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1. (★)当Δ≥0时,由方程$ax^2+bx+c=0$ ($a≠0$)的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$可知,$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,
所以$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$,
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$
所以$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$,
$x_1x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$
答案
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-2b}{2a}$；$-\frac{b}{a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}$；$\frac{c}{a}$
解析
【分析】
本题是一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导题，解题思路清晰：首先明确当判别式Δ≥0时，一元二次方程的两个实根可通过求根公式直接写出；计算两根之和时，将两个根的表达式相加，带根号的项互为相反数会相互抵消，化简即可得到两根和与系数的关系；计算两根之积时，观察到两个根的分子符合平方差公式的结构特征，用平方差公式计算分子后化简，就能得到两根积与系数的关系，全程按代数式运算规则计算即可。
【解析】
按照推导步骤依次填写对应内容：
1. 当Δ≥0、a≠0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式为$\boldsymbol{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$；
2. 两个实根分别为$\boldsymbol{x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，$\boldsymbol{x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$；
3. 计算$x_1+x_2$时，代入两根表达式得$\boldsymbol{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，合并分子后得$\boldsymbol{\frac{-2b}{2a}}$，化简结果为$\boldsymbol{-\frac{b}{a}}$；
4. 计算$x_1x_2$时，代入两根表达式得$\boldsymbol{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，分子用平方差公式计算得$\boldsymbol{\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}$，化简结果为$\boldsymbol{\frac{c}{a}}$。
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-2b}{2a}$；$-\frac{b}{a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系，代数式化简
【点评】
本题是韦达定理的基础推导内容，通过求根公式直接运算得到结论，掌握该推导过程能帮助理解根与系数的内在联系，韦达定理是后续解决一元二次方程相关问题的核心工具之一，无需解方程即可得到两根和与积的特征。
【难度系数】
0.9
本题是一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导题，解题思路清晰：首先明确当判别式Δ≥0时，一元二次方程的两个实根可通过求根公式直接写出；计算两根之和时，将两个根的表达式相加，带根号的项互为相反数会相互抵消，化简即可得到两根和与系数的关系；计算两根之积时，观察到两个根的分子符合平方差公式的结构特征，用平方差公式计算分子后化简，就能得到两根积与系数的关系，全程按代数式运算规则计算即可。
【解析】
按照推导步骤依次填写对应内容：
1. 当Δ≥0、a≠0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的求根公式为$\boldsymbol{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$；
2. 两个实根分别为$\boldsymbol{x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，$\boldsymbol{x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$；
3. 计算$x_1+x_2$时，代入两根表达式得$\boldsymbol{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，合并分子后得$\boldsymbol{\frac{-2b}{2a}}$，化简结果为$\boldsymbol{-\frac{b}{a}}$；
4. 计算$x_1x_2$时，代入两根表达式得$\boldsymbol{\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，分子用平方差公式计算得$\boldsymbol{\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}$，化简结果为$\boldsymbol{\frac{c}{a}}$。
【答案】
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-2b}{2a}$；$-\frac{b}{a}$；$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；$\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系，代数式化简
【点评】
本题是韦达定理的基础推导内容，通过求根公式直接运算得到结论，掌握该推导过程能帮助理解根与系数的内在联系，韦达定理是后续解决一元二次方程相关问题的核心工具之一，无需解方程即可得到两根和与积的特征。
【难度系数】
0.9
2. (★)如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的左边可以分解因式为$a(x-x_1)(x-x_2)$，那么方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为和。反过来，如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，那么$ax^2+bx+c=a(x-\_\_\_\_\_\_)(x-\_\_\_\_\_\_)$，即$ax^2+bx+c=ax^2-\_\_\_\_\_\_x+\_\_\_\_\_\_$。由此可得$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$。因此，$x_1+x_2=\_\_\_\_\_\_$，$x_1x_2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
解：
对于方程$a(x-x_1)(x-x_2)=0$，由一元二次方程定义知$a≠0$，因此可得$x-x_1=0$或$x-x_2=0$，方程的两个根为$x_1$和$x_2$。
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，将右侧展开：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\&=ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2\end{aligned}$
对比等式左右两边的对应系数，可得$b=-a(x_1+x_2)$，$c=ax_1x_2$。
将上述两式变形整理，可得$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
最终依次填入的答案为：$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-\dfrac{b}{a}}$；$\boldsymbol{\dfrac{c}{a}}$。
对于方程$a(x-x_1)(x-x_2)=0$，由一元二次方程定义知$a≠0$，因此可得$x-x_1=0$或$x-x_2=0$，方程的两个根为$x_1$和$x_2$。
若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，将右侧展开：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\&=ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2\end{aligned}$
对比等式左右两边的对应系数，可得$b=-a(x_1+x_2)$，$c=ax_1x_2$。
将上述两式变形整理，可得$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
最终依次填入的答案为：$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-\dfrac{b}{a}}$；$\boldsymbol{\dfrac{c}{a}}$。
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程的因式分解形式、根的求解以及根与系数关系（韦达定理）的推导展开。解题时首先利用“多个因式乘积为0时，至少有一个因式为0”的性质，由分解后的因式直接得到方程的根；反过来，已知方程两根的情况下写出对应因式分解形式，再将因式展开，通过等式两边多项式同类项系数相等的性质，逐步推导出系数b、c与两根$x_1$、$x_2$的关系，最终整理得到两根之和、两根之积的表达式。
【解析】
首先，对于方程$a(x-x_1)(x-x_2)=0$，根据一元二次方程的定义，二次项系数$a≠0$，因此要使乘积为0，只需$x-x_1=0$或$x-x_2=0$，解得方程的两个根为$x_1$和$x_2$。
反过来，若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则二次三项式可分解为$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，将右侧展开计算：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\&=ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2\end{aligned}$
对比等式左右两边同类项的对应系数，可得：$b=-a(x_1+x_2)$，$c=ax_1x_2$。
将上述两个等式变形整理，即可得到两根和与积的表达式：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
【答案】
$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-\dfrac{b}{a}}$；$\boldsymbol{\dfrac{c}{a}}$
【知识点】
因式分解法解方程；多项式系数对应相等；根与系数的关系
【点评】
本题完整呈现了一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导过程，能帮助学生理清因式分解法解方程、多项式恒等变形与根和系数关系之间的逻辑联系，是利用韦达定理解决相关问题的基础，需熟练掌握推导逻辑和结论。
【难度系数】
0.8
本题围绕一元二次方程的因式分解形式、根的求解以及根与系数关系（韦达定理）的推导展开。解题时首先利用“多个因式乘积为0时，至少有一个因式为0”的性质，由分解后的因式直接得到方程的根；反过来，已知方程两根的情况下写出对应因式分解形式，再将因式展开，通过等式两边多项式同类项系数相等的性质，逐步推导出系数b、c与两根$x_1$、$x_2$的关系，最终整理得到两根之和、两根之积的表达式。
【解析】
首先，对于方程$a(x-x_1)(x-x_2)=0$，根据一元二次方程的定义，二次项系数$a≠0$，因此要使乘积为0，只需$x-x_1=0$或$x-x_2=0$，解得方程的两个根为$x_1$和$x_2$。
反过来，若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则二次三项式可分解为$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，将右侧展开计算：
$\begin{aligned}a(x-x_1)(x-x_2)&=a[x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2]\\&=ax^2 - a(x_1+x_2)x + ax_1x_2\end{aligned}$
对比等式左右两边同类项的对应系数，可得：$b=-a(x_1+x_2)$，$c=ax_1x_2$。
将上述两个等式变形整理，即可得到两根和与积的表达式：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
【答案】
$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{x_1}$；$\boldsymbol{x_2}$；$\boldsymbol{a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-a(x_1+x_2)}$；$\boldsymbol{ax_1x_2}$；$\boldsymbol{-\dfrac{b}{a}}$；$\boldsymbol{\dfrac{c}{a}}$
【知识点】
因式分解法解方程；多项式系数对应相等；根与系数的关系
【点评】
本题完整呈现了一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导过程，能帮助学生理清因式分解法解方程、多项式恒等变形与根和系数关系之间的逻辑联系，是利用韦达定理解决相关问题的基础，需熟练掌握推导逻辑和结论。
【难度系数】
0.8
3. (★)若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2+10x+16=0$的两个根,则$x_1+x_2=$$,x_1x_2=$.
答案
$\boldsymbol{-10}$，$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式中两根和、两根积与系数的对应公式，再将题干给出的方程与一般形式对比，确定各项系数a、b、c的值，最后代入公式计算即可，无需解方程求出具体的根。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题干中方程为$x^2+10x+16=0$，对应可得$a=1$，$b=10$，$c=16$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{10}{1}=-10$
$x_1x_2=\frac{16}{1}=16$
【答案】
$\boldsymbol{-10}$，$\boldsymbol{16}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，是对韦达定理的直接考查，解题时只需准确识别一元二次方程的各项系数，代入公式计算即可，需要注意两根和的公式前带有负号，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式中两根和、两根积与系数的对应公式，再将题干给出的方程与一般形式对比，确定各项系数a、b、c的值，最后代入公式计算即可，无需解方程求出具体的根。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若方程的两个根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
题干中方程为$x^2+10x+16=0$，对应可得$a=1$，$b=10$，$c=16$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{10}{1}=-10$
$x_1x_2=\frac{16}{1}=16$
【答案】
$\boldsymbol{-10}$，$\boldsymbol{16}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，是对韦达定理的直接考查，解题时只需准确识别一元二次方程的各项系数，代入公式计算即可，需要注意两根和的公式前带有负号，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.9
4. (★)(2025·广西)已知$x_1,x_2$是方程$x^2 - 20x -25=0$的两个实数根，则$x_1 + x_2 =$【 】
A.-25
B.-20
C.20
D.25
A.-25
B.-20
C.20
D.25
答案
C
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用。解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的两根之和公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，随后找到题干方程对应的$a$、$b$的值，注意系数的符号，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中的方程为$x^2 - 20x -25=0$，对比一般形式可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-20$。
将$a$、$b$代入两根之和公式：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，重点考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的直接应用。解题思路如下：首先回忆一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的两根之和公式为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，随后找到题干方程对应的$a$、$b$的值，注意系数的符号，最后代入公式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
题干中的方程为$x^2 - 20x -25=0$，对比一般形式可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-20$。
将$a$、$b$代入两根之和公式：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-20)}{1}=20$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题型，重点考查韦达定理的直接应用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，尤其要注意一次项系数的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
5. (★)已知$x_1,x_2$是一元二次方程$3x^2=6-2x$的两个根，则$x_1 - x_1x_2 + x_2$的值是【 】
A.$-\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$-\dfrac{8}{3}$
D.$\dfrac{4}{3}$
A.$-\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$-\dfrac{8}{3}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：第一步先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定$a、b、c$的值；第二步根据韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$；第三步将所求代数式$x_1 - x_1x_2 + x_2$变形为$(x_1+x_2) - x_1x_2$，代入数值计算即可得到结果，无需直接求解方程的两个根，简化计算过程。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$3x^2 + 2x - 6 = 0$
其中$a=3$，$b=2$，$c=-6$
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{3}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{3} = -2$
将所求代数式变形：
$x_1 - x_1x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) - x_1x_2$
代入上述值计算：
原式$= -\frac{2}{3} - (-2) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简求值，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题为基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是先将方程整理为标准形式，再对所求代数式合理变形，可规避直接解方程的繁琐，降低计算量。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：第一步先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定$a、b、c$的值；第二步根据韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$；第三步将所求代数式$x_1 - x_1x_2 + x_2$变形为$(x_1+x_2) - x_1x_2$，代入数值计算即可得到结果，无需直接求解方程的两个根，简化计算过程。
【解析】
首先将原方程化为一元二次方程的一般形式：
移项得：$3x^2 + 2x - 6 = 0$
其中$a=3$，$b=2$，$c=-6$
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{3}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{3} = -2$
将所求代数式变形：
$x_1 - x_1x_2 + x_2 = (x_1 + x_2) - x_1x_2$
代入上述值计算：
原式$= -\frac{2}{3} - (-2) = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3}$
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式化简求值，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题为基础题型，核心考查韦达定理的应用，解题关键是先将方程整理为标准形式，再对所求代数式合理变形，可规避直接解方程的繁琐，降低计算量。
【难度系数】
0.8
6. (★)已知$x_1,x_2$是方程$x^2-3x-2=0$的两个实数根,则$(x_1-2)(x_2-2)=$.
答案
$\boldsymbol{-4}$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先将所求代数式$(x_1-2)(x_2-2)$展开变形，得到含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再根据已知方程求出两根之和与两根之积，整体代入变形后的式子即可计算出结果，无需单独求解方程的两个实根，能简化计算过程。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2-3x-2=0$的两个实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$。
将所求代数式展开化简：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2x_1-2x_2+4=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-2$代入上式：
原式$=-2 - 2×3 +4=-2-6+4=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的应用，通过将所求代数式变形后整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐运算，降低了计算量。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先将所求代数式$(x_1-2)(x_2-2)$展开变形，得到含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再根据已知方程求出两根之和与两根之积，整体代入变形后的式子即可计算出结果，无需单独求解方程的两个实根，能简化计算过程。
【解析】
已知$x_1,x_2$是方程$x^2-3x-2=0$的两个实数根，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根据根与系数的关系可得：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=3$，
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-2$。
将所求代数式展开化简：
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2x_1-2x_2+4=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4$
把$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-2$代入上式：
原式$=-2 - 2×3 +4=-2-6+4=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 整式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握韦达定理的应用，通过将所求代数式变形后整体代入求值，避免了求解方程根的繁琐运算，降低了计算量。
【难度系数】
0.8
7. (★★)已知$m,n$是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，则代数式$m^2 + 2m + n$的值等于.
答案
$\boldsymbol{2025}$
解析
【分析】
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解。首先，因为m是方程的根，将m代入方程可得到$m^2 + m$的取值；再观察待求代数式$m^2 + 2m + n$，可将其拆分为$(m^2 + m) + (m + n)$，最后利用根与系数的关系求出$m+n$的值，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + m - 2026 = 0$，即$m^2 + m = 2026$。
又
∵m、n是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$。
∴$m^2 + 2m + n = (m^2 + m) + (m + n) = 2026 + (-1) = 2025$。
【答案】
$\boldsymbol{2025}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式求值类的基础题，解题的关键是通过拆分待求代数式，将已知的方程根的性质和根与系数关系结合起来代入计算，避免直接求解方程根的复杂运算，技巧性较强。
【难度系数】
0.7
本题可结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解。首先，因为m是方程的根，将m代入方程可得到$m^2 + m$的取值；再观察待求代数式$m^2 + 2m + n$，可将其拆分为$(m^2 + m) + (m + n)$，最后利用根与系数的关系求出$m+n$的值，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵m是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$m^2 + m - 2026 = 0$，即$m^2 + m = 2026$。
又
∵m、n是一元二次方程$x^2 + x - 2026 = 0$的两个实数根，
根据根与系数的关系，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$。
∴$m^2 + 2m + n = (m^2 + m) + (m + n) = 2026 + (-1) = 2025$。
【答案】
$\boldsymbol{2025}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于代数式求值类的基础题，解题的关键是通过拆分待求代数式，将已知的方程根的性质和根与系数关系结合起来代入计算，避免直接求解方程根的复杂运算，技巧性较强。
【难度系数】
0.7
8. (★★)不解方程,求下列方程的两个根$x_1,x_2$的和与积:
(1)$x^2+2x+1=0$;
(2)$2x^2+3=7x^2+x$;
(3)$5x-5=6x^2-4$.
(1)$x^2+2x+1=0$;
(2)$2x^2+3=7x^2+x$;
(3)$5x-5=6x^2-4$.
答案
解：根据一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
(2) 将方程$2x^2+3=7x^2+x$整理为一般形式：
$5x^2+x-3=0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，
$x_1x_2=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$。
(3) 将方程$5x-5=6x^2-4$整理为一般形式：
$6x^2-5x+1=0$，其中$a=6$，$b=-5$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$，
$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
(1) 方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
(2) 将方程$2x^2+3=7x^2+x$整理为一般形式：
$5x^2+x-3=0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，
$x_1x_2=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$。
(3) 将方程$5x-5=6x^2-4$整理为一般形式：
$6x^2-5x+1=0$，其中$a=6$，$b=-5$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$，
$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题步骤如下：①先将每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，移项时注意符号变化；②准确找出对应方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意保留系数的符号；③将a、b、c代入公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2+2x+1=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
(2) 先将方程$2x^2+3=7x^2+x$移项整理为一般形式：
移项合并同类项得$5x^2+x-3=0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，
$x_1x_2=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$。
(3) 先将方程$5x-5=6x^2-4$移项整理为一般形式：
移项合并同类项得$6x^2-5x+1=0$，其中$a=6$，$b=-5$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$，
$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=1$；
(2) $x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=-\frac{3}{5}$；
(3) $x_1+x_2=\frac{5}{6}$，$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是先将方程化为标准的一般形式，注意移项时的符号变化，准确识别a、b、c的取值，避免因符号疏漏出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题步骤如下：①先将每个方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，移项时注意符号变化；②准确找出对应方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意保留系数的符号；③将a、b、c代入公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
(1) 方程$x^2+2x+1=0$为一般形式，其中$a=1$，$b=2$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{2}{1}=-2$，
$x_1x_2=\frac{1}{1}=1$。
(2) 先将方程$2x^2+3=7x^2+x$移项整理为一般形式：
移项合并同类项得$5x^2+x-3=0$，其中$a=5$，$b=1$，$c=-3$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，
$x_1x_2=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}$。
(3) 先将方程$5x-5=6x^2-4$移项整理为一般形式：
移项合并同类项得$6x^2-5x+1=0$，其中$a=6$，$b=-5$，$c=1$，
$\therefore x_1+x_2=-\frac{-5}{6}=\frac{5}{6}$，
$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $x_1+x_2=-2$，$x_1x_2=1$；
(2) $x_1+x_2=-\frac{1}{5}$，$x_1x_2=-\frac{3}{5}$；
(3) $x_1+x_2=\frac{5}{6}$，$x_1x_2=\frac{1}{6}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是先将方程化为标准的一般形式，注意移项时的符号变化，准确识别a、b、c的取值，避免因符号疏漏出现计算错误。
【难度系数】
0.8
