1. 分式的乘法法则
分式乘分式，用       作为积的分子，           作为积的分母，即$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{a · c}{b · d}$。

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$（$b$、$d$均不为$0$）

分式乘分式，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，即$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$（$b$、$d$均不为$0$）

2. 分式的除法法则
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d}\_\_\_\_\_=\frac{a}{b} · \frac{d}{c}= \frac{a · d}{b · c}$。

填“$=\frac{a}{b} × \frac{d}{c}$”（或填“$=\frac{a · d}{b · c}$”的前置步骤“$=\frac{a}{b} × \frac{d}{c}$”） （根据题目空白处应填内容）

根据分式的除法运算规则，分式除以分式时，需要将除式的分子和分母颠倒位置，然后与被除式相乘。题目中给出的表达式 $\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d}$ 可以通过将除式 $\frac{c}{d}$ 的分子和分母颠倒位置，转化为乘法运算，即 $\frac{a}{b} × \frac{d}{c}$。随后，按照分式乘法的规则，将分子相乘，分母相乘，得到 $\frac{a · d}{b · c}$。

【例1】填空：
(1) $\frac{4a^2}{b^2} · \frac{b^3}{6a^2} =$；
(2) $\frac{x - y}{y} · \frac{y}{x(x - y)} =$；
(3) $-8z^2 · \frac{3xy^2}{4z} =$。

(1) $\frac{2b}{3}$；(2) $\frac{1}{x}$；(3) $-6xyz^2$。

(1) $\frac{4a^2}{b^2} · \frac{b^3}{6a^2} = \frac{4a^2·b^3}{b^2·6a^2} = \frac{4b}{6} = \frac{2b}{3}$；
(2) $\frac{x - y}{y} · \frac{y}{x(x - y)} = \frac{(x - y)·y}{y·x(x - y)} = \frac{1}{x}$；
(3) $-8z^2 · \frac{3xy^2}{4z} = -\frac{8z^2·3xy^2}{4z} = -2z·3xy^2 = -6xyz^2$。

【变式1】计算：
(1) $\frac{3ab^2}{2cd} · \frac{4c^2d^3}{3a^2b^4}$；
 
(2) $\frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 4x + 4} · \frac{x + 2}{3x^2 + 6xy}$。

(2)
解：
$\frac{x^2 - 4y^2}{x^2 + 4x + 4} · \frac{x + 2}{3x^2 + 6xy}$
$ = \frac{(x + 2y)(x - 2y)}{(x + 2)^2} · \frac{x + 2}{3x(x + 2y)}$
$ = \frac{(x + 2y)(x - 2y) · (x + 2)}{(x + 2)^2 · 3x(x + 2y)}$
$ = \frac{x - 2y}{3x(x + 2)}$
$ = \frac{x - 2y}{3x^2 + 6x}$

【例2】计算：
(1) $\frac{3y}{10x} ÷ \frac{6y^2}{5x^3}$；(2) $\frac{x - 2}{x + 1} ÷ (x - 2)$。

(1) $\frac{3y}{10x} ÷ \frac{6y^2}{5x^3}$
$=\frac{3y}{10x} × \frac{5x^3}{6y^2}$
$=\frac{3y × 5x^3}{10x × 6y^2}$
$=\frac{15x^3y}{60xy^2}$
$=\frac{x^2}{4y}$
(2) $\frac{x - 2}{x + 1} ÷ (x - 2)$
$=\frac{x - 2}{x + 1} × \frac{1}{x - 2}$
$=\frac{(x - 2) × 1}{(x + 1)(x - 2)}$
$=\frac{1}{x + 1}$

【变式2】计算：
(1) $\frac{mn}{m - n} ÷ \frac{m}{m^2 - n^2}$；
(2) $\frac{2x - 6}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x - 3}{x^2 - 4}$。

(1)
原式 $= \frac{mn}{m - n} ÷ \frac{m}{m^2 - n^2}$
$= \frac{mn}{m - n} × \frac{m^2 - n^2}{m}$
由于 $m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)$，
所以原式 $= \frac{mn}{m - n} × \frac{(m + n)(m - n)}{m}$
$= n(m + n)$
$= mn + n^2$
(2)
原式 $= \frac{2x - 6}{x^2 - 4x + 4} ÷ \frac{x - 3}{x^2 - 4}$
$= \frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2} × \frac{x^2 - 4}{x - 3}$
由于 $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，
所以原式 $= \frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2} × \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 3}$
$= \frac{2(x + 2)}{x - 2}$
$= \frac{2x + 4}{x - 2}$