1. 如图24-1-3-4,圆心角∠AOB = 25°,将$\overset{\frown}{AB}$旋转n°得到$\overset{\frown}{CD}$,则∠COD等于 ()

A.25°
B.25° + n°
C.50°
D.50° + n°

A

在同圆或等圆中，旋转不改变弧的度数，故$\overset{\frown}{AB}$与$\overset{\frown}{CD}$度数相等。因为圆心角的度数等于它所对弧的度数，$\angle AOB = 25°$，所以$\angle COD = 25°$。
A

2. 如图24-1-3-5,A,B,C,D是⊙O上四点,AD = BC,则AB与CD的大小关系为 ()

A.AB ＞ CD
B.AB = CD
C.AB ＜ CD
D.不能确定

B

∵AD=BC，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$\overset{\frown}{AD}+\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AC}$，即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AB}$，
∴AB=CD。
B

3. 如图24-1-3-6,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC = CD = DA,则∠BCD的度数为 ()

A.100°
B.110°
C.120°
D.135°

C

4. 如图24-1-3-7,AB是⊙O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB,垂足为E,则∠ACE的度数为。

30°

连接OC。
∵AB是⊙O的直径，C,D为半圆的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°。
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°。
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°-∠OAC=90°-60°=30°。
30°

5. 如图24-1-3-8,在⊙O中,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BD}$,∠AOB = 50°,求∠COD的度数。

50°

∵在⊙O中，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BD}$
$\therefore \overset{\frown}{AC} - \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{BD} - \overset{\frown}{BC}$
即$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$
$\because \angle AOB$和$\angle COD$分别是$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角
$\therefore \angle AOB = \angle COD$
$\because \angle AOB = 50°$
$\therefore \angle COD = 50°$

6. 如图24-1-3-9,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦CD交小圆于点E,F,OE,OF的延长线交大圆于点A,B,则$\overset{\frown}{AC}$$\overset{\frown}{BD}$(填“＞”“＜”或“=”)。

=

连接OC，OD。
因为OE=OF，OC=OD，CD=CD，所以△OEC≌△OFD（SSS）。
所以∠COE=∠DOF。
因为∠AOC=∠COE，∠BOD=∠DOF，所以∠AOC=∠BOD。
所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
=

7. 如图24-1-3-10,AB是⊙O的直径,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CD}$,∠COD = 60°。
(1) △AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2) 求证：OC//BD。

1. （1）
解：$\triangle AOC$是等边三角形。
理由：
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所以$\angle AOC = \angle COD$。
已知$\angle COD = 60^{\circ}$，则$\angle AOC = 60^{\circ}$。
又因为$OA = OC$（圆的半径相等），根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle AOC$是等边三角形。
2. （2）
证明：
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，所以$OC\perp AD$（垂径定理：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），即$BD\perp AD$。
因为$OC\perp AD$，$BD\perp AD$，根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以$OC// BD$。
综上，（1）$\triangle AOC$是等边三角形；（2）证明成立。

8. 如图24-1-3-11,AB是⊙O的直径,M,N分别为AO,BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,垂足分别为M,N。求证：$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{BD}$。

8. 证明:连接 OC,OD。
∵ AB 是⊙O 的直径,
∴ AO = BO,
∵ M,N 分别为 AO,BO 的中点,
∴ OM = ON。
∵ CM⊥AB,DN⊥AB,
∴ ∠CMO = ∠DNO = 90°,
∴ △OCM 与△ODN 都是直角三角形,
又
∵ OC = OD,
∴ Rt△OCM≌Rt△ODN(HL),
∴ ∠AOC = ∠BOD,
∴ AC = BD。