登录
15. 先化简，再求值：
$a^{3}·(-b^{3})^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}ab^{2}\right)^{3}$，其中$a=\dfrac{1}{4}$，$b=-4$.
$a^{3}·(-b^{3})^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}ab^{2}\right)^{3}$，其中$a=\dfrac{1}{4}$，$b=-4$.
答案
56
解析
化简过程：
1. $ a^{3}·(-b^{3})^{2} = a^{3}·b^{6} $（幂的乘方：$(-b^3)^2 = (-1)^2·(b^3)^2 = b^6$）
2. $ \left(-\dfrac{1}{2}ab^{2}\right)^{3} = -\dfrac{1}{8}a^{3}b^{6} $（积的乘方：$(-\frac{1}{2})^3·a^3·(b^2)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^6$）
3. 原式合并：$ a^{3}b^{6} - \dfrac{1}{8}a^{3}b^{6} = \dfrac{7}{8}a^{3}b^{6} $
代入求值：
当 $ a = \dfrac{1}{4} $，$ b = -4 $ 时：
1. $ a^3 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64} $
2. $ b^6 = (-4)^6 = 4096 $（负数的偶次幂为正）
3. $ a^3b^6 = \dfrac{1}{64}×4096 = 64 $
4. 原式 $ = \dfrac{7}{8}×64 = 56 $
1. $ a^{3}·(-b^{3})^{2} = a^{3}·b^{6} $（幂的乘方：$(-b^3)^2 = (-1)^2·(b^3)^2 = b^6$）
2. $ \left(-\dfrac{1}{2}ab^{2}\right)^{3} = -\dfrac{1}{8}a^{3}b^{6} $（积的乘方：$(-\frac{1}{2})^3·a^3·(b^2)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^6$）
3. 原式合并：$ a^{3}b^{6} - \dfrac{1}{8}a^{3}b^{6} = \dfrac{7}{8}a^{3}b^{6} $
代入求值：
当 $ a = \dfrac{1}{4} $，$ b = -4 $ 时：
1. $ a^3 = \left(\dfrac{1}{4}\right)^3 = \dfrac{1}{64} $
2. $ b^6 = (-4)^6 = 4096 $（负数的偶次幂为正）
3. $ a^3b^6 = \dfrac{1}{64}×4096 = 64 $
4. 原式 $ = \dfrac{7}{8}×64 = 56 $
16. 尝试解答下列有关幂的问题：
（1）若$4×16^{x}=2^{22}$，求$x$的值；
（2）$M = 2×9^{x}-3×3^{x}+5$，$N = 9^{x}-3^{x}-1$，请比较$M$与$N$的大小.[提示：设$3^{x}=t$.$t^{2}-2t + 1=(t - 1)^{2}$，$(t - 1)^{2}\geqslant0$.]
（1）若$4×16^{x}=2^{22}$，求$x$的值；
（2）$M = 2×9^{x}-3×3^{x}+5$，$N = 9^{x}-3^{x}-1$，请比较$M$与$N$的大小.[提示：设$3^{x}=t$.$t^{2}-2t + 1=(t - 1)^{2}$，$(t - 1)^{2}\geqslant0$.]
答案
（1）
因为$4×16^{x}=2^{22}$，将$4 = 2^{2}$，$16 = 2^{4}$代入可得：
$2^{2}×(2^{4})^{x}=2^{22}$
根据幂的乘方$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，则$(2^{4})^{x}=2^{4x}$，原式变为$2^{2}×2^{4x}=2^{22}$。
再根据同底数幂相乘$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，可得$2^{2 + 4x}=2^{22}$。
所以$2+4x = 22$，
$4x=20$，
解得$x = 5$。
（2）
设$3^{x}=t$，则$M = 2t^{2}-3t + 5$，$N=t^{2}-t - 1$。
$M - N=(2t^{2}-3t + 5)-(t^{2}-t - 1)$
$=2t^{2}-3t + 5 - t^{2}+t + 1$
$=t^{2}-2t + 6$
$=(t^{2}-2t + 1)+5$
$=(t - 1)^{2}+5$。
因为$(t - 1)^{2}\geqslant0$，所以$(t - 1)^{2}+5\gt0$，即$M - N\gt0$，所以$M\gt N$。
综上，答案为（1）$x = 5$；（2）$M\gt N$。
因为$4×16^{x}=2^{22}$，将$4 = 2^{2}$，$16 = 2^{4}$代入可得：
$2^{2}×(2^{4})^{x}=2^{22}$
根据幂的乘方$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，则$(2^{4})^{x}=2^{4x}$，原式变为$2^{2}×2^{4x}=2^{22}$。
再根据同底数幂相乘$a^{m}· a^{n}=a^{m + n}$，可得$2^{2 + 4x}=2^{22}$。
所以$2+4x = 22$，
$4x=20$，
解得$x = 5$。
（2）
设$3^{x}=t$，则$M = 2t^{2}-3t + 5$，$N=t^{2}-t - 1$。
$M - N=(2t^{2}-3t + 5)-(t^{2}-t - 1)$
$=2t^{2}-3t + 5 - t^{2}+t + 1$
$=t^{2}-2t + 6$
$=(t^{2}-2t + 1)+5$
$=(t - 1)^{2}+5$。
因为$(t - 1)^{2}\geqslant0$，所以$(t - 1)^{2}+5\gt0$，即$M - N\gt0$，所以$M\gt N$。
综上，答案为（1）$x = 5$；（2）$M\gt N$。
17. （运算能力）阅读下列两则材料，解答问题.
材料一：比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解：$\because4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$，且$3＞2$，
$\therefore3^{22}＞2^{22}$，即$3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解：$\because8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$，且$8＞6$，
$\therefore2^{8}＞2^{6}$，即$2^{8}＞8^{2}$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
【方法运用】
（1）比较$3^{44}$，$4^{33}$，$5^{22}$的大小；
（2）比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小；
（3）已知$a^{2}=2$，$b^{3}=3$，比较$a$，$b$的大小；
（4）比较$3^{12}×5^{10}$与$3^{10}×5^{12}$的大小.
材料一：比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解：$\because4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$，且$3＞2$，
$\therefore3^{22}＞2^{22}$，即$3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小.
材料二：比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解：$\because8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$，且$8＞6$，
$\therefore2^{8}＞2^{6}$，即$2^{8}＞8^{2}$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小.
【方法运用】
（1）比较$3^{44}$，$4^{33}$，$5^{22}$的大小；
（2）比较$81^{31}$，$27^{41}$，$9^{61}$的大小；
（3）已知$a^{2}=2$，$b^{3}=3$，比较$a$，$b$的大小；
（4）比较$3^{12}×5^{10}$与$3^{10}×5^{12}$的大小.
答案
（1）
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
$\because25\lt64\lt81$，
$\therefore5^{22}\lt4^{33}\lt3^{44}$。
（2）
$81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，
$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，
$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，
$\because122\lt123\lt124$，
$\therefore9^{61}\lt27^{41}\lt81^{31}$。
（3）
$\because a^{2}=2$，$b^{3}=3$，
$\therefore a^{6}=(a^{2})^{3}=8$，$b^{6}=(b^{3})^{2}=9$，
$\because8\lt9$，
$\therefore a\lt b$。
（4）
$3^{12}×5^{10}=(3^{2})×(3^{10}×5^{10})=9×(3×5)^{10}=9×15^{10}$，
$3^{10}×5^{12}=(5^{2})×(3^{10}×5^{10})=25×(3×5)^{10}=25×15^{10}$，
$\because9×15^{10}\lt25×15^{10}$，
$\therefore3^{12}×5^{10}\lt3^{10}×5^{12}$。
$3^{44}=(3^4)^{11}=81^{11}$，
$4^{33}=(4^3)^{11}=64^{11}$，
$5^{22}=(5^2)^{11}=25^{11}$，
$\because25\lt64\lt81$，
$\therefore5^{22}\lt4^{33}\lt3^{44}$。
（2）
$81^{31}=(3^4)^{31}=3^{124}$，
$27^{41}=(3^3)^{41}=3^{123}$，
$9^{61}=(3^2)^{61}=3^{122}$，
$\because122\lt123\lt124$，
$\therefore9^{61}\lt27^{41}\lt81^{31}$。
（3）
$\because a^{2}=2$，$b^{3}=3$，
$\therefore a^{6}=(a^{2})^{3}=8$，$b^{6}=(b^{3})^{2}=9$，
$\because8\lt9$，
$\therefore a\lt b$。
（4）
$3^{12}×5^{10}=(3^{2})×(3^{10}×5^{10})=9×(3×5)^{10}=9×15^{10}$，
$3^{10}×5^{12}=(5^{2})×(3^{10}×5^{10})=25×(3×5)^{10}=25×15^{10}$，
$\because9×15^{10}\lt25×15^{10}$，
$\therefore3^{12}×5^{10}\lt3^{10}×5^{12}$。
