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【例3】水果超市销售凤梨和西瓜这两种水果，已知凤梨质量为$(m - 2)^2$kg，西瓜质量为$(m^2 - 4)$kg，其中$m ＞ 2$，售完后，两种水果都卖了540元。
(1) 请用含$m$的代数式分别表示这两种水果的单价；
(2) 凤梨的单价是西瓜的单价的多少倍？
(1) 请用含$m$的代数式分别表示这两种水果的单价；
(2) 凤梨的单价是西瓜的单价的多少倍？
答案
(1)凤梨的单价：
由题意，凤梨的总售价为540元，质量为$(m - 2)^2$ kg，所以凤梨的单价为：
$\frac{540}{(m - 2)^{2}} 元/kg$
西瓜的单价：
同样，西瓜的总售价为540元，质量为$(m^2 - 4)$ kg，因$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$，所以西瓜的单价为：
$\frac{540}{m^{2} - 4} = \frac{540}{(m + 2)(m - 2)} 元/kg$
(2)凤梨单价与西瓜单价的倍数关系：
$\frac{ 凤梨的单价}{ 西瓜的单价} = \frac{\frac{540}{(m - 2)^{2}}}{\frac{540}{(m + 2)(m - 2)}} = \frac{m + 2}{m - 2}$
所以，凤梨的单价是西瓜的单价的$\frac{m + 2}{m - 2}$倍。
由题意，凤梨的总售价为540元，质量为$(m - 2)^2$ kg，所以凤梨的单价为：
$\frac{540}{(m - 2)^{2}} 元/kg$
西瓜的单价：
同样，西瓜的总售价为540元，质量为$(m^2 - 4)$ kg，因$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$，所以西瓜的单价为：
$\frac{540}{m^{2} - 4} = \frac{540}{(m + 2)(m - 2)} 元/kg$
(2)凤梨单价与西瓜单价的倍数关系：
$\frac{ 凤梨的单价}{ 西瓜的单价} = \frac{\frac{540}{(m - 2)^{2}}}{\frac{540}{(m + 2)(m - 2)}} = \frac{m + 2}{m - 2}$
所以，凤梨的单价是西瓜的单价的$\frac{m + 2}{m - 2}$倍。
【变式3】由甲地到乙地的一条铁路全程为$s$km，火车全程运行时间为$a$h；由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的$m$倍，汽车全程运行时间为$b$h。那么火车的速度是汽车速度的多少倍？
答案
答题卡：
火车速度：$v_{1} = \frac{s}{a}（km/h）$。
公路全程：$s_{2} = ms（km）$。
汽车速度：$v_{2} = \frac{ms}{b}（km/h）$。
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}} = \frac{b}{ma}$。
结论：火车的速度是汽车速度的$\frac{b}{ma}$倍。
火车速度：$v_{1} = \frac{s}{a}（km/h）$。
公路全程：$s_{2} = ms（km）$。
汽车速度：$v_{2} = \frac{ms}{b}（km/h）$。
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\frac{s}{a}}{\frac{ms}{b}} = \frac{b}{ma}$。
结论：火车的速度是汽车速度的$\frac{b}{ma}$倍。
1. 计算$\frac{x}{y} ÷ \frac{2}{y}$，结果是()。
A.$2x$
B.$2y$
C.$\frac{2}{y}$
D.$\frac{1}{2}x$
A.$2x$
B.$2y$
C.$\frac{2}{y}$
D.$\frac{1}{2}x$
答案
D
解析
根据分式的除法运算法则，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。所以$\frac{x}{y}÷\frac{2}{y}=\frac{x}{y}×\frac{y}{2}$，然后进行约分，$y$约掉，得到$\frac{x}{2} × 1=\frac{x}{2}$（即$\frac{1}{2}x$）。
2. 计算$\frac{b}{a} · \frac{2a}{c}$，结果是()。
A.$\frac{2b}{c}$
B.$\frac{b}{c}$
C.$\frac{b}{2c}$
D.$\frac{2b}{a}$
A.$\frac{2b}{c}$
B.$\frac{b}{c}$
C.$\frac{b}{2c}$
D.$\frac{2b}{a}$
答案
A
解析
根据分式的乘法法则，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母，即 $\frac{b}{a} · \frac{2a}{c} = \frac{b · 2a}{a · c}$。约分后得到 $\frac{2b}{c}$。
3. 化简$\frac{m^2 - n^2}{m^2} ÷ \frac{m - n}{m}$，结果是()。
A.$\frac{m}{m - n}$
B.$\frac{m}{m + n}$
C.$\frac{m - n}{m}$
D.$\frac{m + n}{m}$
A.$\frac{m}{m - n}$
B.$\frac{m}{m + n}$
C.$\frac{m - n}{m}$
D.$\frac{m + n}{m}$
答案
D
解析
原式为$\frac{m^2 - n^2}{m^2} ÷ \frac{m - n}{m}$，根据除法法则，可转化为乘法：
$\frac{m^2 - n^2}{m^2} × \frac{m}{m - n}$，
对$m^2 - n^2$使用平方差公式进行因式分解，得：
$\frac{(m + n)(m - n)}{m^2} × \frac{m}{m - n}$，
进行约分，$m - n$与$m - n$相约，得到：
$\frac{m + n}{m}$。
$\frac{m^2 - n^2}{m^2} × \frac{m}{m - n}$，
对$m^2 - n^2$使用平方差公式进行因式分解，得：
$\frac{(m + n)(m - n)}{m^2} × \frac{m}{m - n}$，
进行约分，$m - n$与$m - n$相约，得到：
$\frac{m + n}{m}$。
4. 计算：$\frac{6ab}{5c^2} · \frac{15c}{4a^2b} =$
答案
$\frac{9}{2ac}$
解析
$\frac{6ab}{5c^2} · \frac{15c}{4a^2b} = \frac{6ab · 15c}{5c^2 · 4a^2b} = \frac{90abc}{20a^2bc^2} = \frac{9}{2ac}$
5. 计算$\frac{1}{m^2 - 49} ÷ \frac{1}{m^2 - 7m}$。
答案
解题步骤：
1. 因式分解分母
$ m^2 - 49 = (m + 7)(m - 7) $
$ m^2 - 7m = m(m - 7) $
2. 将除法转化为乘法
原式 $ = \frac{1}{(m + 7)(m - 7)} × m(m - 7) $
3. 约分化简
分子分母约去公因式 $ (m - 7) $，得：
$ \frac{m}{m + 7} $
最终结论：
$\boxed{\dfrac{m}{m + 7}}$
1. 因式分解分母
$ m^2 - 49 = (m + 7)(m - 7) $
$ m^2 - 7m = m(m - 7) $
2. 将除法转化为乘法
原式 $ = \frac{1}{(m + 7)(m - 7)} × m(m - 7) $
3. 约分化简
分子分母约去公因式 $ (m - 7) $，得：
$ \frac{m}{m + 7} $
最终结论：
$\boxed{\dfrac{m}{m + 7}}$
1. 下列计算中，正确的是()。
A.$\frac{a^2}{b^5} · \frac{b^3}{a^5} = \frac{b^3}{a^3}$
B.$\frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{ac}{bd}$
C.$\frac{7b}{2a^2} · \frac{8a^3}{7b^2} = \frac{4a}{b^2}$
D.$a · \frac{b}{a} · \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$
A.$\frac{a^2}{b^5} · \frac{b^3}{a^5} = \frac{b^3}{a^3}$
B.$\frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{ac}{bd}$
C.$\frac{7b}{2a^2} · \frac{8a^3}{7b^2} = \frac{4a}{b^2}$
D.$a · \frac{b}{a} · \frac{1}{a} = \frac{b}{a}$
答案
D
解析
选项A：根据分式乘法法则，$\frac{a^{2}}{b^{5}}·\frac{b^{3}}{a^{5}}=\frac{a^{2}· b^{3}}{b^{5}· a^{5}}=\frac{1}{a^{3}b^{2}}$，所以A选项错误。
选项B：根据分式乘法法则，$\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a· d}{b· c}=\frac{ad}{bc}$，所以B选项错误。
选项C：根据分式乘法法则，$\frac{7b}{2a^{2}}·\frac{8a^{3}}{7b^{2}}=\frac{7b·8a^{3}}{2a^{2}·7b^{2}}=\frac{4a}{b}$，所以C选项错误。
选项D：根据分式乘法法则，$a·\frac{b}{a}·\frac{1}{a}=\frac{a· b}{a· a}=\frac{b}{a}$，所以D选项正确。
选项B：根据分式乘法法则，$\frac{a}{b}·\frac{d}{c}=\frac{a· d}{b· c}=\frac{ad}{bc}$，所以B选项错误。
选项C：根据分式乘法法则，$\frac{7b}{2a^{2}}·\frac{8a^{3}}{7b^{2}}=\frac{7b·8a^{3}}{2a^{2}·7b^{2}}=\frac{4a}{b}$，所以C选项错误。
选项D：根据分式乘法法则，$a·\frac{b}{a}·\frac{1}{a}=\frac{a· b}{a· a}=\frac{b}{a}$，所以D选项正确。
2. 计算：
(1) $\frac{8x}{2y} · \left( - \frac{9y}{2x^3} \right) =$；
(2) $\frac{x^2y}{x - y} · \frac{x - y}{xy} =$。
(1) $\frac{8x}{2y} · \left( - \frac{9y}{2x^3} \right) =$；
(2) $\frac{x^2y}{x - y} · \frac{x - y}{xy} =$。
答案
(1)$-\frac{18}{x^2}$；(2)$x$
解析
(1) $\frac{8x}{2y} · \left( - \frac{9y}{2x^3} \right) = -\frac{8x·9y}{2y·2x^3} = -\frac{72xy}{4x^3y} = -\frac{18}{x^2}$
(2) $\frac{x^2y}{x - y} · \frac{x - y}{xy} = \frac{x^2y(x - y)}{(x - y)xy} = x$
(2) $\frac{x^2y}{x - y} · \frac{x - y}{xy} = \frac{x^2y(x - y)}{(x - y)xy} = x$
