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8. (★)(2025·山西)如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接AD，CD. 若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为 【 】
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，AB是圆的直径，可知AB对应的半圆度数为180°；其次，结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$的条件，可计算出$\overset{\frown}{AC}$的度数；最后根据圆周角定理，即可求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{ACB}$为半圆，度数为$180°$。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵∠D是$\odot O$中$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质，直径的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题核心是先求出待求圆周角对应弧的度数，再结合圆周角定理计算角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先，AB是圆的直径，可知AB对应的半圆度数为180°；其次，结合$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$的条件，可计算出$\overset{\frown}{AC}$的度数；最后根据圆周角定理，即可求出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{ACB}$为半圆，度数为$180°$。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AC}$的度数为$\frac{1}{2}×180°=90°$。
∵∠D是$\odot O$中$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴$∠ D=\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等弧的性质，直径的性质
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题核心是先求出待求圆周角对应弧的度数，再结合圆周角定理计算角度，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
9. (★★)如图，O为$\overset{\frown}{ACB}$所在圆的圆心，$∠ AOC=108°$，点D在AB的延长线上，$BD=BC$，则$∠ D$的度数为。
答案
$\boldsymbol{27°}$
解析
【分析】
要计算∠D的度数，首先根据已知BD=BC，可推出△BCD为等腰三角形，得到∠D=∠BCD，再结合三角形外角性质可知∠ABC=∠D+∠BCD=2∠D，因此只需先求出∠ABC的度数即可；∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ABC的度数，代入角度关系即可得到∠D的大小。
【解析】
解：
∵ $ BD=BC $
∴ $ ∠D=∠BCD $（等边对等角）
由三角形外角的性质可得：
$ ∠ABC=∠D+∠BCD=2∠D $
∵ $ ∠AOC $ 是弧 $ AC $ 所对的圆心角，$ ∠ABC $ 是弧 $ AC $ 所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$ ∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC $
已知 $ ∠AOC=108° $，代入得：
$ ∠ABC=\frac{1}{2}×108°=54° $
结合 $ ∠ABC=2∠D $，解得：
$ ∠D=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×54°=27° $
【答案】
$ 27° $
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质和三角形的基础性质结合考查，解题的关键是找准圆周角与圆心角的对应关系，建立角度之间的等量关系，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
要计算∠D的度数，首先根据已知BD=BC，可推出△BCD为等腰三角形，得到∠D=∠BCD，再结合三角形外角性质可知∠ABC=∠D+∠BCD=2∠D，因此只需先求出∠ABC的度数即可；∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ABC的度数，代入角度关系即可得到∠D的大小。
【解析】
解：
∵ $ BD=BC $
∴ $ ∠D=∠BCD $（等边对等角）
由三角形外角的性质可得：
$ ∠ABC=∠D+∠BCD=2∠D $
∵ $ ∠AOC $ 是弧 $ AC $ 所对的圆心角，$ ∠ABC $ 是弧 $ AC $ 所对的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$ ∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC $
已知 $ ∠AOC=108° $，代入得：
$ ∠ABC=\frac{1}{2}×108°=54° $
结合 $ ∠ABC=2∠D $，解得：
$ ∠D=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×54°=27° $
【答案】
$ 27° $
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质和三角形的基础性质结合考查，解题的关键是找准圆周角与圆心角的对应关系，建立角度之间的等量关系，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
10. (★★)如图,点C在⊙O上,将圆心角∠AOB绕点O逆时针旋转到∠A'OB',旋转角为α(0°＜α＜180°).若∠AOB=30°,∠BCA' = 40°,则α的度数为.
答案
$\boldsymbol{110°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的性质，旋转前后对应角大小不变，可得∠A'OB'与已知的∠AOB相等；再结合圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，根据已知的∠BCA'的度数求出其对应弧BA'所对的圆心角∠BOA'的度数；最后旋转角α即为∠AOA'，等于∠AOB与∠BOA'的度数之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 由旋转的性质可知，旋转前后对应角大小不变，因此∠A'OB' = ∠AOB = 30°，旋转角α = ∠AOA'。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，∠BCA'是弧BA'所对的圆周角，∠BOA'是弧BA'所对的圆心角，因此：
$∠ BOA' = 2∠ BCA' = 2×40° = 80°$
3. 计算旋转角α：
$α = ∠ AOA' = ∠ AOB + ∠ BOA' = 30° + 80° = 110°$
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
圆周角定理，旋转的性质，圆心角计算
【点评】
本题是圆与旋转结合的基础题型，解题的关键是找准圆周角对应的圆心角，结合旋转角的定义进行计算，考查学生对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆旋转的性质，旋转前后对应角大小不变，可得∠A'OB'与已知的∠AOB相等；再结合圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，根据已知的∠BCA'的度数求出其对应弧BA'所对的圆心角∠BOA'的度数；最后旋转角α即为∠AOA'，等于∠AOB与∠BOA'的度数之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 由旋转的性质可知，旋转前后对应角大小不变，因此∠A'OB' = ∠AOB = 30°，旋转角α = ∠AOA'。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，∠BCA'是弧BA'所对的圆周角，∠BOA'是弧BA'所对的圆心角，因此：
$∠ BOA' = 2∠ BCA' = 2×40° = 80°$
3. 计算旋转角α：
$α = ∠ AOA' = ∠ AOB + ∠ BOA' = 30° + 80° = 110°$
【答案】
$\boldsymbol{110°}$
【知识点】
圆周角定理，旋转的性质，圆心角计算
【点评】
本题是圆与旋转结合的基础题型，解题的关键是找准圆周角对应的圆心角，结合旋转角的定义进行计算，考查学生对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
11. (★★)如图,已知$\odot O$的直径为10,点A,B,C在$\odot O$上,$∠ CAB$的平分线交$\odot O$于点D.若$∠ CAB=60°$,求BD的长.
答案
解：
连接AD，
∵ AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°。
连接OB、OD，
由圆周角定理得：∠BOD = 2∠BAD = 60°。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ OB = OD = 5，
又∵ OB=OD，∠BOD=60°，
∴ △OBD为等边三角形，
∴ BD = OB = 5。
答：BD的长为5。
连接AD，
∵ AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°。
连接OB、OD，
由圆周角定理得：∠BOD = 2∠BAD = 60°。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ OB = OD = 5，
又∵ OB=OD，∠BOD=60°，
∴ △OBD为等边三角形，
∴ BD = OB = 5。
答：BD的长为5。
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先看到角平分线的条件，先利用角平分线定义求出∠BAD的度数；要计算弦BD的长度，可构造BD对应的圆心角，借助圆周角定理把圆周角∠BAD转化为对应的圆心角∠BOD；再结合已知的直径长度得到半径，最后根据圆心角的度数判断△OBD的形状，即可求出BD的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵ AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°。
连接OB、OD，
由圆周角定理得：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即∠BOD = 2∠BAD = 60°。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ OB = OD = $\frac{10}{2}$=5，
又
∵ OB=OD，∠BOD=60°，
∴ △OBD为等边三角形，
∴ BD = OB = 5。
【答案】
BD的长为5
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题核心是正确作出辅助线，建立圆周角和圆心角的关联，结合特殊三角形的性质求解，是圆章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先看到角平分线的条件，先利用角平分线定义求出∠BAD的度数；要计算弦BD的长度，可构造BD对应的圆心角，借助圆周角定理把圆周角∠BAD转化为对应的圆心角∠BOD；再结合已知的直径长度得到半径，最后根据圆心角的度数判断△OBD的形状，即可求出BD的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵ AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°。
连接OB、OD，
由圆周角定理得：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即∠BOD = 2∠BAD = 60°。
∵ ⊙O的直径为10，
∴ OB = OD = $\frac{10}{2}$=5，
又
∵ OB=OD，∠BOD=60°，
∴ △OBD为等边三角形，
∴ BD = OB = 5。
【答案】
BD的长为5
【知识点】
圆周角定理，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题核心是正确作出辅助线，建立圆周角和圆心角的关联，结合特殊三角形的性质求解，是圆章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
12. (★★★)如图,优弧$\overset{\frown}{AMB}$所对的圆心角为$260°$,若点P在该封闭区域内,则$∠ APB$的度数的范围是
答案
$\boldsymbol{100° ＜ ∠ APB ＜ 130°}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发：优弧$\overset{\frown}{AMB}$的圆心角为$260°$，结合圆周为$360°$，可先求出劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角。接下来考虑$∠ APB$的极值情况：根据圆周角和圆内角的性质，角的大小随顶点位置变化，极端情况分别为点$P$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上（此时角最大）、点$P$与圆心$O$重合（此时角最小），分别计算两个极端位置的角度，再结合“点$P$在封闭区域内（不含边界）”即可得到角度范围。
【解析】
1. 先计算劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角：
因为整个圆周的圆心角为$360°$，优弧$\overset{\frown}{AMB}$的圆心角为$260°$，所以劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=360°-260°=100°$。
2. 计算$∠ APB$的极值：
① 当点$P$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，此时$∠ APB$对应优弧$\overset{\frown}{AMB}$，故$∠ APB=\frac{1}{2}×260°=130°$，为角度最大值；
② 当点$P$与圆心$O$重合时，$∠ APB$即为圆心角$∠ AOB$，此时$∠ APB=100°$，为角度最小值。
3. 确定范围：
因为点$P$在封闭区域内，不包含边界，因此$∠ APB$的范围是$100°＜∠ APB＜130°$。
【答案】
$\boldsymbol{100° ＜ ∠ APB ＜ 130°}$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与圆周角的关系
【点评】
本题考查圆周角定理的灵活应用，解题关键是找到$∠ APB$的两个极限位置，结合圆心角和圆周角的换算关系求解，需注意“区域内”不含边界，因此最终范围不取等号。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件出发：优弧$\overset{\frown}{AMB}$的圆心角为$260°$，结合圆周为$360°$，可先求出劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角。接下来考虑$∠ APB$的极值情况：根据圆周角和圆内角的性质，角的大小随顶点位置变化，极端情况分别为点$P$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上（此时角最大）、点$P$与圆心$O$重合（此时角最小），分别计算两个极端位置的角度，再结合“点$P$在封闭区域内（不含边界）”即可得到角度范围。
【解析】
1. 先计算劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角：
因为整个圆周的圆心角为$360°$，优弧$\overset{\frown}{AMB}$的圆心角为$260°$，所以劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=360°-260°=100°$。
2. 计算$∠ APB$的极值：
① 当点$P$在劣弧$\overset{\frown}{AB}$上时，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半，此时$∠ APB$对应优弧$\overset{\frown}{AMB}$，故$∠ APB=\frac{1}{2}×260°=130°$，为角度最大值；
② 当点$P$与圆心$O$重合时，$∠ APB$即为圆心角$∠ AOB$，此时$∠ APB=100°$，为角度最小值。
3. 确定范围：
因为点$P$在封闭区域内，不包含边界，因此$∠ APB$的范围是$100°＜∠ APB＜130°$。
【答案】
$\boldsymbol{100° ＜ ∠ APB ＜ 130°}$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与圆周角的关系
【点评】
本题考查圆周角定理的灵活应用，解题关键是找到$∠ APB$的两个极限位置，结合圆心角和圆周角的换算关系求解，需注意“区域内”不含边界，因此最终范围不取等号。
【难度系数】
0.6
13. (★★★)如图,以AB为直径的$\odot O$经过$△ ABC$的顶点C,AE,BE分别平分$∠ BAC$,$∠ ABC$,AE的延长线交$\odot O$于点D,连接BD.
(1)判断$△ BDE$的形状,并证明你的结论;
(2)若$AB=10$,$BE=2\sqrt{10}$,求BC的长.
(1)判断$△ BDE$的形状,并证明你的结论;
(2)若$AB=10$,$BE=2\sqrt{10}$,求BC的长.
答案
解：(1) $△ BDE$是等腰直角三角形，证明如下：
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
$\because ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE$，$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE$，
且$∠ DBC=∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore ∠ BED=∠ DBE$，
$\therefore BD=DE$。
又$\because ∠ ADB=90°$，
$\therefore △ BDE$是等腰直角三角形。
(2) $\because △ BDE$是等腰直角三角形，$BE=2\sqrt{10}$，
$\therefore BD^2+DE^2=BE^2$，且$BD=DE$，
即$2BD^2=(2\sqrt{10})^2=40$，
解得$BD=2\sqrt{5}$。
$\because AB=10$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=4\sqrt{5}$。
$\because ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore OD$垂直平分$BC$，设垂足为$H$，可得$BH=CH$，即$BC=2BH$。
$\because O$是$AB$中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，$OH=\frac{1}{2}AC$。
$\because OD=\frac{1}{2}AB=5$，
$\therefore DH=OD-OH=5-\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$BD^2=DH^2+BH^2$，代入得：
$(2\sqrt{5})^2=(5-\frac{1}{2}AC)^2+(\frac{1}{2}BC)^2$
整理得：$20=25-5AC+\frac{1}{4}(AC^2+BC^2)$。
$\because AB$是直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，$AC^2+BC^2=AB^2=100$，代入上式：
$20=50-5AC$
解得$AC=6$。
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
答：$BC$的长为$8$。
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
$\because ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE$，$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE$，
且$∠ DBC=∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore ∠ BED=∠ DBE$，
$\therefore BD=DE$。
又$\because ∠ ADB=90°$，
$\therefore △ BDE$是等腰直角三角形。
(2) $\because △ BDE$是等腰直角三角形，$BE=2\sqrt{10}$，
$\therefore BD^2+DE^2=BE^2$，且$BD=DE$，
即$2BD^2=(2\sqrt{10})^2=40$，
解得$BD=2\sqrt{5}$。
$\because AB=10$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=4\sqrt{5}$。
$\because ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore OD$垂直平分$BC$，设垂足为$H$，可得$BH=CH$，即$BC=2BH$。
$\because O$是$AB$中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，$OH=\frac{1}{2}AC$。
$\because OD=\frac{1}{2}AB=5$，
$\therefore DH=OD-OH=5-\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$BD^2=DH^2+BH^2$，代入得：
$(2\sqrt{5})^2=(5-\frac{1}{2}AC)^2+(\frac{1}{2}BC)^2$
整理得：$20=25-5AC+\frac{1}{4}(AC^2+BC^2)$。
$\because AB$是直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，$AC^2+BC^2=AB^2=100$，代入上式：
$20=50-5AC$
解得$AC=6$。
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
答：$BC$的长为$8$。
解析
【分析】
(1) 判断△BDE的形状可从角和边两方面入手：首先由AB为⊙O的直径，可得∠ADB=90°；再结合角平分线的性质与同弧所对圆周角相等，推导∠BED=∠DBE，得到BD=DE，即可确定△BDE为等腰直角三角形。
(2) 求BC的长时，先利用等腰直角三角形的性质和BE的长度求出BD的长；再在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长；由角相等可得弧BD=弧CD，根据垂径定理可知OD垂直平分BC，结合三角形中位线性质与Rt△ABC的勾股定理联立求解得到AC的长，最后在Rt△ABC中用勾股定理即可算出BC的长度。
【解析】
(1) $△ BDE$是等腰直角三角形，证明如下：
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
$\because ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE$，$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE$，
且$∠ DBC=∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore ∠ BED=∠ DBE$，
$\therefore BD=DE$。
又$\because ∠ ADB=90°$，
$\therefore △ BDE$是等腰直角三角形。
(2) $\because △ BDE$是等腰直角三角形，$BE=2\sqrt{10}$，
$\therefore BD^2+DE^2=BE^2$，且$BD=DE$，
即$2BD^2=(2\sqrt{10})^2=40$，
解得$BD=2\sqrt{5}$。
$\because AB=10$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=4\sqrt{5}$。
$\because ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore OD$垂直平分$BC$，设垂足为$H$，可得$BH=CH$，即$BC=2BH$。
$\because O$是$AB$中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，$OH=\frac{1}{2}AC$。
$\because OD=\frac{1}{2}AB=5$，
$\therefore DH=OD-OH=5-\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$BD^2=DH^2+BH^2$，代入得：
$(2\sqrt{5})^2=(5-\frac{1}{2}AC)^2+(\frac{1}{2}BC)^2$
整理得：$20=25-5AC+\frac{1}{4}(AC^2+BC^2)$。
$\because AB$是直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，$AC^2+BC^2=AB^2=100$，代入上式：
$20=50-5AC$
解得$AC=6$。
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
【答案】
(1) $△ BDE$是等腰直角三角形；(2) $BC$的长为$8$
【知识点】
圆周角定理；等腰直角三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题时需先通过角的等量转化确定特殊三角形的形状，再结合垂径定理、中位线性质、勾股定理逐步推导线段长度，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 判断△BDE的形状可从角和边两方面入手：首先由AB为⊙O的直径，可得∠ADB=90°；再结合角平分线的性质与同弧所对圆周角相等，推导∠BED=∠DBE，得到BD=DE，即可确定△BDE为等腰直角三角形。
(2) 求BC的长时，先利用等腰直角三角形的性质和BE的长度求出BD的长；再在Rt△ABD中用勾股定理求出AD的长；由角相等可得弧BD=弧CD，根据垂径定理可知OD垂直平分BC，结合三角形中位线性质与Rt△ABC的勾股定理联立求解得到AC的长，最后在Rt△ABC中用勾股定理即可算出BC的长度。
【解析】
(1) $△ BDE$是等腰直角三角形，证明如下：
$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because AE$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ BAE=∠ CAE$，$∠ ABE=∠ CBE$。
$\because ∠ BED=∠ BAE+∠ ABE$，$∠ DBE=∠ DBC+∠ CBE$，
且$∠ DBC=∠ CAE=∠ BAE$，
$\therefore ∠ BED=∠ DBE$，
$\therefore BD=DE$。
又$\because ∠ ADB=90°$，
$\therefore △ BDE$是等腰直角三角形。
(2) $\because △ BDE$是等腰直角三角形，$BE=2\sqrt{10}$，
$\therefore BD^2+DE^2=BE^2$，且$BD=DE$，
即$2BD^2=(2\sqrt{10})^2=40$，
解得$BD=2\sqrt{5}$。
$\because AB=10$，$∠ ADB=90°$，
$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-(2\sqrt{5})^2}=4\sqrt{5}$。
$\because ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore OD$垂直平分$BC$，设垂足为$H$，可得$BH=CH$，即$BC=2BH$。
$\because O$是$AB$中点，
$\therefore OH$是$△ ABC$的中位线，$OH=\frac{1}{2}AC$。
$\because OD=\frac{1}{2}AB=5$，
$\therefore DH=OD-OH=5-\frac{1}{2}AC$。
在$\mathrm{Rt}△ BDH$中，$BD^2=DH^2+BH^2$，代入得：
$(2\sqrt{5})^2=(5-\frac{1}{2}AC)^2+(\frac{1}{2}BC)^2$
整理得：$20=25-5AC+\frac{1}{4}(AC^2+BC^2)$。
$\because AB$是直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，$AC^2+BC^2=AB^2=100$，代入上式：
$20=50-5AC$
解得$AC=6$。
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
【答案】
(1) $△ BDE$是等腰直角三角形；(2) $BC$的长为$8$
【知识点】
圆周角定理；等腰直角三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，解题时需先通过角的等量转化确定特殊三角形的形状，再结合垂径定理、中位线性质、勾股定理逐步推导线段长度，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
