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9. (★★)关于x的一元二次方程$x^2 - mx + 2m - 1 = 0$的两个实数根分别是$x_1, x_2$，且$x_1 + x_2 =7$，则$x_1x_2$的值是 【 】
A.1
B.12
C.13
D.-15
A.1
B.12
C.13
D.-15
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步，明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实数根$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题目给出的$x_1+x_2=7$的条件，求出参数$m$的值；第三步，将$m$代入两根之积的表达式，即可求出$x_1x_2$的值，题目已明确给出方程有两个实数根，可直接应用韦达定理计算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - mx + 2m - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=2m-1$。
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m$。
已知$x_1+x_2=7$，因此可得$m=7$。
再根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1$，将$m=7$代入得：
$x_1x_2=2×7 -1=13$。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程的根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，熟练掌握一元二次方程两根之和、两根之积与系数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步，明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实数根$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第二步，结合题目给出的$x_1+x_2=7$的条件，求出参数$m$的值；第三步，将$m$代入两根之积的表达式，即可求出$x_1x_2$的值，题目已明确给出方程有两个实数根，可直接应用韦达定理计算。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - mx + 2m - 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=2m-1$。
根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m$。
已知$x_1+x_2=7$，因此可得$m=7$。
再根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=2m-1$，将$m=7$代入得：
$x_1x_2=2×7 -1=13$。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程的根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，熟练掌握一元二次方程两根之和、两根之积与系数的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. (★★)(2025·河北)若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于
【 】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【 】
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
C
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定$a、b、c$的值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算两根之和$m$与两根之积$n$；第三步根据$m、n$的正负，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一般形式：
$x(x+2)-3=0$，展开整理得：$x^2+2x-3=0$
可知该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-3$
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算得：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$
因此点$(m,n)$的坐标为$(-2,-3)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理；象限坐标特征；一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系的知识点结合考查，难度较低，掌握核心公式和各象限坐标符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定$a、b、c$的值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算两根之和$m$与两根之积$n$；第三步根据$m、n$的正负，结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一般形式：
$x(x+2)-3=0$，展开整理得：$x^2+2x-3=0$
可知该方程中$a=1$，$b=2$，$c=-3$
根据韦达定理，一元二次方程两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算得：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$
因此点$(m,n)$的坐标为$(-2,-3)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
韦达定理；象限坐标特征；一元二次方程化简
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系的知识点结合考查，难度较低，掌握核心公式和各象限坐标符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. (★★)若关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + m^2 - 3m + 3 = 0$的两个实数根互为倒数，则$m$的值等于 【 】
A.1
B.2
C.1或2
D.0
A.1
B.2
C.1或2
D.0
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合“两根互为倒数”的条件，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之积为1，列出关于m的方程求出m的候选值，再结合方程有两个实数根的前提，用根的判别式验证候选值是否符合要求，舍去不符合的解即可得到正确的m值。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2=1$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=m^2-3m+3$，因此：
$m^2 - 3m + 3 = 1$
整理得：$m^2 - 3m + 2 = 0$
因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$
解得：$m=1$或$m=2$。
2. 验证根的判别式：
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥0$，代入$a=1$，$b=m$，$c=m^2-3m+3$得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(m^2 - 3m + 3) = -3m^2 + 12m - 12 = -3(m-2)^2 ≥0$
由于平方数非负，因此只有$(m-2)^2=0$时不等式成立，即$m=2$。
将$m=1$代入判别式得$\Delta=-3×(1-2)^2=-3＜0$，此时方程无实数根，故舍去$m=1$。
综上，$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的易错点是仅通过两根之积求出m的候选值后，忽略了方程有两个实数根的前提，未用判别式验证导致误选C，解题时要注意一元二次方程求参数时，必须保证判别式非负。
【难度系数】
0.7
解题时先结合“两根互为倒数”的条件，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之积为1，列出关于m的方程求出m的候选值，再结合方程有两个实数根的前提，用根的判别式验证候选值是否符合要求，舍去不符合的解即可得到正确的m值。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 由两根互为倒数可得：$x_1x_2=1$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，本题中$a=1$，$c=m^2-3m+3$，因此：
$m^2 - 3m + 3 = 1$
整理得：$m^2 - 3m + 2 = 0$
因式分解得：$(m-1)(m-2)=0$
解得：$m=1$或$m=2$。
2. 验证根的判别式：
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥0$，代入$a=1$，$b=m$，$c=m^2-3m+3$得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(m^2 - 3m + 3) = -3m^2 + 12m - 12 = -3(m-2)^2 ≥0$
由于平方数非负，因此只有$(m-2)^2=0$时不等式成立，即$m=2$。
将$m=1$代入判别式得$\Delta=-3×(1-2)^2=-3＜0$，此时方程无实数根，故舍去$m=1$。
综上，$m=2$。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的易错点是仅通过两根之积求出m的候选值后，忽略了方程有两个实数根的前提，未用判别式验证导致误选C，解题时要注意一元二次方程求参数时，必须保证判别式非负。
【难度系数】
0.7
12. (★★)如果关于x的方程$2x^2 + kx -6 -k=0$的一个根是-3，那么另一个根是.
答案
解：
将$x=-3$代入方程$2x^2 + kx -6 -k=0$，得：
$2×(-3)^2 - 3k -6 -k = 0$
化简得$12-4k=0$，
解得$k=3$。
将$k=3$代回原方程，得$2x^2 + 3x -9 = 0$。
设方程的另一个根为$x_1$，由一元二次方程根与系数的关系，得：
$-3 · x_1 = \frac{-9}{2}$，
解得$x_1 = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
将$x=-3$代入方程$2x^2 + kx -6 -k=0$，得：
$2×(-3)^2 - 3k -6 -k = 0$
化简得$12-4k=0$，
解得$k=3$。
将$k=3$代回原方程，得$2x^2 + 3x -9 = 0$。
设方程的另一个根为$x_1$，由一元二次方程根与系数的关系，得：
$-3 · x_1 = \frac{-9}{2}$，
解得$x_1 = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=-3代入原方程，即可求出参数k的值；得到k的值后原方程就完全确定，此时求另一个根可以用两种方法：一是直接解一元二次方程，二是利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，这种方法计算更简便，我们选择这种方法求解。
【解析】
步骤1：将已知根$x=-3$代入方程$2x^2 + kx -6 -k=0$，可得：
$2×(-3)^2 + k×(-3) -6 -k = 0$
化简计算：$2×9 -3k -6 -k = 0$，即$18-6-4k=0$，整理得$12-4k=0$，解得$k=3$。
步骤2：将$k=3$代回原方程，得到确定的一元二次方程：$2x^2 + 3x -9 = 0$。
步骤3：设方程的另一个根为$x_1$，根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此：
$-3 · x_1 = \frac{-9}{2}$
解得$x_1 = \frac{-9/2}{-3} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先借助已知根求出方程中的未知参数，再利用根与系数的关系快速求解另一根，相比直接解方程更节省计算时间，掌握根的定义和根与系数的关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=-3代入原方程，即可求出参数k的值；得到k的值后原方程就完全确定，此时求另一个根可以用两种方法：一是直接解一元二次方程，二是利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，这种方法计算更简便，我们选择这种方法求解。
【解析】
步骤1：将已知根$x=-3$代入方程$2x^2 + kx -6 -k=0$，可得：
$2×(-3)^2 + k×(-3) -6 -k = 0$
化简计算：$2×9 -3k -6 -k = 0$，即$18-6-4k=0$，整理得$12-4k=0$，解得$k=3$。
步骤2：将$k=3$代回原方程，得到确定的一元二次方程：$2x^2 + 3x -9 = 0$。
步骤3：设方程的另一个根为$x_1$，根据一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此：
$-3 · x_1 = \frac{-9}{2}$
解得$x_1 = \frac{-9/2}{-3} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先借助已知根求出方程中的未知参数，再利用根与系数的关系快速求解另一根，相比直接解方程更节省计算时间，掌握根的定义和根与系数的关系是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
13. (★★)已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx + 4 = 0$有两个正整数根，则m可能取的值为.
答案
解：设方程$x^2 + mx + 4 = 0$的两个正整数根分别为$x_1$、$x_2$，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 · x_2 = 4$，$x_1 + x_2 = -m$。
因为$x_1$、$x_2$是正整数，且乘积为4，满足条件的根的组合为：
$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=2 \end{cases}$
当$x_1=1$，$x_2=4$时，$x_1+x_2=5$，即$-m=5$，解得$m=-5$；
当$x_1=2$，$x_2=2$时，$x_1+x_2=4$，即$-m=4$，解得$m=-4$。
验证可知两个m值均满足方程有正整数根的条件，因此m可能取的值为$-4$或$-5$。
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 · x_2 = 4$，$x_1 + x_2 = -m$。
因为$x_1$、$x_2$是正整数，且乘积为4，满足条件的根的组合为：
$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=2 \end{cases}$
当$x_1=1$，$x_2=4$时，$x_1+x_2=5$，即$-m=5$，解得$m=-5$；
当$x_1=2$，$x_2=2$时，$x_1+x_2=4$，即$-m=4$，解得$m=-4$。
验证可知两个m值均满足方程有正整数根的条件，因此m可能取的值为$-4$或$-5$。
解析
【分析】
已知一元二次方程有两个正整数根，要求m的取值，可借助韦达定理（根与系数的关系）建立根与m的联系。首先设两个正整数根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得两根乘积为4、两根之和为$-m$。由于两根是正整数，先找出乘积为4的所有正整数对，再分别计算每组的两根之和，即可求出对应的m值，最后验证所得m值是否符合要求即可。
【解析】
解：设方程$x^2 + mx + 4 = 0$的两个正整数根分别为$x_1$、$x_2$，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 · x_2 = 4$，$x_1 + x_2 = -m$。
因为$x_1$、$x_2$是正整数，且乘积为4，满足条件的根的组合为：
$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=2 \end{cases}$
当$x_1=1$，$x_2=4$时，$x_1+x_2=5$，即$-m=5$，解得$m=-5$；
当$x_1=2$，$x_2=2$时，$x_1+x_2=4$，即$-m=4$，解得$m=-4$。
经检验，两个m值均满足方程有两个正整数根的条件。
【答案】
$-4$或$-5$
【知识点】
韦达定理，分类讨论，因数分解
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题关键是通过两根乘积为定值枚举所有符合要求的正整数根组合，解题时需注意两根之和与m的符号关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
已知一元二次方程有两个正整数根，要求m的取值，可借助韦达定理（根与系数的关系）建立根与m的联系。首先设两个正整数根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得两根乘积为4、两根之和为$-m$。由于两根是正整数，先找出乘积为4的所有正整数对，再分别计算每组的两根之和，即可求出对应的m值，最后验证所得m值是否符合要求即可。
【解析】
解：设方程$x^2 + mx + 4 = 0$的两个正整数根分别为$x_1$、$x_2$，
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 · x_2 = 4$，$x_1 + x_2 = -m$。
因为$x_1$、$x_2$是正整数，且乘积为4，满足条件的根的组合为：
$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=4 \end{cases}$，$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=2 \end{cases}$
当$x_1=1$，$x_2=4$时，$x_1+x_2=5$，即$-m=5$，解得$m=-5$；
当$x_1=2$，$x_2=2$时，$x_1+x_2=4$，即$-m=4$，解得$m=-4$。
经检验，两个m值均满足方程有两个正整数根的条件。
【答案】
$-4$或$-5$
【知识点】
韦达定理，分类讨论，因数分解
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题关键是通过两根乘积为定值枚举所有符合要求的正整数根组合，解题时需注意两根之和与m的符号关系，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
14. (★★)已知$x_1, x_2$是$x^2 -4x +2=0$的两个根,求下列各式的值:
(1)$x_1^2 + x_2^2$;
(2)$(x_1 - x_2)^2$;
(3)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;
(4)$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.
(1)$x_1^2 + x_2^2$;
(2)$(x_1 - x_2)^2$;
(3)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;
(4)$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.
答案
解：
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 2$。
(1)
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×2 = 12$
(2)
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4^2 - 4×2 = 8$
(3)
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{4}{2} = 2$
(4)
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{12}{2^2} = 3$
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 2$。
(1)
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×2 = 12$
(2)
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4^2 - 4×2 = 8$
(3)
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{4}{2} = 2$
(4)
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{12}{2^2} = 3$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题无需直接求解方程的两根，思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步，将每个待求的代数式通过恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，将$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值整体代入计算即可得到结果，该方法比直接求根计算更简便。
【解析】
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 2$。
(1)
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×2 = 12$
(2)
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4^2 - 4×2 = 8$
(3)
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{4}{2} = 2$
(4)
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{12}{2^2} = 3$
【答案】
(1)$12$；(2)$8$；(3)$2$；(4)$3$
【知识点】
1.根与系数的关系（韦达定理） 2.代数式恒等变形 3.整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础典型题，核心是将所求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，通过整体代入简化计算，避免了求解方程根的繁琐步骤，需要熟练掌握常见代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题无需直接求解方程的两根，思路如下：第一步，先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$；第二步，将每个待求的代数式通过恒等变形，转化为仅含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；第三步，将$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值整体代入计算即可得到结果，该方法比直接求根计算更简便。
【解析】
由一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = 2$。
(1)
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2×2 = 12$
(2)
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = 4^2 - 4×2 = 8$
(3)
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{4}{2} = 2$
(4)
$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{12}{2^2} = 3$
【答案】
(1)$12$；(2)$8$；(3)$2$；(4)$3$
【知识点】
1.根与系数的关系（韦达定理） 2.代数式恒等变形 3.整体代入求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础典型题，核心是将所求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，通过整体代入简化计算，避免了求解方程根的繁琐步骤，需要熟练掌握常见代数式的变形技巧。
【难度系数】
0.8
