等的结论完成证明。
(2)判断四边形ABGE的形状时，首先利用折叠性质得到角和边的等量关系，再结合平行四边形对边平行的性质推出内错角相等，通过等角对等边得到边的等量关系，先判定该四边形为平行四边形，再结合一组邻边相等的条件即可判定其为菱形。
【解析】
(1)证明:
$\because$ 沿$AF$折叠$△ ABF$得到$△ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ B$,$AE=AB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore ∠ D=∠ B$。
$\because EA$平分$∠ DEF$,$\therefore ∠ AEF=∠ AED$,
$\therefore ∠ D=∠ AED$,$\therefore AE=AD$,$\therefore AB=AD$,
$\therefore □ ABCD$是菱形。
(2)解:四边形$ABGE$是菱形。理由如下：
$\because$ 沿$AF$折叠$△ ABF$得到$△ AEF$,
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$,$AB=AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB// DG$,$\therefore ∠ BAF=∠ EGA$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EGA$,$\therefore AE=GE$,
$\therefore AB=GE$。
$\because AB// GE$,$\therefore$ 四边形$ABGE$是平行四边形。
$\because AB=AE$,
$\therefore$ 四边形$ABGE$是菱形。
【答案】
(1)$□ABCD$是菱形，证明见上述过程；
(2)四边形$ABGE$是菱形，理由见上述过程。
【知识点】
折叠的性质；平行四边形的性质与判定；菱形的判定
【点评】
本题是四边形的基础综合题，将折叠变换与平行四边形、菱形的相关知识结合考查，解题核心是抓住折叠前后图形的对应边、对应角相等的性质，结合平行四边形的边角关系做等量代换，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明平行四边形ABCD是菱形，根据菱形判定定理，只需证明其一组邻边相等即可。解题时先从折叠性质入手，得到对应角相等、对应边相等，再结合平行四边形对角相等的性质、角平分线的定义，推出等角对等边，最终得到邻边相等的结论完成证明。
(2)判断四边形ABGE的形状时，首先利用折叠性质得到角和边的等量关系，再结合平行四边形对边平行的性质推出内错角相等，通过等角对等边得到边的等量关系，先判定该四边形为平行四边形，再结合一组邻边相等的条件即可判定其为菱形。
【解析】
(1)证明:
$\because$ 沿$AF$折叠$△ ABF$得到$△ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ B$,$AE=AB$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore ∠ D=∠ B$。
$\because EA$平分$∠ DEF$,$\therefore ∠ AEF=∠ AED$,
$\therefore ∠ D=∠ AED$,$\therefore AE=AD$,$\therefore AB=AD$,
$\therefore □ ABCD$是菱形。
(2)解:四边形$ABGE$是菱形。理由如下：
$\because$ 沿$AF$折叠$△ ABF$得到$△ AEF$,
$\therefore ∠ BAF=∠ EAF$,$AB=AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB// DG$,$\therefore ∠ BAF=∠ EGA$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EGA$,$\therefore AE=GE$,
$\therefore AB=GE$。
$\because AB// GE$,$\therefore$ 四边形$ABGE$是平行四边形。
$\because AB=AE$,
$\therefore$ 四边形$ABGE$是菱形。
【答案】
(1)$□ABCD$是菱形，证明见上述过程；
(2)四边形$ABGE$是菱形，理由见上述过程。
【知识点】
折叠的性质；平行四边形的性质与判定；菱形的判定
【点评】
本题是四边形的基础综合题，将折叠变换与平行四边形、菱形的相关知识结合考查，解题核心是抓住折叠前后图形的对应边、对应角相等的性质，结合平行四边形的边角关系做等量代换，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9.【综合与实践】在一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，下面是小明同学的作法。
如图①，连接AC，作AC的垂直平分线MN，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形。
（1）请判断小明的作法是否正确，并说明理由。
（2）请利用尺规，在图②中分别作∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF。证明：四边形ABEF是菱形。
如图①，连接AC，作AC的垂直平分线MN，分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形。
（1）请判断小明的作法是否正确，并说明理由。
（2）请利用尺规，在图②中分别作∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF。证明：四边形ABEF是菱形。
答案
9. 解:(1)正确。理由如下：
$\because AC$的垂直平分线$MN$分别交$AD,AC,BC$于点$M,O,N$,
$\therefore AM=CM$,$AN=CN$,
$\therefore ∠ MAC=∠ MCA$,$∠ NAC=∠ NCA$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ MAC=∠ NCA$,
$\therefore ∠ NAC=∠ MCA$,$\therefore AN// CM$,
$\therefore$ 四边形$ANCM$是平行四边形。
$\because AM=CM$,
$\therefore$ 四边形$ANCM$是菱形。
(2)如图所示的为所求作的图形。
证明: $\because ∠ DAB,∠ ABC$的平分线$AE,BF$分别交$BC,AD$于点$E,F$,
$\therefore ∠ BAE=∠ FAE$,$∠ ABF=∠ EBF$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ FAE=∠ BEA$,
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA$,
$\therefore AB=EB$。
同理可得$AB=AF$,$\therefore AF=EB$,
$\therefore$ 四边形$ABEF$是平行四边形。
$\because AB=AF$,
$\therefore$ 四边形$ABEF$是菱形。
解析
【分析】
（1）要判断小明的作法是否正确，我们围绕菱形的判定思路推导：首先根据垂直平分线的性质，可得垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此得到AM=CM、AN=CN，对应底角相等；再结合平行四边形AD//BC的性质，推导内错角相等，进而得到AN//CM，即可判定四边形ANCM是平行四边形，最后结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可验证小明作法正确。
（2）首先按照尺规作角平分线的步骤作出AE和BF，证明时先利用平行四边形AD//BC的性质得到内错角∠FAE=∠BEA，结合AE是角平分线可得∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE，同理可证AB=AF，因此AF和BE平行且相等，可判定四边形ABEF是平行四边形，再结合一组邻边AB=AF，即可证得四边形ABEF是菱形。
【解析】
(1) 小明的作法正确，理由如下：
∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，
∴AM=CM，AN=CN，
∴∠MAC=∠MCA，∠NAC=∠NCA。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠MAC=∠NCA，
∴∠NAC=∠MCA，
∴AN//CM，
∴四边形ANCM是平行四边形。
又
∵AM=CM，
∴四边形ANCM是菱形。
(2) 按尺规作角平分线的方法，作出∠DAB的平分线AE交BC于E，∠ABC的平分线BF交AD于F，连接EF即可。
证明：
∵∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别交BC，AD于点E，F，
∴∠BAE=∠FAE，∠ABF=∠EBF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB。
同理可得AB=AF，
∴AF=EB，
又
∵AF//EB，
∴四边形ABEF是平行四边形。
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形。
【答案】
(1)正确。理由如下：
$\because AC$的垂直平分线$MN$分别交$AD,AC,BC$于点$M,O,N$,
$\therefore AM=CM$,$AN=CN$,
$\therefore ∠ MAC=∠ MCA$,$∠ NAC=∠ NCA$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ MAC=∠ NCA$,
$\therefore ∠ NAC=∠ MCA$,$\therefore AN// CM$,
$\therefore$ 四边形$ANCM$是平行四边形。
$\because AM=CM$,
$\therefore$ 四边形$ANCM$是菱形。
(2)如图所示的为所求作的图形。
证明: $\because ∠ DAB,∠ ABC$的平分线$AE,BF$分别交$BC,AD$于点$E,F$,
$\therefore ∠ BAE=∠ FAE$,$∠ ABF=∠ EBF$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ FAE=∠ BEA$,
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA$,
$\therefore AB=EB$。
同理可得$AB=AF$,$\therefore AF=EB$,
$\therefore$ 四边形$ABEF$是平行四边形。
$\because AB=AF$,
$\therefore$ 四边形$ABEF$是菱形。
【知识点】
菱形的判定，平行四边形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图和特殊四边形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、菱形的判定定理，以及角平分线、垂直平分线的性质，推导过程中要注意边、角之间的等量转化，属于几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）要判断小明的作法是否正确，我们围绕菱形的判定思路推导：首先根据垂直平分线的性质，可得垂直平分线上的点到线段两端距离相等，因此得到AM=CM、AN=CN，对应底角相等；再结合平行四边形AD//BC的性质，推导内错角相等，进而得到AN//CM，即可判定四边形ANCM是平行四边形，最后结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可验证小明作法正确。
（2）首先按照尺规作角平分线的步骤作出AE和BF，证明时先利用平行四边形AD//BC的性质得到内错角∠FAE=∠BEA，结合AE是角平分线可得∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE，同理可证AB=AF，因此AF和BE平行且相等，可判定四边形ABEF是平行四边形，再结合一组邻边AB=AF，即可证得四边形ABEF是菱形。
【解析】
(1) 小明的作法正确，理由如下：
∵AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，
∴AM=CM，AN=CN，
∴∠MAC=∠MCA，∠NAC=∠NCA。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠MAC=∠NCA，
∴∠NAC=∠MCA，
∴AN//CM，
∴四边形ANCM是平行四边形。
又
∵AM=CM，
∴四边形ANCM是菱形。
(2) 按尺规作角平分线的方法，作出∠DAB的平分线AE交BC于E，∠ABC的平分线BF交AD于F，连接EF即可。
证明：
∵∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别交BC，AD于点E，F，
∴∠BAE=∠FAE，∠ABF=∠EBF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB。
同理可得AB=AF，
∴AF=EB，
又
∵AF//EB，
∴四边形ABEF是平行四边形。
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形。
【答案】
(1)正确。理由如下：
$\because AC$的垂直平分线$MN$分别交$AD,AC,BC$于点$M,O,N$,
$\therefore AM=CM$,$AN=CN$,
$\therefore ∠ MAC=∠ MCA$,$∠ NAC=∠ NCA$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ MAC=∠ NCA$,
$\therefore ∠ NAC=∠ MCA$,$\therefore AN// CM$,
$\therefore$ 四边形$ANCM$是平行四边形。
$\because AM=CM$,
$\therefore$ 四边形$ANCM$是菱形。
(2)如图所示的为所求作的图形。
证明: $\because ∠ DAB,∠ ABC$的平分线$AE,BF$分别交$BC,AD$于点$E,F$,
$\therefore ∠ BAE=∠ FAE$,$∠ ABF=∠ EBF$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore ∠ FAE=∠ BEA$,
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA$,
$\therefore AB=EB$。
同理可得$AB=AF$,$\therefore AF=EB$,
$\therefore$ 四边形$ABEF$是平行四边形。
$\because AB=AF$,
$\therefore$ 四边形$ABEF$是菱形。
【知识点】
菱形的判定，平行四边形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图和特殊四边形的判定结合考查，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质、菱形的判定定理，以及角平分线、垂直平分线的性质，推导过程中要注意边、角之间的等量转化，属于几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
