【变式2】如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线。若∠BAC=60°，则∠EAC的度数是()。

A.40°
B.30°
C.15°
D.45°

D

∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC/2=30°。∵AE是△ABD的角平分线，∴∠BAE=∠EAD=∠BAD/2=15°。∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=15°+30°=45°。

【例3】画出下列三角形所有的高。

上排三个图（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的高的画法：
从$\triangle ABC$ 的顶点 $A$、$B$、$C$ 分别向对边作垂线，垂足为 $D$，线段 $AD$ 就是相应边上的高。
对于锐角三角形，所有高都在三角形内部。
对于直角三角形，两条直角边本身就是高，斜边上的高在三角形内部。
对于钝角三角形，两条外高在三角形外，一条在内部。
下排左图（锐角三角形）的高：
从顶点 $A$ 向 $BC$ 作垂线，垂足为 $D$，$AD$ 是高。
从顶点 $B$ 向 $AC$ 作垂线，垂足为 $E$，$BE$ 是高。
从顶点 $C$ 向 $AB$ 作垂线，垂足为 $F$，$CF$ 是高。
下排中图（直角三角形）的高：
直角边 $AC$ 和 $BC$ 是高。
从顶点 $A$ 向 $BC$ 作垂线，垂足为 $D$，$AD$ 是斜边上的高。
下排右图（钝角三角形）的高：
从顶点 $A$ 向 $BC$ 的延长线作垂线，垂足为 $D$，$AD$ 是高（在外部）。
从顶点 $B$ 向 $AC$ 的延长线作垂线，垂足为 $E$，$BE$ 是高（在外部）。
从顶点 $C$ 向 $AB$ 作垂线，垂足为 $F$，$CF$ 是高（在内部）。

【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高。其中正确的是()。


A.①②
B.①③
C.②③
D.②

D

根据三角形高的定义，从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
对于①，在△ACD中，AD⊥AB，但AB与AC不重合，AD不垂直于CD，所以AD不是△ACD的高，①错误。
对于②，在△ABD中，AD⊥AB，顶点D向对边AB作垂线，垂足为A，AD是△ABD的高，②正确。
对于③，在△ABC中，AD⊥AB，AB是△ABC的边，但AD的垂足A是AB的端点，不是从顶点C向AB作的垂线，所以AD不是△ABC的高，③错误。
综上，正确的是②。

1. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的()。

A.中点
B.三条角平分线的交点
C.三边高的交点
D.三边中线的交点

D

用铅笔支起一张质地均匀的三角形卡片时，支起的点应是三角形的重心。
三角形的重心是三角形三条中线的交点，在这个点上卡片能保持平衡。
选项A，中点是线段的中点，不是一个点，可以是中线的一部分，该选项错误；
选项B，三条角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆的圆心，该选项错误；
选项C，三边高的交点是三角形的垂心，该选项错误；
选项D，三边中线的交点是三角形的重心，该选项正确。

2. 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H。下列判断中错误的有()。

A.AG是△ABE的角平分线
B.CH为△ACD的边AD上的高
C.BE是△ABD的边AD上的中线
D.AH为△AFC的边CF上的高

C

选项A：∵∠1=∠2，∴AD平分∠BAC，即AD平分∠BAE。∵G在AD上，∴AG在∠BAE的平分线上，故AG是△ABE的角平分线，A正确。
选项B：∵CF⊥AD于H，∴CH⊥AD，H在AD上，故CH是△ACD边AD上的高，B正确。
选项C：△ABD边AD的中点为G，中线应是连接B与G的线段BG，而非BE（BE是BG的延长线），故C错误。
选项D：∵CF⊥AD于H，∴AH⊥CF，H在CF上，故AH是△AFC边CF上的高，D正确。

3. 如图，在△ABC中，AD为中线，DE和DF分别为△ADB和△ADC的高。若AB=3，AC=4，DF=1.5，则DE=。

2

因为 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，所以 $D$ 是 $BC$ 的中点，
即$BD = DC$。
因为 $DE$ 和 $DF$ 分别是 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 的高，
所以 $DE \perp AB$，$DF \perp AC$。
$\triangle ABD$ 的面积可以表示为：
$ 面积 = \frac{1}{2} × AB × DE$，
$\triangle ADC$ 的面积可以表示为：
$ 面积 = \frac{1}{2} × AC × DF$，
因为 $AD$ 是中线，所以 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 的面积相等，
即：$\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × AC × DF$。
代入已知数值 $AB = 3$，$AC = 4$，$DF = 1.5$，
得：$\frac{1}{2} × 3 × DE = \frac{1}{2} × 4 × 1.5$，
化简得：$3 × DE = 6$，
所以：$DE = 2$。

4. 在△ABC中，AC=5 cm，AD是△ABC的中线。若△ABD的周长与△ADC的周长相差2 cm，则BA=cm。

3或7

∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD。
△ABD周长=AB+BD+AD，△ADC周长=AC+CD+AD。
∵BD=CD，AD=AD，周长相差2cm，
∴|AB - AC|=2cm。
∵AC=5cm，
∴|AB - 5|=2，解得AB=7cm或AB=3cm。

5. 如图，△ABC的边BC上的高为AF，中线为AD，边AC上的高为BG。已知AF=6，BD=10，BG=5。求：
(1) △ABC的面积；

(2) AC的长。

(1) ∵AD是△ABC的中线，BD=10，
∴BC=2BD=20。
∵AF是BC边上的高，AF=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AF=$\frac{1}{2}$×20×6=60。
(2) ∵BG是AC边上的高，BG=5，S_△ABC=60，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BG=60，
即$\frac{1}{2}$×AC×5=60，
解得AC=24。
(1) 60；(2) 24。