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1. (原创题)如图，在△ABC中，AB=2025，AC=2023，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为()。
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
【解析】：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD。
周长之差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC。
∵AB=2025，AC=2023，
∴2025-2023=2。
【答案】：B
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD。
△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD。
周长之差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC。
∵AB=2025，AC=2023，
∴2025-2023=2。
【答案】：B
解析
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD。
△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD。
周长之差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC。
∵AB=2025，AC=2023，∴2025-2023=2。
△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD。
周长之差=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC。
∵AB=2025，AC=2023，∴2025-2023=2。
2. 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点。若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于()。
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
【解析】：
∵D是BC中点，△ABC面积为8，
∴△ABD面积=△ABC面积的一半=4。
∵E是AB中点，
∴△BDE面积=△ABD面积的一半=2。
【答案】：A
∵D是BC中点，△ABC面积为8，
∴△ABD面积=△ABC面积的一半=4。
∵E是AB中点，
∴△BDE面积=△ABD面积的一半=2。
【答案】：A
解析
∵D是BC中点，△ABC面积为8，∴△ABD面积=△ABC面积的一半=4。∵E是AB中点，∴△BDE面积=△ABD面积的一半=2。
3. 如图，已知△ABC的周长为33 cm，AD是边BC上的中线，AB=$\frac{3}{2}$AC。
(1) 当AC=10 cm时，求BD的长。
(2) 若AC=12 cm，能否求出DC的长？为什么？
(1) 当AC=10 cm时，求BD的长。
(2) 若AC=12 cm，能否求出DC的长？为什么？
答案
1. （1）
已知$AB = \frac{3}{2}AC$，$AC = 10cm$，则$AB=\frac{3}{2}×10 = 15cm$。
因为$\triangle ABC$的周长为$33cm$，根据三角形周长公式$C = AB + BC+AC$，所以$BC=33-(AB + AC)$。
把$AB = 15cm$，$AC = 10cm$代入可得：$BC=33-(15 + 10)=8cm$。
又因为$AD$是$BC$边上的中线，根据中线定义（三角形中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段），所以$BD=\frac{1}{2}BC$。
则$BD=\frac{1}{2}×8 = 4cm$。
2. （2）
已知$AB=\frac{3}{2}AC$，$AC = 12cm$，则$AB=\frac{3}{2}×12 = 18cm$。
若根据三角形周长公式$C = AB + BC + AC$，此时$AB+AC=18 + 12=30cm$，而$\triangle ABC$周长为$33cm$，则$BC = 33-(AB + AC)=3cm$。
但是根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），$AC+BC=12 + 3=15\lt AB = 18$，不满足三角形三边关系，所以这样的$\triangle ABC$不存在。
因为$D$是$BC$中点（$AD$是中线），$DC=\frac{1}{2}BC$，由于$\triangle ABC$不存在，所以不能求出$DC$的长。
综上，（1）$BD$的长为$4cm$；（2）不能求出$DC$的长，因为当$AC = 12cm$时，不满足三角形三边关系，这样的$\triangle ABC$不存在。
已知$AB = \frac{3}{2}AC$，$AC = 10cm$，则$AB=\frac{3}{2}×10 = 15cm$。
因为$\triangle ABC$的周长为$33cm$，根据三角形周长公式$C = AB + BC+AC$，所以$BC=33-(AB + AC)$。
把$AB = 15cm$，$AC = 10cm$代入可得：$BC=33-(15 + 10)=8cm$。
又因为$AD$是$BC$边上的中线，根据中线定义（三角形中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段），所以$BD=\frac{1}{2}BC$。
则$BD=\frac{1}{2}×8 = 4cm$。
2. （2）
已知$AB=\frac{3}{2}AC$，$AC = 12cm$，则$AB=\frac{3}{2}×12 = 18cm$。
若根据三角形周长公式$C = AB + BC + AC$，此时$AB+AC=18 + 12=30cm$，而$\triangle ABC$周长为$33cm$，则$BC = 33-(AB + AC)=3cm$。
但是根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），$AC+BC=12 + 3=15\lt AB = 18$，不满足三角形三边关系，所以这样的$\triangle ABC$不存在。
因为$D$是$BC$中点（$AD$是中线），$DC=\frac{1}{2}BC$，由于$\triangle ABC$不存在，所以不能求出$DC$的长。
综上，（1）$BD$的长为$4cm$；（2）不能求出$DC$的长，因为当$AC = 12cm$时，不满足三角形三边关系，这样的$\triangle ABC$不存在。
4. 如图，在△ABC中，AD，CE是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∠ACE=40°，则∠DAC=°，∠BCE=°，∠ACB=°。
答案
30，40，80
解析
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°
∴∠DAC=∠BAD=∠BAC/2=60°/2=30°
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACE=40°
∴∠BCE=∠ACE=40°
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=40°+40°=80°
∴∠DAC=∠BAD=∠BAC/2=60°/2=30°
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACE=40°
∴∠BCE=∠ACE=40°
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=40°+40°=80°
5. 如图，AE//BC，AE平分∠DAC。求证：∠B=∠C。
答案
证明：
∵ AE平分∠DAC（已知），
∴ ∠DAE=∠CAE（角平分线定义）。
∵ AE//BC（已知），
∴ ∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CAE=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠B=∠C（等量代换）。
∵ AE平分∠DAC（已知），
∴ ∠DAE=∠CAE（角平分线定义）。
∵ AE//BC（已知），
∴ ∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CAE=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠B=∠C（等量代换）。
6. (2024曲靖期末)在△ABC中，作边BC上的高，下列选项中正确的是()。
答案
A
解析
三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
在$\triangle ABC$中，作边$BC$上的高，即从点$A$向$BC$所在直线作垂线，垂足在$BC$或其延长线上。
选项A中，$AD$是从点$A$向$BC$的延长线作的垂线，符合高的定义；
选项B中，$CD$是从点$C$向$AB$作的垂线，不是从点$A$向$BC$作的垂线，不符合要求；
选项C中，$AD$是从点$A$向$BC$的延长线作的垂线，但垂足标注错误，应该是垂足为$D$且$D$在$BC$延长线上，此图$D$位置错误；
选项D中，$AD$是从点$A$向$BC$外一点作的虚线，不是向$BC$所在直线作的垂线，不符合高的定义。
在$\triangle ABC$中，作边$BC$上的高，即从点$A$向$BC$所在直线作垂线，垂足在$BC$或其延长线上。
选项A中，$AD$是从点$A$向$BC$的延长线作的垂线，符合高的定义；
选项B中，$CD$是从点$C$向$AB$作的垂线，不是从点$A$向$BC$作的垂线，不符合要求；
选项C中，$AD$是从点$A$向$BC$的延长线作的垂线，但垂足标注错误，应该是垂足为$D$且$D$在$BC$延长线上，此图$D$位置错误；
选项D中，$AD$是从点$A$向$BC$外一点作的虚线，不是向$BC$所在直线作的垂线，不符合高的定义。
